Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Декабрь 2006   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Введение в математическую теорию игр.


   
Математика для экономистов
http://www.mathematics4you.narod.ru
Теория игр

Основные понятия теории игр

В задачах оптимизации решение выбиралось при предположении о том, что известны целевая функция, различные способы действия и ограничения. Рассмотрим задачи принятия решений в ситуациях с несколькими участниками, когда значение целевой функции для каждого из субъектов зависит и от решений, принимаемых всеми остальными участниками.

Предметом теории игр являются такие ситуации, в которых важную роль играют конфликты и совместные действия.

Всякая претендующая на адекватность математическая модель социально-экономического явления должна отражать присущие ему черты конфликта, т.е. описывать:

  1. множество заинтересованных сторон (игроков);
  2. возможные действия каждой из сторон (стратегии или ходы);
  3. интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.

В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выигрыша и стратегии всех остальных игроков, и в соответствии с этой информацией организует свое поведение.

Формализация содержательного описания конфликта представляет собой его математическую модель, которую называют игрой.

Теория игр впервые была систематически изложена Дж.фон Нейманом и О.Монгерштерном в 1944г., хотя отдельные результаты были опубликованы еще в 20-х годах. Нейман и Монгерштерн написали оригинальную книгу, которая содержала главным образом экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Затем главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам. Сейчас ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр.


Классификация игр

Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

Формальное представление игр

Дадим формальное описание перечисленных элементов конфликта. Множество всех игроков, обозначаемое I, в случае конечного их числа может задаваться простым перечислением игроков. Например, I = {1, 2} при игре в орлянку, I = {Продавец, Покупатель} в ситуации монополия-монопсония, I = {1, 2, ..., n} в случае анализа результатов голосования в парламенте.

Множество стратегий игрока i обозначим через Xi. При игре в орлянку каждый игрок располагает двумя стратегиями: Xi = {Орел, Решка}; каждый участник голосования имеет выбор на множестве стратегий {За, Против}. В случае взаимодействия на рынке как Продавец, так и Покупатель могут назначать некоторую неотрицательную цену на продаваемый (покупаемый) товар, т.е. множество стратегий каждого из них Xi: Рi>0.

В каждой партии игрок выбирает некоторую свою стратегию xi, в результате чего складывается набор стратегий x = {x1, x2, ..., xn}, называемый ситуацией. Так, ситуацию в Парламенте описывает список {За, За, Против, За ...}, полученный в итоге проведенного голосования.

Заинтересованность игроков в ситуациях проявляется в том, что каждому игроку i в каждой ситуации х приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в данной ситуации. Это число называется выигрышем игрока i и обозначается через hi(x), а соответствие между набором ситуаций и выигрышем игрока i называется функцией выигрыша (платежной функцией) этого игрока Нi.

В случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из игроков удобно представлять в виде матрицы выигрышей, где строки представляют стратегии одного игрока, столбцы - стратегии другого игрока, а в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков в каждой из образующихся ситуаций. Данная форма представления конечных игр двух лиц объясняет общее для них название - матричные игры.

Конкретные примеры формализации игр можно посмотреть здесь: http://www.mathematics4you.narod.ru/24.doc



В следующих выпусках рассылки:

  • решение матричных антагонистических игр;
  • игры с нулевой суммой и кооперативные игры;
  • применение аппарата теории игр для анализа проблем микроэкономики;
  • позиционные игры.

mathematics.economics@rambler.ru

Автор оставляет за собой право:

а) отвечать не на все полученные письма,
б) публиковать полностью или частично полученные письма в рассылке.
В избранное