Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Приглашение в мир математики

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 307 RSS
←   Ноябрь 2014   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://www.intelmath.narod.ru
Открыта: 25-07-2008
Адрес автора: job.education.maths-owner@subscribe.ru

Автор
General

Статистика

307 подписчиков
-1 за неделю
←   Все выпуски   →

Объяснение математических часов: 1 - факториал нуля



Объяснение математических часов: 1 - факториал нуля
2014-11-07 21:09 noreply@blogger.com (Alexey Izvalov)
На своих математическия часах для обозначения числа 1 я использовал формулу:

$1 = 0!$

1. Факторал нуля.
Символ факториала (n!) обозначает произведение числе от 1 до n. Поэтому часто на математических часах через факториал тройки обозначают шестёрку: $3!=1\cdot 2\cdot 3 = 6$.

Но обозначение факториала можно расширить и на 0, если учесть, что $n!=1\cdot 2\cdot 3 \dots (n-1)\cdot n$ - это количество способов разместить в ряд n разных предметов. Так как 0 предметов можно разместить ровно один способом, то $0! = 1$

В блоге я как-то писал и о том, как можно определить факториал дробного числа.

С факторалом также связаны такие понятия, как факторион, субфакториал и праймориал.

Математические часы: 4 - функция Эйлера
2014-11-07 23:36 noreply@blogger.com (Alexey Izvalov)
Для числа 4, как и для числа 2 на математических часах также используется формула, связанная с Эйлером.

$4 = \phi(10)$

4 - Функция Эйлера
Фунция Эйлера, обозначающаяся греческой буквой фи, для некоторого натурального числа n равна количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n (т.е. не имеющих с n других общих делителей, кроме единицы). При этом принимается, что $\phi(1) = 1$.

Для числа 10 есть 4 числа, меньших его, которые не имеют с числом 10 других общих делителей, кроме единицы. Это 1, 3, 7 и 9. Поэтому $\phi(10) = 4$

Интересным свойством функции $\phi(n)$ является её мультипликативность. $\phi(mn) = \phi(m)\phi(n)$

Для простых чисел $\phi(p) = p-1$, для составных $\phi(n) < n-1$. Оказывается, для любого числа r в интервале [0;1] можно подобрать такое n, чтобы приблизить это r с любо точностью дробью $\frac{\phi(n)}{n}$

Объяснение математических часов: 2 - формула Эйлера
2014-11-08 21:10 noreply@blogger.com (Alexey Izvalov)
Вместо числа 2 на моих математических часах формула:
$2 = 1-e^{\pi i}$

2. Формула Эйлера
Считающаяся одной из самых красивых формул в математике, формула Эйлера объединяет числа пи, е, единицу, мнимую единицу и ноль и имеет вид:
$e^{\pi i}+1 = 0$

Почему число е, возведённое в мнимую степень, даёт действительное число?

Для начала уточним, что выражение $e^{\pi i}+1 = 0$ на самом деле называется тождеством Эйлера и является частным случаем более общей формулы Эйлера, которая выглядит так:
$e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Доказывается она через разложение показательных и тригонометрических функций в ряды. Тема степенных рядов заслуживает отдельного поста здесь или даже на Эвольвенте, но пока можно просто сказать, что верны равенства:
$e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$,
$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$,
$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots$,
где справа - бесконечные суммы.

Разложив $e^{i x}$ в ряд и использовав свойства мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$), мы и получим искомое выражение: $e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Подставив $x = \pi$, имеем: $e^{\pi i} = -1$






Математические часы: 3 - целая часть интеграла.
2014-11-09 22:11 noreply@blogger.com (Alexey Izvalov)
На математических часах я сначала тройку хотел обозначить как целую часть от пи. $3=[\pi]$. Но всё-таки для чисел 3, 6, 9 и 12 лучше использовать формулы побольше (как в посте о том, как опубликовать математическую статью).

$3=\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\right]$

3. Несобственный интеграл
Из "больших" формул на ум приходят лимиты, суммы и интегралы. Но брать обычный определённый интеграл - это слишком мейстримно. Гораздо интереснее рассмотреть интегралы, у которых пределы - в бесконечности. Берутся они аналогично, просто при вычислении нужно использовать предельный переход.

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2} = arctg~x |_{-\infty}^{\infty}=$
$= \lim_{x \rightarrow \infty} arctg~x-\lim_{x \rightarrow -\infty} arctg~x = \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi$

Таким образом, $3=\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\right]$
В избранное