Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Март 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
18.03.2008
00:16:52
01:49:12
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Теория игр


Математика для экономистов
http://math-economics.tut.su http://community.livejournal.com/math_economics/

Новости проекта


27.11.2007 На сайте в раздел "Математический анализ" добавлена статья "Использование понятия определенного интеграла в экономике".

29.11.2007 На сайте в раздел "Математический анализ" добавлена статья "Метод наименьших квадратов".

03.03.2008 Открыты рассылки "Управление портфелем ценных бумаг", "Риск-менеджмент и финансовая математика".




Теория игр (продолжение, начало в выпусках # 18, 27, 28, 32, 33)


Методы и модели решения игровых задач. Принцип минимакса (осторожности)


При постановке задач необходимо иметь в виду некоторые преобразования, которые помогают упростить сложную задачу путем изменения - уменьшения размерности платежной матрицы посредством выделения и исключения доминирующих и дублирующих стратегий. Стратегия игрока Аi доминирует над стратегией Аk, если при любом поведении противника даст не меньший выигрыш, а если такой же, то дублирует Аk. В таком случае все элементы строки i больше (доминируют) или равны (дублируют) всех элементов строки k.

Пример 1. С учетом вариантов конъюнктуры В1, В2, В3, В4, В5, сложившейся на рынке, и поведения покупателей в микрорайоне города коммерческое предприятие разработало шесть технологий продажи товаров А1, А2, А3, А4, А5, А6. Найти оптимальное решение. Возможные варианты среднедневного товарооборота в млн руб. приведены ниже.

 

Стратегия А1 доминирует над стратегией А6, а стратегия А4 доминирует над стратегией А5, следовательно, исключаем 5-ю и 6-ю строки матрицы.

 

С позиций проигрышей игрока В стратегии В3, В4 и В5 доминируют над стратегией В1, поэтому эти столбцы исключаем.

 

С позиций игрока А стратегия А1 доминирует над стратегией А4, а стратегия А2 доминирует над стратегией А3, поэтому исключим 3-ю и 4-ю строки и в результате получаем сокращенную матрицу:

 

Дальнейшее облегчение расчетов дает другое эквивалентное преобразование матрицы, при котором не изменяются оптимальные смешанные стратегии игроков P и Q.

Теорема. Если (P, Q, v) - есть решение игры с матрицей А, то решение игры с матрицей kA + b есть (P, Q, kv + b), где k > 0, b - любое действительное число.

На этом основании для рассматриваемой матрицы при k = 10 и b = -3, применяя указанное преобразование предыдущей матрицы, получим следующую матрицу:

 

Этим приемом слледует пользоваться в случае наличия в матрице отрицательных элементов и таким образом можно в значительной степени упростить постановку сложной задачи.

Пример 2. Пусть дана платежная матрица. Найти решение игры, т.е. определить нижнюю и верхнюю цены игры и минимаксные стратегии.

 



a1 = minj (5, 3, 8, 2) = 2;
a2 = minj (1, 6, 4, 3) = 1;
a3 = minj (9, 5, 4, 7) = 4;
b1 = maxi (5, 1, 9) = 9;
b2 = maxi (3, 6, 5) = 6;
b3 = maxi (8, 4, 4) = 8;
b4 = maxi (2, 3, 7) = 7;
a = maxi (2, 1, 4) = 4;
b = minj (9, 6, 8, 7) = 6.

Таким образом, нижней цене игры (a = 4) соответсвует стратегия А3 игрока I. Выбирая эту стратегию, игрок I достигнет выигрыша не меньше 4 при любом поведении игрока II. Верхней цене игры (b = 6) соответствует стратегия игрока II - В2. Эти стратегии являются минимаксными. Если обе стороны будут придерживаться этих стратегий, выигрыш будет равен 5.


I / II В1 В2 В3 В4 ai
А1 5 3 8 2 2
А2 1 6 4 3 1
А3 9 5 4 7 4
bj 9 6 8 7

|| 1 6 ||
A = || 3 2 || .

|| 0,4 0,9 ||
A = || 0,6 0,5 || .

В1 В2
А1 0,4 0,9
А2 0,6 0,5
А3 0,6 0,3
А4 0,3 0,8

В1 В2 В3 В4 В5
А1 0,4 0,9 0,5 0,5 0,6
А2 0,6 0,5 0,7 0,8 0,9
А3 0,6 0,3 0,8 0,6 0,7
А4 0,3 0,8 0,5 0,4 0,3

В1 В2 В3 В4 В5
А1 0,4 0,9 0,5 0,5 0,6
А2 0,6 0,5 0,7 0,8 0,9
А3 0,6 0,3 0,8 0,6 0,7
А4 0,3 0,8 0,5 0,4 0,3
А5 0,1 0,3 0,5 0,4 0,3
А6 0,4 0,8 0,5 0,4 0,5

Содержание рассылки зависит и от Вас: чем активнее Вы проявляете свою заинтересованность в той или иной теме, задаете те или иные вопросы - тем полезнее рассылка будет для каждого из Вас! Пишите
В избранное