Статистические методы в работах Бориса Владимировича Гнеденко. При анализе актуальных для XXI в. работ академика АН УССР Б.В. Гнеденко (1912 - 1995) основное внимание уделим предельным теоремам теории вероятностей, математической статистике, теории надежности, статистическим методам управления качеством и теории массового обслуживания [9]. Одна из основных научных заслуг Б.В. Гнеденко - обоснование необходимости развития статистических методов как самостоятельного научного направления, подробное рассмотрение ряда проблем, относящихся к этому направлению.

В XXI веке наиболее ценным для нас является удивительное умение Б.В. Гнеденко (далее - Б.В.) объединить в своем творчестве глубокие теоретические изыскания и практические разработки. В настоящее время всё глубже становится разрыв между внутриматематическими изысканиями, от которых в обозримом будущем нельзя ждать практической пользы, и попытками решения прикладных задач методами, устаревшими на полвека. Уникальность Б.В. в том, что он своей личностью устранял этот пагубный разрыв. Он был одновременно великим теоретиком и великим прикладником. Чем больше проходит времени с того момента, как Б.В. завершил свои труды, тем яснее становится основополагающая роль его идей, его методологического подхода в нашей нынешней работе. Научный путь Б.В. заслуживает подробного осмысления.

Из теоретических исследований Б.В. больше всего известны работы по предельным теоремам теории вероятностей, в том числе классическая монография о суммах независимых случайных величин 1949 г., написанная совместно с А.Н. Колмогоровым, статьи по предельным распределениям крайних членов вариационного ряда. Основополагающие результаты получены им в математической статистике, например, в задаче проверки однородности двух выборок. Для прикладников Б.В. - лидер в области теории надежности, массового обслуживания, статистических методов управления качеством продукции. По его "Курсу теории вероятностей" учились многие поколения специалистов. Большое значение имеют работы по истории науки и по другим направлениям, среди которых особенно выделяется методология научных исследований.

От практики - к теории, от теории - к практике (четыре этапа научного пути). Научный путь Б.В. можно разбить на четыре этапа. Первый (1930-1934) прошел на кафедре математики текстильного института в г. Иваново, куда он был направлен в 1930 г. после окончания Саратовского университета. На этом этапе Б.В. пришел к глубокому убеждению, что полноценная творческая жизнь математика связана с широким использованием математических методов в решении задач практики и одновременном развитии самих математических методов, без чего невозможно глубокое изучение и удовлетворение потребностей практики. В ивановский период он увлекся теорией вероятностей.

Второй этап (1934-1945) - исследовательская работа в Москве. В 1934 г. Б.В. поступил в аспирантуру Московского университета. Его научными руководителями стали А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров. Еженедельно собирался общегородской семинар по теории вероятностей, где с новыми результатами выступали известные ученые А.Н. Колмогоров, Е.Е. Слуцкий, Н.В. Смирнов, А.Я. Хинчин, а также аспиранты, молодые физики, биологи и инженеры. Б.В. увлекся предельными теоремами для сумм независимых случайных величин. В июне 1937 г. он защитил кандидатскую диссертацию "О некоторых результатах по теории безгранично-делимых распределений", а в начале июня 1941 г. - докторскую диссертацию, состоящую из двух частей: теории суммирования независимых случайных величин и теории распределения максимального члена вариационного ряда. В годы Великой Отечественной войны Б.В. Гнеденко принимал активное участие в решении многочисленных задач, связанных с обороной страны.

Третий этап научного пути Б.В. - украинский (1945-1960). В 1945 г. Академия наук Украинской ССР избрала Б.В. Гнеденко своим членом-корреспондентом и направила во Львов, где он восстанавливал Львовский университет и организовывал учреждения Академии наук УССР. Во Львове Б.В. Гнеденко читал разнообразные курсы: математический анализ, вариационное исчисление, теорию аналитических функций, теорию вероятностей, математическую статистику и др. Его научная работа в этот период также была весьма разнообразна. Ему удалось доказать в окончательной формулировке локальную предельную теорему для независимых, одинаково распределенных решетчатых слагаемых (1948 г.). Здесь начались исследования по непараметрическим методам статистики. Но основное значение имела работа Б. В. Гнеденко над учебником "Курс теории вероятностей" (первое издание - 1949 г.) и монографией "Предельные распределения для сумм независимых случайных величин".

В 1950 г. Президиум АН УССР перевел Б.В. в Киев, где в Институте математики АН УССР им был организован отдел теории вероятностей и математической статистики. Одновременно Б.В. заведовал кафедрой математического анализа в Киевском университете.

Естественно, что очень скоро вокруг него образовалась группа молодых ученых, увлекшаяся теорией вероятностей и задачами математической статистики. Первыми киевскими учениками Б.В. были В.С. Королюк и В.С. Михалевич, впоследствии известные ученые. Характерно для Б.В., что в Киеве он организовал городской семинар по истории математики при Институте математики АН УССР. Он объединил многих ученых, работающих в области истории науки.

В 1953-1954 гг. Б.В. работал в ГДР, а по возвращении Президиум АН УССР поручил ему возглавить работу по организации Вычислительного центра. Ядром группы ученых были сотрудники академика С.А. Лебедева, разработчика первой в Европе ЭВМ, получившей название МЭСМ (малая электронная счетная машина). Одновременно Б.В. возглавил работу по созданию курса программирования для ЭВМ, который начал читать студентам Киевского университета - будущим сотрудникам Вычислительного центра. Этот курс - первая в СССР книга по программированию. Начались работы по проектированию универсальной машины "Киев" и специализированной машины для решения систем линейных алгебраических уравнений. В этот период Президиум АН УССР возложил на Б.В. Гнеденко обязанности директора Института математики АН УССР и председателя бюро физико-математического отделения.

Широкая организационная деятельность не ослабила научной и педагогической деятельности Б. В. Гнеденко. Именно к этому периоду относится начало разработки им двух новых направлений прикладных научных исследований - теории массового обслуживания и вопросов использования математических методов в современной медицине.

Четвертый этап научного пути (1960-1995) - снова Москва. В 1960 г. Б.В. переехал в Москву и возобновил работу в Московском университете. Сразу же Б.В. организовал московский семинар по математической теории надежности и теории массового обслуживания, привлекший многочисленных участников. Большое внимание Б.В. уделял разработке основ теории надежности, решению задач теории резервирования с восстановлением, оптимальной профилактики, управлению качеством промышленной продукции в процессе производства.

В 1965 г. А.Н. Колмогоров передает Б.В. руководство кафедрой теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, которой Б.В. заведовал до своих последних дней.

Методологическими проблемами математики Б.В. систематически интересовался с конца 1950-х гг. Он - член научного совета при Президиуме АН СССР по философским проблемам естествознания. С первых дней Общества по распространению научных и политических знаний (общество "Знание") он принимает активное участие в его работе.

Общее количество опубликованных научных трудов Б.В. - около тысячи. Рассмотрим подробнее основные направления его научной деятельности.

Суммирование независимых случайных величин. В 30-е годы внимание Б.В. привлекли задачи, связанные с суммированием независимых случайных величин (с.в.). Интерес к таким задачам появился в математике еще в 17 веке. Невозможность прямых вычислений распределений сумм независимых с.в. приводит к необходимости получения и изучения асимптотических формул для них, т. е. таких формул, которые позволяют находить с нужной точностью требующиеся нам вероятности, связанные с суммами с.в. Эти формулы даются предельными теоремами теории вероятностей. Таким образом, аппроксимация многократных сверток распределений потребовала развития глубокой математической теории, которая называется теорией предельных теорем для сумм независимых с.в. или теорией суммирования.

Начало развития этой теории связано с работами Я.Бернулли и А.Муавра начала XVIII в., в которых были доказаны Закон больших чисел (ЗБЧ) и Центральная предельная теорема (ЦПТ) для независимых с.в., принимающих два значения. Эти исследования были продолжены в XIX в. П.Лапласом, С.Пуассоном, К.Гауссом и другими учеными, но вплоть до 1860-х гг. рассматривались лишь с.в., принимающие два значения. Лишь в 1867 г. П.Л.Чебышев получил ЗБЧ в общем виде, а достаточно общая форма ЦПТ была найдена лишь в работах А.М.Ляпунова и А.А.Маркова на рубеже XIX и XX вв. Наиболее бурное развитие теории суммирования пришлось на 20 - 40 гг. ХХ в. и связано с именами А.Н. Колмогорова, Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчина, П. Леви, В. Феллера и Дж. Линдеберга.

Класс возможных предельных распределений для сумм независимых случайных величин, как показали А.Я. Хинчин и Г.М. Бавли, совпадает с классом безгранично-делимых распределений. Оставалось выяснить условия существования предельных распределений и условия сходимости к каждому возможному предельному распределению. Заслуга постановки этих задач и их решения принадлежит Б.В. Он в 1937 г. предложил оригинальный метод, получивший название метода сопровождающих безгранично-делимых законов. Единым приемом удалось получить все ранее найденные в этой области результаты, а также и ряд новых.

В теории суммирования доказывались как интегральные предельные теоремы, то есть теоремы о сходимости функций распределения, так и локальные теоремы, то есть теоремы о сходимости плотностей (для гладких распределений) и об асимптотическом поведении вероятностей отдельных значений для решетчатых распределений. В 20 - 40 гг. ХХ в. были получены исчерпывающие результаты о ЗБЧ в классической формулировке. Отметим, что законы больших чисел в пространствах нечисловой природы, найденные в последней четверти ХХ в., формулировались и доказывались исходя из совсем иных подходов - не на основе суммирования, а на основе решений оптимизационных задач.

Во всех разделах теории суммирования Б.В. получил фундаментальные результаты, пролившие свет на существо дела. Итогом развития классической теории суммирования явилась публикация в 1949 г. монографии Б.В. Гнеденко и А.Н. Колмогорова, которую можно назвать монументом создателям этой теории. Методы и результаты теории суммирования применяются в различных разделах теории вероятностей, статистических методов и их применений, а книга "Предельные распределения для сумм независимых случайных величин" остается источником новых идей для многих исследователей. Эта книга - одно из наиболее замечательных достижений математики ХХ века.

Предельные теоремы для крайних порядковых и разделимых статистик. Работы по предельным теоремам для крайних порядковых статистик публикуются уже в течение почти сотни лет, начиная с двадцатых годов ХХ в. Среди авторов таких публикаций: Додж, фон Мизес, Фреше, Фишер и Типпет, Б. де Финетти, Гумбель. В.Б. Невзоров и другие. Здесь наиболее полные и глубокие результаты получены Б.В.

Для независимых одинаково распределенных случайных величин максимум и минимум называются крайними (или экстремальными) порядковыми статистиками, а также крайними членами вариационного ряда. После центрирования и нормирования экстремальных порядковых статистик их функция распределения приближается к функции распределения одного из трех типов. Среди них широко используемое на практике распределение Вейбулла-Гнеденко. Б.В. получены необходимые и достаточные условия, относящиеся к функции распределения независимых одинаково распределенных случайных величин, чтобы получить тот или иной тип предельного распределения экстремальных порядковых статистик.

Являясь выдающимся специалистом по теории суммирования независимых случайных величин, Б.В. решил результаты этой теории применить к суммированию зависимых случайных величин. Поэтому он проявил интерес к таким случайным величинам, совместное распределение которых совпадает с условным совместным распределением некоторых независимых случайных величин при условии фиксации суммы последних в некоторой точке. Отправляясь от таких случайных величин, можно построить класс сумм зависимых случайных величин, называемых в отечественной литературе разделимыми статистиками. Распределения последних известным образом выражаются через распределения сумм соответствующих независимых случайных величин (векторов). Тем самым, для получения предельных (с ростом числа слагаемых) теорем для разделимых статистик надо воспользоваться результатами суммирования независимых величин или их многомерными аналогами - в случае векторов. Работы по разделимым статистикам продолжили Э.М. Кудлаев и другие исследователи.

Теория массового обслуживания. Большим и весьма практически важным разделом современных статистических методов, в становление и развитие которого Б.В. внес неоценимый вклад, является теория массового обслуживания (ТМО). Первый цикл работ в этом направлении он выполнил в Иванове. В частности, он занимался изучением связи неровноты пряжи по номеру и весу, выяснением эффёктивности перехода от обслуживания одного станка к обслуживанию нескольких станков, оценкой длины среднего перехода между станками, который выполняет ткачиха в процессе обслуживания ткацких станков, выявлением особенностей метода станкообходов для нормирования рабочего времени станка и рабочего. Этой тематике посвящена первая книга Б.В.

В опубликованной перед самой войной работе Б.В. решает задачу определения среднего числа зарегистрированных счетчиком Гейгера-Мюллера частиц (известно, что в силу наличия "мертвой зоны" счетчик Гейгера-Мюллера регистрирует не все попадающие в него частицы). В терминах ТМО рассматриваемая модель может быть описана как однолинейная система массового обслуживания (СМО) с потерями, нестационарным пуассоновским входящим потоком и постоянным временем обслуживания. Заметим, что и к настоящему времени СМО с нестационарным входящим потоком исследованы крайне мало.

К задачам ТМО Б.В. возвращается в 50-е гг., хотя, по собственному признанию, уже во время войны он не раз размышлял над ними. И теперь до последних дней жизни это направление, наряду с теорией суммирования и математической теорией надежности, становится одним из основных в его научной деятельности. Б.В. обобщает формулы Эрланга на системы с ненадежными восстанавливаемыми приборами, рассматривая как случай с потерей требования при отказе прибора, так и случай перехода недообслуженного требования на другой свободный прибор, и т.д.

В 1956 г. Б.В. прочитал первый в СССР спецкурс по ТМО. В 1958 г. цикл его лекций по теории массового обслуживания был опубликован, а затем послужил основой для широко известной монографии, выпущенной в 1966 г. Эта книга и до сих пор остается одной из основополагающих при подготовке специалистов по ТМО не только в нашей стране, но и за рубежом. В дальнейшем Б.В. выпустил еще две монографии, оказавшие значительное влияние на развитие ТМО.

В последующие годы Б.В. опубликовал еще более 30 статей, относящихся к ТМО. В этих статьях, наряду с решением отдельных задач по ТМО, он дает детальные обзоры существующих методов исследования, формулирует новые проблемные направления. Важнейшей задачей Б.В. считал пропаганду на всех уровнях, начиная от школьников и кончая профессиональными математиками и управленцами высокого уровня, широчайшего внедрения методов ТМО в инженерную практику.

О работах Б.В. в области математической статистики, теории надежности и контроля качества. Статистические методы были в центре научных и педагогических интересов Б.В. на протяжении всей его творческой жизни. "Каждому специалисту нужно знать математическую статистику" - так называется одна из его статей. Уже в первых его публикациях, посвященных математическому анализу проблем текстильного производства, проявился живой интерес и умение Б.В. работать с реальными данными.

Мировую известность Б.В. как статистику принес цикл работ, выполненный им вместе со своими учениками и сотрудниками в конце 40-х - первой половине 50-х гг. Он изучал проблему проверки гипотезы однородности двух независимых выборок с помощью статистики, равной максимуму разности соответствующих эмпирических функций распределения (т.н. двухвыборочная односторонняя статистика Н.В. Смирнова). Б.В. предложил метод вычисления точного распределения статистики критерия для конечных выборок равного объема, позволивший получить простое доказательство найденных ранее Н.В. Смирновым предельных теорем и достаточно точные асимптотические разложения. А.Н. Колмогоров высоко оценил исследования Б.В. по непараметрической статистике. И сейчас, через 50 лет, эти результаты Б.В. по-прежнему актуальны для применения математических методов исследования (см., например, раздел 8.2 учебника).

По статистике Б.В. опубликовал более 50 работ. Среди них - посвященные проблемам статистического образования, а также приложениям статистических методов в технических исследованиях, теории надежности и контроле качества, экономике и социальных науках, биологии и медицине, во многих других областях.

Б.В. всегда был среди тех ученых, которые, с одной стороны, глубоко понимали необходимость развития вычислительной техники как основы и предпосылки внедрения результатов теоретических (и в том числе математико-статистических) исследований в практику; а с другой - предвидели широкие горизонты новых исследований, которые представляли высокопроизводительные компьютеры. Он не только руководил созданием Вычислительного центра АН УССР, но и был у истоков создания Института кибернетики АН УССР. Как уже отмечалось, Б.В. был написан первый в СССР учебник по программированию. Начатые Б.В. в сотрудничестве с Н.М. Амосовым работы по машинной диагностике сердечных заболеваний во многих своих аспектах являются примером высококлассного прикладного статистического исследования, по своей тематике относящегося к проблемам классификации (см. Часть I учебника). К сожалению, Б.В. не дали завершить эти исследования. Являясь одним из виднейших математиков, работавших в то время на Украине, он был вынужден покинуть Киев и переехать в 1960 г. в Москву.

Вопросами теории надежности и проблемами управления (а значит, и контроля) качества Б.В. начал заниматься еще во второй половине 50-х гг.. По мере знакомства с уровнем качества продукции промышленных предприятий в нем крепла уверенность в необходимости использования математических методов для объективной оценки качества и прогноза надежности изделий. К разработке математической теории надежности он привлек своих учеников И.Н. Коваленко, В.С. Королюка, Т.П. Марьяновича. Сам Б.В. в это время выполнил ряд прикладных работ, связанных с анализом надежности и методикой расчета нагрузки электрических сетей промышленных предприятий.

В Москве, будучи одним из создателей и признанным лидером советской школы математической теории надежности, Б.В. приобрел огромное неформальное влияние на развитие этой теории не только на всей территории СССР, но и далеко за ее пределами. Другой мощной школой в теории надежности является североамериканская. Две школы отличались по тематике исследований и во многом дополняли друг друга. Достижения этих школ 60-80-х гг. до сих пор предопределяют мировое развитие теории надежности.

Продвижению результатов математической теории надежности в практику Б.В. придавал не меньшее значение, чем развитию самой математической теории. По его мнению, важнейшими аспектами востребованности и успешного применения практикой являются

(а) наличие в теории богатого набора математических моделей, отражающих разнообразные явления предметной области;

(б) наличие в предметной области специалистов, способных понять математические модели и превратить их в "руководящие указания" на производстве;

(в) наличие литературы самого разного уровня, отражающей достижения теории и практику ее применения;

(г) возможность прямого контакта между создателями теории и специалистами предметной области для взаимной корректировки задач теории и методов ее приложения в предметной области.

Все перечисленные выше моменты нашли счастливое сочетание в работе огромного незримого коллектива ученых и практиков, имевших отношение к созданию и приложению теории надежности и управлению качеством в СССР. Усилиями Б.В., его сотрудников и учеников с 1960 по 1985 гг. разработана весьма разветвленная математическая теория надежности и математическая теория контроля качества. Была налажена широкая пропаганда необходимости практического использования теоретических результатов, в том числе по линии общества "Знание". Организованы семинары и лекционные курсы в Политехническом музее, в МГУ им. М.В. Ломоносова, а затем и во многих городах СССР, где инженерный состав получал необходимую математическую подготовку для понимания и применения методов теории надежности и контроля качества. В кабинете надежности при Политехническом музее все заинтересованные лица могли получить консультации у ведущих специалистов, включая и самого Б.В. Издательства "Советское радио" и "Знание" выпустили серию книг, посвященных различным аспектам теории надежности и контроля качества. Огромное влияние оказала основополагающая монография "Математические методы в теории надежности", написанная Б.В. вместо с Ю.К. Беляевым и А.Д. Соловьевым, а также ряд других монографий с участием Б.В., в частности, небольшая яркая книга "Математика и контроль качества продукции".

Была развернута большая работа по подготовке специалистов высшей категории в области теории надежности. В руководстве ряда отраслей промышленности оказались специалисты, хорошо понимающие необходимость внедрения современных методов теории надежности и контроля качества. И во всем этом самое непосредственное участие принимал Б.В. В результате, достижения математической теории надежности и контроля качества нашли широкое признание, как в научных кругах, так и среди прикладников. Правда, с сожалением приходится констатировать, что в целом на реальном подъеме качества продукции в стране, за исключением предприятий оборонно-промышленного комплекса, эти достижения сказались мало.

Развитие теории управления качеством и надежностью активно продолжается и в настоящее время. В частности, в журнале "Заводская лаборатория" постоянно обсуждаются различные прикладные и теоретические проблемы управления качеством. В современных условиях реализация накопленного научного потенциала может дать значительное ускорение экономического роста как отдельных предприятий, так и страны в целом.

Конечно, нельзя не отметить и огромный личный вклад Б.В. в математическую теорию надежности. Предметом его наибольшего интереса была теория резервированных систем с восстановлением. Здесь им была поставлена задача, которая имела многочисленные продолжения в работах других математиков, а именно - задача об асимптотическом распределении момента первого отказа резервной группы с быстрым восстановлением. Б.В. удалось установить связь с асимптотической теорией суммирования случайного числа случайных слагаемых. И эта задача была им с блеском решена. Отметим, что подобные суммы используются не только в теории надежности, но и в различных иных прикладных областях, в частности, в логистике, т.е. науке о движении материальных, финансовых и информационных потоков (см. раздел 8.4).

И как здесь не вспомнить слова Б.В. о взаимообогащении фундаментальных и прикладных наук: "Я глубоко убежден в том, что прикладные проблемы не только дают возможность демонстрации силы математических методов и решения множества задач, необходимых для жизненной практики, но имеют огромное значение для развития самой математики. Дело в том, что в прикладных задачах часто приходится сталкиваться с совсем новыми ситуациями, о которых математик-теоретик не может догадаться. Традиционные методы математики недостаточны для решения возникающих вопросов, требуется разработка новых методов исследования и, возможно, - даже новых ветвей математики. Но практика важна для науки и тем, что именно практика выясняет возможности той или иной области математики для решения актуальных проблем других научных дисциплин и повседневных нужд общества. И, в конечном счете, ценность исследований математика будет определяться по тому, насколько широко и глубоко развиваемые им теории позволяют проникнуть в проблемы познания законов окружающего мира, помогают решению житейских проблем, касающихся всего общества. Чем теснее связана та или иная ветвь математики с практикой жизни, тем разнообразнее ее проблемы, тем быстрее она развивается. Так было, так есть и так будет".

История математики и преподавание. Вскоре после создания Академии педагогических наук РСФСР (основана в 1943 г.) Б.В. приглашен в Институт методов обучения. Итог его работы - "Очерки истории математики в России", адресованные в первую очередь учителям и школьникам. Эта замечательная книга - первое достаточно полное исследование истории математики в нашей стране.

Несомненной заслугой Б. В. является то, что он показал, что история математики необходима действующему математику. На Третьем Всесоюзном математическом съезде (1956) Б.В. перечислил магистральные направления историко-научных исследований в этой области. Он подчеркнул значение истории математики "а) для целей выяснения общих закономерностей развития математики, б) для выявления общих перспектив ее последующего развития, для выявления методологических установок науки, г) для выяснения связей с другими науками и роли математики в истории культуры, д) для целей преподавания и воспитания".

Эти задачи Б.В. реализовывал на протяжении пятидесяти лет, написав более 180 работ по истории математики. Среди них - более 32 биографических статей, посвященных Н.И. Лобачевскому, П.Л. Чебышеву, М.В. Остроградскому, А.Н. Колмогорову и др. В "Очерке по истории теории вероятностей" он прослеживает предысторию теории вероятностей, анализируя труды ученых, стоящих у истоков этой науки: Л. Пачолли (основатель бухгалтерского учета), Дж. Кардано, Н. Тартальи, Г. Галилея, Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса. Б.В. мастерски умел показать в элементарных рассуждениях предшественников зерна более широких идей. Изложение столь понятно и интересно, что хочется заглянуть в первоисточники - труды Я. Бернулли, П.Л. Чебышева, П. Леви и других.

Наиболее известная книга Б.В. - учебник "Курс теории вероятностей". Им пользуются студенты университетов уже свыше полувека. Он выдержал несколько десятков изданий в СССР, США, ГДР, Японии и многих других странах. Совместно с А.Я. Хинчиным Б.В. написал научно-популярную книгу "Элементарное введение в теорию вероятностей", которая также вот уже более пятидесяти лет пользуется огромной популярностью и выдержала множество изданий в СССР и за рубежом.

Б.В. уделял большое внимание вопросам преподавания. Он руководил научно-исследовательскими семинарами но программированному обучению, по вопросам преподавания в средней школе, был председателем секции теории вероятностей и математической статистики и секции средней школы Московского математического общества. Большое число статей опубликовано им в журналах "Вестник высшей школы", "Математика в школе", в сборниках научно-методического совета Минвуза СССР.

Лекции Б.В. пользовались большим успехом в любой аудитории. Естественна попытка проанализировать те средства, которые использовал Б. В. для воздействия на слушателей во время лекций. Суть их в простоте, в уважении своих слушателей, в желании передать им те сведения, которые им необходимы; в демонстрации на ярких и доступных примерах важности того, о чем идет речь; в умении связывать общие идеи с различными частными задачами, которые близки интересам слушателей; в ненавязчивом, постоянном воспитании научного мировоззрения. И все это вместе взятое высказывалось Б. В. Гнеденко на лекциях так, что в каждый момент звучало нужное слово с нужной интонацией.

Охватывая в своем творчестве весь диапазон, который может попасть в поле зрения математика - от исходной практической проблемы до теоретической чисто математической задачи и затем от решения этой задачи обратно к практической проблеме - Б.В. вполне естественно обращался к осмыслению своего пути исследователя. Он посвящал методологическим исследованиям отдельные работы, постоянно обращался к проблемам таких исследований в книгах более общего характера. Методологические вопросы постоянно обсуждались также в публикациях, посвященных роли математических методов исследования в научно-техническом прогрессе или применению современных статистических методов в управлении качеством продукции.

Своей личностью, своей собственной научной, педагогической и организационной работой Б.В. Гнеденко показывал пример плодотворного единения теории и практики. И символично, что он в 1961 г. создал раздел "Математические методы исследования" в журнале "Заводская лаборатория" и возглавлял его более 30 лет. И сейчас для нас важны его выступления на страницах этого журнала, в котором публикуются основные отечественные работы по статистическим методам.

В довоенный период советская вероятностно-статистическая наука прославилась двумя достижениями. Об одном - построении А.Н. Колмогоровым теории вероятностей на основе теории меры и интеграла Лебега - уже говорилось. Второе - разработка непараметрических критериев проверки согласия и однородности. Сначала фундаментальный результат - критерий согласия эмпирического с распределения с теоретическим (критерий Колмогорова) - был получен А.Н.Колмогоровым, затем дело взял в свои руки член-корреспондент АН СССР Николай Васильевич Смирнов (1900 - 1966).

О работах Н.В. Смирнова. Его основные научные труды опубликованы в сборнике [10], на который и будем ссылаться. Наиболее ценная книга ХХ в. по статистическим методам, на наш взгляд, подготовлена членами-корреспондентами АН СССР Л.Н. Большевым и Н.В. Смирновым. Это - "Таблицы математической статистики" (далее "Таблицы..."). Название не должно обманывать - весьма полезна начинающая книгу пояснительная часть (разделы с кратким и строжайше выверенным описанием классических статистических методов, примерами их применения, комментариями к таблицам). Учебники Н.В. Смирнова по статистическим методам и по сей день остаются среди лучших.

Мы уже упоминали, что с работы Н.В Смирнова 1951 г. "О приближении плотностей распределения случайной величины" [10, с.205-223] началось развитие такого перспективного, в том числе в статистике нечисловых данных, направления, как непараметрические оценки плотности. Однако с его именем чаще связывают "критерии Смирнова". Пусть F_n(t) - эмпирическая функция распределения, построенная по выборке объема n из непрерывной функции распределения F(t). Для определенности напомним, что согласно Л.Н. Большеву и Н.В. Смирнову значение эмпирической функции распределения в точке х равно доле результатов наблюдений в выборке, меньших х. Одновыборочные критерии Смирнова, введенные в статье 1939 г. "Об уклонениях эмпирической функции распределения" [10, с.88-107], основаны на статистиках, представляющих собой максимум и минимум отклонений эмпирической функции распределения от теоретической. Очевидно, критерий Колмогорова есть максимум этих двух статистик. Поэтому возникает желание объединить все три критерия в одну группу - группу критериев Колмогорова-Смирнова. Однако разработанные Н.В. Смирновым методы рассуждений, использованные для получения распределений рассматриваемых статистик, совершенно оригинальны. Они не имеют ничего общего с подходом А.Н. Колмогорова. Поэтому мы считаем, что надо говорить отдельно о критерии Колмогорова и отдельно о критериях Смирнова, а если уж надо объединить их вместе, то говорить о критериях типа Колмогорова-Смирнова, но не о критериях Колмогорова-Смирнова, поскольку употребление последнего выражения приводит к искажению исторической правды.

Двухвыборочные критерии Смирнова однородности двух независимых выборок были им предложены и изучены в 1939 г. (см. [10, с.117-127]). Единственное ограничение - функции распределения F(x) и G(x) должны быть непрерывными. Критерии Смирнова основан на использовании эмпирических функций распределения F_m(x) и G_n(x), построенных по первой и второй выборкам соответственно. Значение двухсторонней статистики Смирнова, равное супремуму модуля разности двух эмпирических функций распределения, сравнивают с соответствующим критическим значением (см., например, "Таблицы...") и по результатам сравнения принимают или отклоняют гипотезу Н₀ о совпадении (однородности) функций распределения. Поскольку функции распределения F(x) и G(x) предполагаются непрерывными, то вероятность совпадения каких-либо выборочных значений равна 0. Статистики, равные максимуму и минимуму разности двух эмпирических функций распределения, также могут быть использованы для проверки однородности двух независимых выборок. Их называют двухвыборочными односторонними статистиками Смирнова.

Статистика омега-квадрат равна интегралу по всей прямой от квадрата разности эмпирической и теоретической функций распределения по теоретической функции распределения, умноженному на объем выборки. Она также используется для проверки согласия эмпирического распределения с фиксированным теоретическим. Эту статистику в 1928 - 1931 гг. предлагали использовать Г. Крамер и Р. фон Мизес, однако ее предельное распределение вычислил в 1937 г. Н.В. Смирнов в статье "О распределении критерия омега-квадрат Мизеса" [10, с.60-78], что и позволило использовать эту статистику в практических расчетах. Поэтому статистику омега-квадрат обычно называют также статистикой Крамера-Мизеса-Смирнова. Имеющаяся в статье [10, с.60-78] погрешность в формулировке леммы 6 (с.75, формула (97)) (пропущен множитель (-1)^k из-за неправильного применения теории функций комплексного переменного) исправлена нами в статье 1974 г., посвященной скорости сходимости распределения статистики Мизеса - Смирнова.

Как следует из сказанного выше, А.Н. Колмогоров и Б.В. Гнеденко внесли огромный вклад в развитие статистических методов. Однако они занимались и многими другими проблемами (особенно А.Н. Колмогоров). Полностью посвятили себя статистическим методам в ХХ в. только два исследователя с академическими званиями - члены-корреспонденты АН СССР Н.В. Смирнов и Л.Н. Большев.

Логин Николаевич Большев (1922 - 1978) до конца Великой Отечественной войны участвовал в боевых действиях как летчик-истребитель. В 1951 г. окончил механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, будучи учеником А.Н. Колмогорова. Затем стал сотрудником Математического института АН СССР, в котором работал бок о Н.В. Смирновым, которого и сменил в 1966 г. на посту руководителя отдела математической статистики. Для работ Л.Н. Большева характерно сочетание высокого математического уровня с направленностью на практические приложения статистических методов. Его безвременная кончина обозначила рубеж, после которого разрыв между математической статистикой и статистическими методами (включая прикладную статистику) стал в сложившихся отечественных условиях неизбежным.

Профессор В.В. Налимов как организатор науки. Профессор МГУ им. М.В. Ломоносова, доктор технических наук Василий Васильевич Налимов (1910 - 1997), далее В.В. -создатель и руководитель нескольких новых научных направлений: метрологии количественного анализа, химической кибернетики, математической теории эксперимента и наукометрии. Занимался проблемами математизации биологии, анализом оснований экологического прогноза, вероятностными аспектами эволюции, проблемами языка и мышления, философией и методологией науки, проблемами человека в современной науке, вероятностной теорией смыслов. Свой жизненный путь описал в книге "Канатоходец" (1994).

Известность пришла к В.В. после выхода книги "Применение математической статистики при анализе вещества" (1960) - справочника по применению классических статистических методов в работе химиков-аналитиков. Поскольку В.В. пришел в статистические методы не из математики, а из практической деятельности в заводских лабораториях, то и книга его была ориентирована на потребности практики.

Следующий шаг - создание секции "Математические методы исследования" в журнале "Заводская лаборатория". Сейчас под названием журнала стоит: "Ежемесячный научно-технический журнал по аналитической химии, физическим, математическим и механическим методам исследования, а также сертификации материалов". У истоков секции стояли Б.В. Гнеденко и В.В., однако реально работу секции организовывал В.В. Налимов. Под его руководством она стала и остается поныне штабом развертывания исследований по статистическим методам в нашей стране.

В соответствии с тематикой журнала публикации секции посвящены в основном статистическим методам анализа данных измерений, наблюдений, испытаний, анализов, опытов. Большое значение придается математическим методам планирования экспериментов. В частности, при оптимизации технологических процессов в металлургической, химико-технологической, фармацевтической и иных отраслях промышленности применение методов экстремального планирования экспериментов позволяет заметно повысить выход продукта, обычно на 30 - 300%.

Основные направления работы секции - прикладная статистика и планирование эксперимента. В первом из них принимается, что экспериментатор не может выбирать точки (значения факторов), в которых проводятся измерения, во втором, напротив, выбор возможен, и основная задача - оптимальный подбор таких точек. Большое внимание уделяется вопросам оптимального управления технологическими процессами, в частности, статистическим методам управления качеством продукции. Рассматриваются также теория и практика экспертных оценок, применение нечетких множеств и др.

Заслугой В.В. является то, что в 60-е - 70-е гг. в нашей стране создана мощная научно-практическая школа в области планирования эксперимента. Перу В.В. принадлежит длинный ряд статей и книг, посвященный развитию теории и практики планирования эксперимента.

В 1961 г. создана секция "Химическая кибернетика" (под председательством В.В.) в Научном совете по комплексной проблеме "Кибернетика" при Президиуме АН СССР. С 1971 г. В.В. возглавлял секцию "Математическая теория эксперимента". Она объединяла более 500 активно действующих специалистов, работавших в академических и отраслевых институтах, вузах и на промышленных предприятиях. Развитие новой отрасли науки отслеживалось методами наукометрии, во многом созданной трудами В.В.

В 1965 г. А.Н. Колмогоров организовал в МГУ им. М.В. Ломоносова межфакультетскую Лабораторию статистических методов и пригласил В.В. стать его первым заместителем. Задачи, поставленные перед Лабораторией, формулировались так: изучение и дальнейшая разработка вероятностно-статистических методов; их пропаганда и широкое внедрение в научную, инженерную и медицинскую практику; хоздоговорная деятельность; педагогическая и издательская деятельность; проведение общемосковских семинаров, летних научных школ, участие в конференциях. Штатный состав достигал 130 человек. Такого мощного научного института - лидера не было в нашей стране. Нет и сейчас.

Организационным структурам, занимавшимся развитием статистических методов в нашей стране, не удалось укрепиться.

Большим успехом было введение в начале 70-х гг. преподавания в вузах химической кибернетики и создание соответствующих кафедр. Однако через год последовало решение о сокращении штатов, и эти вновь введенные кафедры перестали существовать.

Ректор МГУ им. М.В. Ломоносова академик И.Г. Петровский поддерживал создание и развитие межфакультетской Лаборатории статистических методов А.Н. Колмогорова. Однако после его смерти выяснилось, что эта Лаборатория существует "нелегально", поскольку не входит в официальную структуру университета. И в 1975 г. Лаборатория была расформирована. Ее сотрудники распределены между пятью факультетами университета. Оказался уничтоженным единственный в нашей стране центр, занимавшийся методологическими аспектами вероятностно-статистического моделирования. И это резко отрицательно сказалось на уровне отечественных прикладных работ.

В июле 1959 г. при Президиуме АН СССР создан Совет по кибернетике, который возглавил академик А.И. Берг. Инженер-адмирал (высшее флотское звание) Аксель Иванович Берг (1893-1979) работал в области создания, развития и применения радиолокации и современных систем радионавигации, над проблемами кибернетики, став крупнейшим специалистом в основных областях этой отрасли науки. Около 20 лет А.И. Берг поддерживал развитие статистических методов. А после его смерти новое руководство Совета "перекрыло кислород" этой тематике.

После смерти в 1978 г. члена-корреспондента АН СССР Л.Н. Большева резко сократилось сотрудничество между математиками и статистиками, разошлись пути математической и прикладной статистики.

Все эти события второй половины 70-х годов способствовали тому, что интересы В.В. сместились из научно-организационной деятельности в сферу его личных научных интересов. В книге "Вероятностная модель языка" (1979) В.В. развивает мысль о нечеткости слов в естественном языке (ср. с констатацией "Мы мыслим нечетко" в нашей статье 1982 г. "Математика нечеткости" в журнале "Наука и жизнь"). Затем в длинной серии публикаций В.В. развивает вероятностно ориентированную философию, включая вероятностное исчисление смыслов. Последняя научная книга В.В. "В поисках иных смыслов" начинается так: "Основная задача автора состоит в том, чтобы показать, что в наше время - в век утраты фундаментальных смыслов и всеобщей разбросанности знаний по отдельным закромам многоликой культуры - все же возможно построение единых, по-прежнему целостно звучащих метафизических систем".

Мы познакомились с основными достижениями пяти выдающихся исследователей советского периода - А.Н. Колмогорова, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнова, Л.Н. Большева, В.В. Налимова. Вместе с ними работали тысячи специалистов. Нельзя не назвать А.Я. Хинчина, С.Н. Бернштейна, Е.Е. Слуцкого, В.С. Немчинова, В.И. Романовского, Г.К. Круга, А.А. Любищева. И многих, многих других. История русской и советской статистики требует дальнейшего изучения, прежде всего потому, что старые дискуссии продолжаются и сейчас. Так, в настоящем учебнике обсуждаются многие из тех проблем, которые волновали В.В. Налимова.