Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 746 RSS
  Июнь 2007   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Открыта: 09-06-2007

Автор
Салимжанов Рафик Михайлович

Статистика

746 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Математика. Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ. Выпуск 3


Здравствуйте!
Сначала
ТЕСТЫ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

Пример 1. Решите уравнение cosx = -0,5.
A) 2π/3 + 2πn;   B) -2π/3 + πn;    C) ±2π/3 + 2πn;    D) -2π/3 + 2πn;    E) π/2 + 3πn.   

Представим себе, что на экзамене "вылетела" из головы формула для решения этого уравнения, но не вся. В памяти осталась толко ее часть x = ±... . Оказывается, что этого достаточно для того, чтобы отвергнуть все предложенные ответы, кроме С.
А вот еще один поучительный пример, в котором только что рассмотреный прием не работает.
Пример 2. Решите уравнение sin(x - π/4)= 0.
A) πk;   B) -π/4 + πk;    C) π/4 + 2πk;    D) 2πk;    E) π/4 + πn.   

Как быстро и правильно найти искомый ответ? Общего правила, алгоритма на этот счет нет. В данном случае можно в ответах вместо k подставить 0 и полученные значения х подставить в уравнение. При этом под подозрением останутся ответы С и D.

Кто-то скажет, что фокус не удался! Не совсем так. Серия углов С содержится в серии D. Возмем из ответа D угол, которого нет в серии С, например, π/4 + π (k = 1). Это угол удовлетворяет данному уравнению. Значит ответ С) неверен, а верен ответ D).

Часто учащиеся спашивают своих учителей
А МОЖНО МЕТОДОМ ПЕРЕБОРА?

Долгое время метод перебора в школьном курсе математики относили к методам "второго сорта". Поэтому его в школе старались не использовать.

Однако ученые-математики относится к методу перебора совершенно иначе. Известно много серьезных задач, которые математики не могут пока решать иначе, чем методом перебора. Поэтому методу перебора в современном школьном курсе математики необходимо уделять больше внимания.

При этом изучение этого метода не потребует больших затрат времени на уроках, так как, как правило, при решении задач при помощи уравнений имеет смысл рассматривать и этот метод как альтернативу общепринятому методу.

Рассмотрим некоторые примеры, заимствованные из учебников математики для общеобразовательных школ.

Задача 1. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Решение. Очевидно, что 187 = 1187 = 1117. Это все представления числа 187 в виде произведения двух натуральных чисел с точностью до порядка следования множителей. При этом только произведение 1117 полностью удовлетворяет условию задачи. Понятно, что приведенное выше решение намного рациональнее решения при помощи составления уравнения. Более интересными являются задачи, связанные с многозначными числами.

Задача 2. Если разделить двузначное число на сумму его цифр, то в частное будет равно 6, а остаток - 2. Если же это же число разделить на произведение его цифр, то неполное частное будет 5, а остаток - 2. Найдите это двузначное число.

Решение. Понятно, что искомое число должно содержаться среди двузначных чисел, которые при делении на 6 дают остаток 2, то есть среди чисел: 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68, 74, 80, 86, 92, 96. Из этих чисел первому условию удовлетворяет только числа: 32 и 84. При этом только 32 при делении на произведение своих цифр дает неполное частное 5, а остаток - 2.

Полезное наблюдение: При решении задач на нахождение многозначных чисел методом перебора важно найти то условие, которое позволяет значительно сократить количество переборов.

Задача 3. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если к каждой цифре прибавить по 2, то получится число на 3 меньше удвоенного первоначального числа. Решение. Понятно, что число 7 можно представить только в виде сумму двух цифр так: 7 = 7 + 0 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4. При этом если первая цифра больше 2, то разность между удвоенным первоначальным числом и числом, которое получится, после прибавления к каждой цифре искомого число по 2 будет больше 10. Поэтому первая цифра искомого числа 1 или 2. Значит, искомое число равно 16 или 25. Так как 216 - 38 ? 3, а 225 - 47 = 3, то искомое число - 25.

Здесь мы смогли значительно сократить количество переборов благодаря тому, что заметили, что первая цифра искомого числа не может быть больше 2.

Таким образом, не следует относить метод перебора к "некрасивым" методам, которое не развивает мышление учащихся. Дело не в том, что этот метод плохой или хороший, а в учителе, который не должен упускать возможности вооружать учащихся различными методами решения задач и при этом заботиться о том, чтобы эти методы применялись обдуманно, с учетом скрытых от внешнего взора условий, которые позволяют находить рациональные решения.
Полезная ссылка: http://natahaus.ru/ - обилие книг, не только по математике. Любой посетитель от кухарки до академика найдет здесь недостающий ему источник информации.
Напоследок анекдот: Учитель возмещенно:
- Просто не верится, что один человек может сделать столько ошибок!
- Почему один? Мы эту задачу с папой решали!
Если у Вас есть интересные темы, задачи, вопросы и др. по теме рассылки, то пишите по адресу egeent"собачка" (замените "собачка" на @ ) bk.ru, и я постараюсь затронуть эту темы в следующих выпусках.
В избранное