Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Февраль 2013   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Асмик Гаряка
Статус: Советник
Рейтинг: 11007
∙ повысить рейтинг » 		Орловский Дмитрий
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 7019
∙ повысить рейтинг » 		Киселев Виталий Сергеевич
Статус: Академик
Рейтинг: 5673
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1762
Дата выхода:21.02.2013, 15:00
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:56 / 93
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 187163: Здравствуйте! Прошу помощи по двум вопросам: 1) Нужно написать как выглядит тензор второго ранга в сферической системе координат: Тензор первого ранга я понимаю как выглядит, это просто матрица 3х1, а вот как это превратить в матрицу 3х3 мне не понятно... разве что у н...

Консультация # 187163:

Здравствуйте! Прошу помощи по двум вопросам:

1) Нужно написать как выглядит тензор второго ранга в сферической системе координат:


Тензор первого ранга я понимаю как выглядит, это просто матрица 3х1, а вот как это превратить в матрицу 3х3 мне не понятно... разве что у нее X,Y,Z будут диагональными элементами. но мне этот вариант показался сомнительным.

2) Нужно вывести формулу , где Т - тензор

Понимаю, что надо как-то выразить это через символы Леви-Чивиты, но что делать со символами Кристоффеля не понятно.

начало я расписываю так:
а дальше получаются символы Кристоффеля и непонятно smile

Дата отправки: 13.02.2013, 14:21
Вопрос задал: Михаил (5-й класс)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор):

Здравствуйте, Михаил!

Задача 1. (Из билета)
Найти дивергенцию тензора 2-го ранга в сферической системе координат.
Даны формулы перехода от сферической системы координат к декартовой:
x = x1sin(x2)cos(x3); y = x1sin(x2)sin(x3); z = x1cos(x2).

Решение.
Пусть дано тензорное поле aij. Вычислим его ковариантную производную:
∇ (aij ei ej) = (∂aij/∂xkei ej + aij ∂ ei/∂xk ej + aij ei ∂ ej/∂xk) ek = (∂aij/∂xk + Γimk amj + Γjmk aim ) e< /b>i ej ek,
откуда
aij,k = ∂aij/∂xk + Γimk amj + Γjmk aim.

Чтобы получить дивергенцию, свернем результат по индексам j = k. (Можно свернуть вместо этого по индексам i = k. Если тензор несимметричный, получится другой результат -- при взятии дивергенции нужно указывать, по какому индексу она берется):
aij,j = ∂aij/∂xj + Γimj amj + Γjmj aim. (1)

Найдем символы Кристоффеля сферической системы координат, пользуясь данными в условиии формулами. Запишем сначала радиус-вектор:
r = xi + yj + zk = i x1sin(x2)cos(x3) + j x1sin(x2)sin(x3) + k x1cos(x2).

Теперь найдем базисные векторы сферической системы координат:
e1 = ∂r/∂x1 = i sin(x2)cos(x3) + j sin(x2)sin(x3) + k cos(x2),
e2 = ∂r/∂x2 = i x1cos(x2)cos(x3) + j x1cos(x2)sin(x3) - k x1sin(x2),
e3 = ∂r/∂x3 = -i x1sin(x2)sin(x3) + j x1sin(x2)cos(x3).

Разложим производные базисных векторов по базису сферической системы координат:
∂e1/∂x1 = 0,
∂e2/∂x2 = -i x1sin(x2)cos(x3) - j x1sin(x2)sin(x3) - k x1cos(x2) = - (1/x1)e1,
∂e3/∂x3 = -i x1sin(x2)cos(x3) - j x1sin(x2)sin(x3) = -sin(x2) (e1 x1 sin(x2) + e2 cos(x2)),
∂e1/∂x2 = ∂e2/∂x1 = i cos(x2)cos(x3) + j cos(x2)sin(x3) - k sin(x2) = (1/x1)e2,
∂e1/∂x3 = ∂e3/∂x1 = -i sin(x2)sin(x3) + j sin(x2)cos(x3) = (1/x1)e3,
∂e2 /∂x3 = ∂e3/∂x2 = -i x1cos(x2)sin(x3) + j x1cos(x2)cos(x3) = ctg (x2) e3.

Отсюда находим символы Кристоффеля как коэффициенты полученных разложений:
Γ122 = -x1; Γ133 = -x1sin2(x2); Γ233 = -sin(x2)cos(x2); Γ212 = Γ221 = Γ313 = Γ331 = 1/x1; Γ332 = Γ323 = ctg (x2), (2)
остальные компоненты нулевые.

Окончательный результат получится подстановкой символов Кристоффеля (2) сферической системы координат в формулу (1).
Результат подстановки не выписан, т.к. он громоздкий.


Решение задачи 2.
Если входящие в формулу в еличины являются тензорами, достаточно проверить ее в одной системе координат -- в любой другой она будет выполняться автоматически. В евклидовом пространстве формулу достаточно проверить в ортогональных координатах. В тензорных обозначениях в ортогональных координатах формула, которую требуется доказать, запишется так:

Tj∂Ti/∂xj = (1/2)∂(TjTj) + εsjk∂Tk/∂xj εisrTr. (1)

Используя равенство εsirεsjk = δijδrk - δikδjr, находим:

εsjk∂Tk/∂xj εisrTr = - εsir εsjk ∂Tk/∂xj Tr = - (δijδrk - δikδjr ) ∂Tk/∂xjTr = -∂Tk/∂xiTk + ∂Ti/∂xjTj = -(1/2)∂(TjTj) + Tj∂Ti/∂xj,

откуда легко получить (1).

Консультировал: Лангваген Сергей Евгеньевич (Профессор)
Дата отправки: 19.02.2013, 13:23

5
Спасибо!
-----
Дата оценки: 20.02.2013, 00:12
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!

© 2001-2012, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А. | Гладенюк А.Г.
Хостинг: Компания "Московский хостер"
Версия системы: 2011.6.36 от 26.01.2012
В избранное