Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Июнь 2003   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Математика для экономистов Выпуск 3.


Информационный Канал Subscribe.Ru

Математика для экономистов.
Выпуск # 3. E-mail: mathematics@home.tula.net URL: mathematics.boom.ru
1. МАТРИЦЫ.

Большинство читателей рассылки справились с задачей 1.2, но очень вольно обращались при этом с операцией умножения матриц, поэтому остановимся на ней подробнее.

Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц Аm x k * Bk x n называется такая матрица Сm x n, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aikbkj.

Пример 1.

Вычислить произведение матриц А * B, где

|| 1 0 2 || || -1 0 1 ||
A = || 3 1 0 || ; B = || 5 1 4 || .
|| -2 0 1 ||

Решение.

1) Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): A2x3 * B3x3 = C2x3.

2) Вычислим элементы матрицы-произведения C, умножая элементы каждой строки матрицы А на соответствующие элементы столбцов матрицы В следующим образом:

|| 1 x (-1) + 0 x 5 + 2 x (-2) 1 x 0 + 0 x 1 + 2 x 0 1 x 1 + 0 x 4 + 2 x 1 || || -5 0 3 ||
C = || 3 x (-1) + 1 x 5 + 0 x (-2) 3 x 0 + 1 x 1 + 0 x 0 3 x 1 + 1 x 4 + 0 x 1 || = || 2 1 7 || .

Операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

а) Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведения матриц ВА может и не существовать. Действительно, в примере 1 получили произведение матриц A2x3 * B3x3, а произведения В3x3 * А2x3 не существует, так как число столбцов первой матрицы не совпадает с числом строк второй матрицы.

б) Если даже произведения АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

Пример 2.

Найти произведения матриц АВ и ВА:

|| 2 1 1 || || 0 3 ||
A = || 0 3 2 || , B = || 1 5 || .
|| -1 1 ||

Решение.

|| 0 12 ||
A2x3 * B3x2 = C2x2 = || 1 17 || ;

|| 0 2 -2 ||
B3x2 * A2x3 = D3x3 = || 2 16 11 || ,
|| -2 2 1 ||

т.е. А*В не равно В*А.

в) В случае, когда оба произведения АВ и ВА существуют и оба - матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е. АВ не равно ВА.

Пример 3.

Найти произведения матриц АВ и ВА, где

|| 1 2 || || 0 5 ||
A = || 3 4 || , B = || 6 8 || .

Решение.

|| 12 21 || || 15 20 ||
AB = || 24 47 || , BA = || 30 44 || ,

т.е. А*В не равно В*А.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы A n-го порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произведение равно А:

АЕ = ЕА = А.

Таким образом, единичная матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

г) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что A * B = 0, не следует, что А не равно 0, или B не равно 0. Например,

|| 1 1 || || 1 1 || || 0 0 ||
A = || 1 1 || , B = || -1 -1 || , но AB = || 0 0 || = 0 .

P.S. Как верно заметили многие подписчики, существует 2 способа решения задачи 1.2.

1 способ: Q = B x S = B x (A x C). В этом случае С - матрица-столбец.

2 способ: Q = C x R = C x (B x A). В этом случае С - матрица-строка.

Полностью оба способа приведены на сайте в статье "Матрицы".
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Решения задач 2.1, 2.2, 2.3 полностью приведены на сайте в статье "Системы линейных уравнений". При решении составленных систем уравнений использованы формулы Крамера, метод Гаусса и метод обратной матрицы.

Метод Гаусса нужно освоить обязательно, остальные методы - по желанию.

Поскольку задача 2.2 вызвала трудности, ее решение приводится в рассылке.

Задача 2.2.

С двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй - 150 машин. Известны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство (см. таблицу):

Завод Затраты на перевозку в автохозяйство, ден. ед.
1 2
1 15 20
2 8 25

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед. Найти оптимальный план перевозок машин.

Решение 2.2.

Пусть xij - количество машин, поставляемых с i-го завода j-му автохозяйству (i, j = 1, 2).

Получаем систему:

x11 + x12 = 350 ,
x21 + x22 = 150 ,
x11 + x21 = 200 ,
x12 + x22 = 300 ,
15x11 + 20x12 + 8x21 + 25x22 = 7950 .

Решим эту систему методом Гаусса. Преобразуем расширенную матрицу системы:

|| 1 1 0 0 | 350 || || 1 1 0 0 | 350 ||
|| 0 0 1 1 | 150 || || 0 1 0 1 | 300 ||
|| 1 0 1 0 | 200 || ~ || 0 0 1 1 | 150 || ~
|| 0 1 0 1 | 300 || || 1 0 1 0 | 200 ||
|| 15 20 8 25 | 7950 || || 15 20 8 25 | 7950 ||


|| 1 1 0 0 | 350 || || 1 1 0 0 | 350 ||
|| 0 1 0 1 | 300 || || 0 1 0 1 | 300 ||
~ || 0 0 1 1 | 150 || = || 0 0 1 1 | 150 || ~
|| 1 - 1 0 - 1 1 - 0 0 - 0 | 200 - 350 || || 0 -1 1 0 | -150 ||
|| 15 - 15 x 1 20 - 15 x 1 8 - 15 x 0 25 - 15 x 0 | 7950 - 15 x 350 || || 0 5 8 25 | 2700 ||


|| 1 1 0 0 | 350 || || 1 1 0 0 | 350 ||
|| 0 1 0 1 | 300 || || 0 1 0 1 | 300 ||
~ || 0 0 1 1 | 150 || = || 0 0 1 1 | 150 || ~
|| 0 + 0 -1 + 1 1 + 0 0 + 1 | -150 + 300 || || 0 0 1 1 | 150 ||
|| 0 - 5 x 0 5 - 5 x 1 8 - 5 x 0 25 - 5 x 1 | 2700 - 5 x 300 || || 0 0 8 20 | 1200 ||


|| 1 1 0 0 | 350 || || 1 1 0 0 | 350 || || 1 1 0 0 | 350 ||
|| 0 1 0 1 | 300 || || 0 1 0 1 | 300 || || 0 1 0 1 | 300 ||
~ || 0 0 1 1 | 150 || ~ || 0 0 1 1 | 150 || = || 0 0 1 1 | 150 || .
|| 0 0 8 20 | 1200 || || 0 - 8 x 0 0 - 8 x 0 8 - 8 x 1 20 - 8 x 1 | 1200 - 8 x 150 || || 0 0 0 12 | 0 ||

Мы пришли к системе:

x11 + x12 = 350 ,
x12 + x22 = 300 ,
x21 + x22 = 150 ,
12x22 = 0 .

Из IV уравнения: x22 = 0 / 12 = 0.

Из III уравнения: x21 = 150 - x22 = 150 - 0 = 150.

Из II уравнения: x12 = 300 - x22 = 300 - 0 = 300.

Из I уравнения: x11 = 350 - x12 = 350 - 300 = 50.

Ответ: (50; 300; 150; 0).

Есть интересные задачи по теме - присылайте, разберемся вместе!

В следующих выпусках:

  • модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ);
  • линейная модель обмена (модель международной торговли);
  • интерполирование функций;
  • задача о непрерывном начислении процентов.

Содержание рассылки зависит и от Вас: чем активнее Вы проявляете свою заинтересованность в той или иной теме, задаете те или иные вопросы - тем полезнее рассылка будет для каждого из Вас! Пишите: mathematics@home.tula.net.
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное