- Дом и семья → Дети → Школа
| ← Июль 2015 → | ||||||
|
1
|
2
|
4
|
5
|
|||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
7
|
9
|
10
|
11
|
12
|
||
|
14
|
16
|
18
|
19
|
|||
|
21
|
23
|
24
|
25
|
26
|
||
|
28
|
30
|
|||||
За последние 60 дней ни разу не выходила
Сайт рассылки:
http://www.intelmath.narod.ru
Открыта:
25-07-2008
Адрес
автора: job.education.maths-owner@subscribe.ru
Статистика
0 за неделю
Сложные задачи, которые вам раньше не встречались
|
Сложные задачи, которые вам раньше не встречались 2015-07-14 14:42 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com>  Этот чемпионат проводится с 1985 года, а Украина в нём участвует с 2002 года и наши неоднократно завоёвывают медали. Одной из особенностей чемпионата является оригинальность задач, их чаще всего не встретить в "математическом фольклоре". Подытоживая свой опыт участия в нём, авторы издали книгу "Задачі міжнародних математичних чемпіонатів", в которой более 800 задач, предлагавшихся на отборочных турах и суперфинале с 2002 года по сей день. Попробуйте решить некоторые из них. 1. В окружность вписаны три правильных многоугольника. У первого из них вдвое больше сторон, чем у второго. Если у каждого многоугольника взять по одной стороне, из этих сторон можно построить прямоугольный треугольник. Сколько сторон в каждом многоугольнике? Продолжение » Сумма всех натуральных чисел 2015-07-15 00:08 noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) Для числа 12 на математических часах я выбрал одну их наиболее парадоксальных формул, скогласно которой сумма всего бесконечного множетсва натуральных чисел равна конкретному (!) дробному (!) отрицательному (!) числу. А именно, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n = -\frac{1}{12}$ Чтобы разобраться, как такое может быть, начнём с ряда 1-1+1-1+1-1+1-1+...... Так как его сумма не стремится к какой-либо определённой величине, а принимает поочерёдно два различных значения: 1 или 0, он считается расходящимся. Однако можно расширить понятие суммирования рядов и на расходящиеся, для начала приняв: S = 1-1+1-1+1-1+1-1+... Тогда этот же ряд можно записать как: 1-(1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1-S Имеем уравнение: S = 1-S S = 0,5 Теперь возьмём этот ряд и вовзведём его в квадрат. При умножении рядов (a1+a2+a3+a4+...) на (b1+b2+b3+b4+...) получается ряд (a1b1)+(a1b2+a2b1)+(a1b3+a2b2+a3b1)+(a1b4+a2b3+a3b2+a4b1), в котором в один член группируются произвдедения тех елементов рядов-множителей, для которых сумма индексов постоянна. Получается, что (1-1+1-1+1-1+1-1+...)*(1-1+1-1+1-1+1-1+...) = 1+(1*(-1)+(-1)*1)+(1*1+(-1)*(-1)+1*1)+(1*(-1)+(-1)*1+1*(-1)+(-1)*1)+... = 1-2+3-4+5-6+7-... Таки образом, сумма натурального знакопеременного ряда 1-2+3-4+5-6+7-... равна 0,52 = 0,25 Теперь сделаем ещё один шаг. Какоя ряд надо прибавить к натуральному знакопеременному ряду, чтобы получить натуральный? 1-2+3-4+5-6+7-8+... + 0+4+0+8+0+12+0+16+... __________________ 1+2+3+4+5+6+7+8+... Но прибавляемый ряд равен учетверённому натуральному ряду: 0+4+0+8+0+12+0+16+... = 4(1+2+3+4+...) Значит, 1-2+3-4+5-6+7-8+... = 1+2+3+4+... -4(1+2+3+4+...)= -3(1+2+3+4+...) -3(1+2+3+4+...)=0,25 Откуда $1+2+3+4+5+6+7+8+\dots=-\frac{1}{12}$ Впервые этот результат был получен Рамануджаном. И это не результат софизма и не пустое развлечение. Как оказалось, величина $-\frac{1}{12}$ для суммы всех натуральных чисел сейчас находит применение в квантовой механике. Уравнение с параметром, корнем и модулями. 2015-07-23 23:10 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com> На мейловских "Ответах" попалось интересное задание. Условие Найдите все параметры а, при которых уравнение $\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5|$ имеет единственный корень. Решать его будем так. Во-первых введём новый параметр b=a-5 для упрощения. Уравнение примет вид: $\sqrt{x^4+b^4}=|x+b|+|x-b|$ Теперь обратим внимание на то, что в условии говорится о количестве решений уравнения. Чтобы узнать количество решений уравнения его часто не нужно решать, достаточно прикинуть, как буду выглядеть графики обеих его частей. Рассмотрим функцию y = |x+b|+|x-b| Продолжение » Формулы сокращённого умножения - камень преткновения в алгебре 8 класса 2015-07-31 11:45 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com> Действительно, формулы сокращённого умножения давно вызывают затруднения у школьников, которые пытаются их механически выучить, не понимая принципа. Они, например, упоминаются в хорошем юмористическом рассказе Юрия Сотника "Крокодилёнок" 1950 года. В то же время использоваться они будут не только в восьмом классе, но и во всей последующей математике, вплоть до задач внешнего тестирования. В этом выпуске "школьного математического справочника" мы сначала представим формулы, а затем расскажем, как они выводятся. Список формул сокращённого умноженияВыражения с квадратами1. Как раскрыть квадрат суммы: Квадрат суммы двух величин равен сумме квадратов этих величин и удвоенного произведения первой величины на вторую. (a+b)2 = a2+2ab+b2 2.Какраскрытьквадратразности: Квадрат разности двух величин равен сумме квадратов этих величин, уменьшенному на удвоенное произведение первой величины на вторую. (a-b)2= a2-2ab+b2 Продолжение » |
| В избранное | ||
