на главную страницу

    Заметки по философии математики. Статья 1

L30a14  Рекурсия арифметической показательной функции у=хⁿ

   Способ вычисления функции. Задана функция. Задается значение аргумента и по нему вычисляется значение функции.
    Способ вычисления рекурсивной функции. Значение функции вычисляется, исходя из знания его предшествующего значения. Рекурсивная функция есть функция от целочисленного аргумента. В целом это означает, что для функции определена единица измерения объектов, от которых переходят к производным объектам. И, поскольку выделена единица измерения множества объектов, все это множество объектов может быть перенумеровано посредством натурального ряда чисел, после чего мы можем оторваться от объектов и иметь дело уже с числами как именами объектов.. Тогда,  если задана функция, то ей может быть поставлено в соответствие имя какого-то другого объекта.
    Это - один подход. Мы можем также соотносить с натуральным числом множество объектов, такое, которое включает в себя все множество элементов предшествующих чисел, и плюс последнее. Т.о. первый вариант позволяет  определять число как порядковое, второй  - как количественное. Особенность вычисления рекурсивных функций заключается в её однонаправленном характере, что связано с фиксацией применяемых единиц измерения, которые, поскольку они приняты, уже  не могут делиться на части. Иначе говоря, при рекурсии единица выступает в качестве "первичной", "простейшей", т.е.далее не делимой. Тогда как обычное употребление функций не предполагает фиксации единиц измерения, в силу чего единицы измерения могут не только складываться, но и как угодно делиться.  

    Рекурсия  не  осуществима  для значений аргументов функций, для которых минимальная единица измерения не фиксируется. Поэтому, во-первых, рекурсивная функция есть функция от двух аргументов: от целочисленного аргумента и от функции этого аргумента. 1. f(0)=q, 2. f(x)=F((x-1),f(x-1)) Эта функция от двух аргументов имеет дело со значением функции относительно предшествующего значения целочисленного аргумента. Поэтому ясно, что для того, чтобы иметь возможность  вообще вычислить функцию, мы должны иметь её значение для начального аргумента, от которого будет осуществляться рекурсия. 

    После этих предварительных замечаний переходим к практике.

    Пусть дана функция у=х¹ , где х - аргумент от натурального ряда чисел (таблица 1а). Правая часть уравнения содержит правила, действуя в соответствии с которыми мы  получаем значение функции. Это действие - умножение значения аргумента на сомножитель, равный двум. Например, пусть х=4. Тогда у=8. Вычислим эту же функцию рекурсивно. Для этого, в соответствии с правилами вычисления по рекурсии 1. f(0)=q, 2. f(x)=F((x-1),f(x-1)) мы должны обеспечить сначала вычисление значения функции для х=0, а затем последовательно вычислять значения 1,2,3 и, наконец, четыре. Для этого нам нужно определить саму рекурсивную функцию.

Таблица 1а.
№		x		y		y`-y
1		0		0
2		1		1		1
3		2		2		1
4		3		3		1
5		4		4		1
				1		2

   Пусть x`=4. Тогда y`=4. Это ячейка 51. Она равна (сокращенное выражение для "её содержимое равно содержимому ячеек)") 41+42.  Запишем это: 51=41+42. 42=41-31. Получаем: 51=41+41-31=2*41-31. Откуда: y`=2y-`y. (1а). Можем записать: ˄х(y`=2y-`y), где хϵN. Пусть х`=10. Тогда y=2*9-8=10. В дальнейшем может представлять интерес движение не вперед, а назад, именно, от заданного значения функции к предыдущему. В этом случае, очевидно, предыдущие значения функции должны определяться на основании последующих. Тогда примем, что нужно  найти f(`x), если дан f(x). Пусть x`=2. Тогда получаем: 31=41-42. 42=51-41, откуда 31=41-(51-41)=41-51+41=2*41-51. Следовательно, `y=2*y-y` (1б). Можем записать: 31=2*41-51=2*3-4=2;  21=2*31-41= 2*2-3=1;  11=2*21-31=2*1-2=0 (Вначале записываем отношения между ячейками, а затем подставляем на место значений ячеек их содержимое)

   Обратимся к общему алгоритму. Всякое y`=y+(y`-y). Где y`-y представляет собой сумму разностей, представленных столбцами, начиная со второго. Для того, чтобы формула могла быть выполнена, необходимо знание значений функции для предшествующего числа переменных, равного  показателю степени s+1. В настоящем случае s=1, поэтому мы должны знать значения у, `y. Так, например, если мы берем строку №_с=4, то нам должно быть известно содержимое ячеек 41, 31 таблицы. Тогда мы можем записать: 51=41+(41-31)=2*41-31, откуда y`=2*y-`y. Пусть х`=15. Тогда нам должны быть известны значения функции для х, равного 14 и 13. И мы получаем: y`=2*14-13=15. Пусть мы имеем дело с линейной функцией у=nx=2x и х`=4. Тогда мы должны знать значения функции для х=3,2. Для них  у=6,`y=4. Получаем: y`=2*6-4=8. Очевидно, что формула (1а) выполняется для линейных функций вида у=nх. Пусть у=nx+m, например, у=2х+2, и х`=4. Тогда у(3)=8, у(2)=6. Откуда у(4)=2*8-6=10.  Формула проходит и для функций вида у=nx+m
     

Построим рекурсивную функцию для показательной целочисленной функции степени s=2:  у=х² , где х принимает целочисленные значения 0, 1,2,... 

 Какова технология нахождения рекурсивной функции. Вначале мы должны найти правило, в соответствии с которым на основании знания предыдущего значения функции мы можем определить её последующее значение. Затем, в соответствии с полученным правилом,  определяем значение функции для её начального значения. После чего, последовательно прибавляя единицу к аргументу, потенциально можем получить весь ряд значений целочисленной функции.

   Схема поиска правила заключается в следующем: мы находим разности сначала между у`-у, затем разности разностей и т.д. до тех пор, пока разности не станут постоянными. На основе полученной т.о. таблицы данных определяем существующую зависимость между предшествующим и последующим значением функции. Разности  мы находим для того, чтобы установить различия между предшествующими значениями функции и последующими, постепенно переходящими в тождество.

    В результате применения технологии к у=х² получим таблицу 1. Рассуждаем т.о.. Так как мы исходим из предшествующего значения функции у, то в искомую формулу должно входить её значение. Поэтому первый член функции будет у². Второй член есть первая разность суммы разностей y`-y. . Итак,  у` равен сумме предшествующего у и разности у`- у, то есть у`= y + (y`-y). Теперь попробуем определить закономерность, которой характеризуются  разности для разных слагаемых суммы значений разности, разности разностей и т.д. у`-y. Разность ячеек 21-11 равна 1, что фиксируется ячейкой 22. Разность ячеек 31-21=3, что фиксируется ячейкой 32. И, соответственно, далее имеем значения разностей 5,7,9,11. Все разности различаются друг от друга на одну и ту же постоянную величину, равную 2. Следующим шагом нами рассматриваются разности разностей. 11-9=9-7=...=3-1=2. При этом вторая разность появляется,  начиная только с 3-ей строки. А степень функции оказалась сравнительно с функцией у=х  большей на единицу. Поэтому  мы можем догадаться, что с увеличением степени на единицу у нас будет, соответственно, увеличиваться на единицу и число разностей разностей.  Значит, при s=3  третья разность появится, начиная со строки 4, четвертая разность - со строки 5 и вообще n-ая разность  появится, начиная со строки  n+1 и, соответственно, начиная со строки n+1 появится постоянная и таблица перестанет расширяться. Но это также будет означать, что полученная формула начнет работать, только начиная со строки n+1, имея ввиду, что n+1 соответствует аргументу х.

  Естественно, что первая мысль, которая приходит - это последовательно находить значения разностей, выражая их через предшествующие значения функции, двигаясь слева направо.  Естественно также начать, хотя это и не имеет принципиального значения, со значения у, в строке которого впервые появляется постоянная. Тогда мы можем записать отношение между ячейками:
    41=31+32+33.
    31=31
     32=31-21
    33=32-22; 22=21-11; 33=(31-21)-(21-11)= 31-2*21+11 Для получения формулы нам осталось суммировать полученные выражения. Подсчитываем содержащиеся в выражении одинаковые ячейки и получаем: 41=3*31-3*21+11 Откуда: y`=3y-3`y+``y  (1). Однако следует обратить внимание  на основополагающее свойство, делающее возможным рекурсию: сумма элементов строки должна быть равна значению функции в следующей строке, а это последнее свойство выполняется лишь тогда, когда появляется постоянная. Действительно, сумма элементов второй строки 21+22=2, а должна быть равна 4.
    Кажется, что может быть проще этой мысли вычислять сумму разностей. Однако, видимо, чем проще мысль, тем более долгим  оказывается путь к ней. То, что мы видим в конце пути, мы не видим в его начале. В конце пути выявляются отношения между элементами таблицы. Вначале пути перед нами всего лишь наборы элементов и то, что в первую очередь бросается в глаза, это постоянные разности, представленные таблицей 1.2,  и на основе этого  получается формула х`<sup>2</sup> =x<sup>2</sup> +2x+1 (1`), которая, очевидно, по всем параметрам отвечает условиям рекурсии: при заданном начальном значении функции у(0)=0 и и правиле перехода от исходного значения к последующему может быть последовательно  получен ряд значений функции от целочисленного аргумента.

     Так как  в последней строке мы имеем единицу, то мы можем взять в качестве множителя при 2  х`, и тогда получим одну избыточную единицу, либо х, и тогда получим одну недостающую единицу, которую и прибавили.
   

    Пусть теперь х`=1. Осуществляем подстановки  в найденную формулу (1). В левой и правой частях получим единицы. Тем самым начальное значение функции нами определено, и теперь мы можем на основе полученного алгоритма потенциально  определить конечный  ряд значений функции, каким бы большим х ни был. Пусть х`=2. Тогда у`=1<sup>2</sup>+1*2+1 = 4.  х`= 3. у`= 2² + 2*2+1 = 9. И т.д.

 Из этой формулы мы можем сделать вывод относительно вещей, связанных с рекурсией. Например, мы можем потребовать, чтобы следующее значение функции получалось только из его предшествующего значения. Либо же задаться вопросом, каким образом значение функции зависит от предшествующих её значений. В этом отношении показательные функции представляют интерес потому, что  с ними связаны изменения траектории движения точки, и, поскольку нами выбрана единица измерения, то эта траектория должна будет описана последовательностью прямых отрезков.

   Формулой (1`) мы не можем удовлетвориться, так как нас в первую очередь интересует зависимость последующего значения функции от всех тех предыдущих значений, относительно которых   эта зависимость прослеживается.

  Необходимо найти общий принцип построения рекурсивных функций для любого целого положительного  показателя степени. Возвращаемся к таблице 1 и задаёмся следующей установкой: при нахождении рекурсивной функции в ней должны использоваться значения предыдущих значений аргументов и постоянная. Относительно  постоянной  на основании данных таблиц 2,3 мы установили, что она равна x`! = 1*2*3*...*x`, и последний член уравнения равен x`!.  Теперь, исходя из таблицы, мы должны выразить разности через значения х, предшествующие x`.
    Начнем со строки 7. Ей соответствует: ((x`<sup>2</sup>=6<sup>2</sup>=36)=(x<sup>2</sup>+11). Теперь для перехода к предыдущей разности и от неё - к значениям функции с предшествующими аргументами нам нужно подняться на строку вверх: 11=9+2.  2 - это постоянная. 9=5<sup>2</sup>-4<sup>2</sup>  Отсюда получаем: x`²=x²+x²-`x<sup>2</sup>+2=2x<sup>2</sup>-`x²+2, итак,   x`<sup>2</sup>=2x<sup>2</sup>-`x²+2 (1)
   Формула (1) всем хороша, за исключением тех рогов, которые в ней вылезли наружу. Эти рога - постоянная 2. Постоянная, возникающая в таблице, является  одним из отличительнейших её признаков. А если еще принять во внимание, что она легко определяется, то этот рог на лбу вырастает самым естественным образом. Его нужно убрать. Но в то время я еще об этом не знал.
   

   Найдем рекурсивную функцию для х³.  В соответствии с принятой технологией строим таблицу 2.

    Сравнивая таблицы 1, 2,  мы можем предположить, что  с каждым увеличением показателя степени функции на единицу будет добавляться один столбец разности. Кроме того, мы видим, что постоянная 6 =2*3, где 2 и 3 - степени, поэтому можем предположить, что следующая постоянная будет равна 2*3*4 = 24. Пусть s - показатель степени. Тогда постоянная будет равна факториалу s:  s!

    Рассуждаем, как и в предыдущем случае. Выбираем строку, в которой присутствует постоянная, в данном случае шесть. Пусть это будет строка №6. Для неё х`=5. Тогда в формуле будет присутствовать х<sup>3</sup> =4<sup>3</sup> и, сл., (х`)³ = х³ +z ,  5³= 4³+61.  Из таблицы мы видим, что  61 =37+24. Но 37 есть разность  4³-3³. Обобщая это положение, получим х³-(х-1)³ Пусть х-1=`х. Вообще количество штрихов перед переменной или после неё будет обозначать число единиц, которое вычитается либо прибавляется к значению переменной соответственно. Тогда можем записать: х<sup>3</sup>-`х³ . Можем, обобщая, заметить, что, видимо, с каждым добавлением единицы к степени каждая последующая формула будет содержать в себе очередную зависимость  от разности предшествующих значений переменных функции.
   Итак, мы получили: 5³=4³+4³-3³+24 = 2*4³-3³+24 Примечаем, что у нас появился коэффициент при х.
    У нас осталась разность 24. Она равна 6х. Т.о. получаем окончательно формулу: (х`)<sup>3</sup>=2х<sup>3</sup>-`х³ + 6х  (2`)
   Возьмём строку 3.  В ней  х`=2. Тогда, в соответствии с формулой (2), 2³= 2*1³- 0³+6*1=8.
    Вопрос, который появляется, это вопрос о том, какое число можно считать начальным. Для того, чтобы формула выполнялась, в ней должны присутствовать все разности. Можно ли считать, что начальное значение х, при котором есть все разности, и есть начальное число? Если мы примем в качестве начального значения 0, то мы должны будем просто определить значение функции для ноля. То есть в этом случае не предполагается никакой рекурсии, а просто берется функция и определяется её значение. Поэтому начальное значение должно быть задано обычным способом: f(0)=0³=0. И от этого числа мы должны танцевать? Пусть теперь, исходя из формулы (2`), мы пытаемся определить рекурсию для х=1. 1<sup>3</sup>=2*0<sup>3</sup> - что дальше  мы должны писать? Ведь ноль - это начало, которому ничто в натуральном ряде не предшествует. Поэтому в этом случае нужно как-то договариваться. Например, раз ничего нет, то этого и нет. Просто не писать это. Тогда 1<sup>3</sup>=2*0<sup>3</sup>+0*6=0. Ясно же, что для этих значений формула (2`) не проходит. Обратимся к таблице. В ней для строки 2 постоянной 6  не существует. Существует разность z=1 и существует множитель  1. Формула (2`) применима, только начиная со строки 3, так как только в ней появляется постоянная 6: 2³=2*1³-0³+1*6=8. И, следует полагать, что степень 4 потребует уже в качестве начальной строку 4 и т.д.  Но строке 4 соответствует степень 3. Тогда мы можем допустить, что применение формулы по рекурсии для показательной функции целочисленного аргумента  начинается со значения,  равного показателю степени. И если допустить, что это так, то мы,  имея какую-то степень, предшествующие её величине значения переменных должны использовать в формулe с х=s и именно для этой величины х.  Тогда, если у нас степень равна трем, то формула (2) будет выполняться, начиная с х=3. Тогда х=2 будет требовать для своего выполнения правила (1), х=1 будет требовать для своего выполнения формулы показательной функции со степенью 1, и, соответственно, для х=0 должно вычисляться для показательной функции со степенью ноль.

       Построим формулу, исходя из общего принципа.  Берем 8 строку, которой соответствует  (x`<sup>3</sup>=7<sup>3</sup>=343)=(x<sup>3</sup>=6<sup>3</sup>=216)+127. Теперь нам нужно относительно 127 перейти на строку вверх<sup>1</sup> . Получаем 127=91+36. 91=(6<sup>3</sup>=х<sup>3</sup>)-(5<sup>3</sup>=`x³)+36. Т.о., получили: x`<sup>3</sup>=x<sup>3</sup>+x<sup>3</sup>-`x³+36 = 2x³-`x<sup>3</sup>+36.  От 36 поднимаемся на строку вверх: 36=30+6.  30=91-61.  91=6<sup>3</sup>-5<sup>3</sup>, 61=5<sup>3</sup>-4<sup>3</sup>, откуда 6<sup>3</sup>-5<sup>3</sup>-5<sup>3</sup>+4<sup>3</sup>=6<sup>3</sup>-2*5<sup>3</sup>+4<sup>3</sup>=x<sup>3</sup>-2`x³+``x<sup>3</sup>.  Т.о., получаем: 2x<sup>3</sup>-`x<sup>3</sup>+36=2x<sup>3</sup>-`x<sup>3</sup>+x<sup>3</sup>-2`x<sup>3</sup>+``x³ +1*2*3 = 3x³-3`x<sup>3</sup>+``x<sup>3</sup>+6  Как определятся постоянная для любой степени, мы уже знаем, она равна х!. Окончательно получаем: x`³=3x³-3`x³+``x³+s!  (2)
    1. Автор говорит: мы должны подняться на строку вверх. Почему это нужно сделать, он не знает. Он просто видит присутствующее равенство: 127=91+36. Далее автор, не зная, что он делает, автоматическим определяется 91, и ему теперь нужно определить 36. и здесь он снова повторяет предшествующую схему движения: поднимается на строку вверх и получаем 30+6. Теперь мы можем догадаться, что сейчас он определит 30, и он действительно это делает. После этого он от конкретных значений  переходит к переменным и коэффициентам при них и получает формулу (2)

Таблица 2.1
	44=43-33		43=42-32		42=41-31
					32=31-21		43=41-2*31+21
			33=32-22		32=31-21
					22=21-11		33=31-2*21+11
							44=41-2*31+21-31+2*21-11
							=41-3*31+3*21-11
							x`3=x3-3`x3+3``x3-```x3   (2.1)

    В таблице 2.1 применен общий метод, суть которого станет ясна только к концу текста.  Существует инстинктивное стремление к отрыву от непосредственно данной чувственной реальности, в данном случае это таблица 2. Между тем, именно конкретикой определяются нюансы применения формулы (2.1). Самый первый принцип, который заложен в метод, заключается в том, что в нём используются все разности глубины s+1.Значение таблицы состоит в том, что она позволяет определить по значению ячеек, какого рода столбцы в формуле задействованы. Так, когда мы берем s=3, то это  Оф=4, и, начиная с Оф=4 в формуле должны использоваться  все значения переменной, то есть все 4 столбца. Но вот мы берем ячейку 33, и в ней уже отсутствует последний, четвертый столбец, и принцип, заложенный в данный вид рекурсии, перестает выполняться: 27≠8+7+6, 8≠1+1, 0≠1.

   Пусть степень показательной функции равна 4. Строим таблицу 3

Итак, мы убедились, что постоянный член действительно равен  произведению степеней: 1*2*3*4=24.
Дадим описание алгоритма построения рекурсивной целочисленной показательной функции для произвольного значения степени s.
    Пусть нам нужно определить рекурсивную функцию для целочисленной показательной функции степени n. Строим таблицу функции. Возникает вопрос: когда следует остановиться  при построении таблицы. Очевидно, на строке, в последней ячейке которой появляется вторично то же самое число, постоянная, которая, как мы знаём, определяется изначально по степени функции. Назовем эту строку основанием формулы (Оф).И затем нам нужно определить траекторию движения по таблице. Начинаем с Оф. Нетрудно видеть, что сумма членов строки рана  значению функции следующей за ней строки. То, что нужно сделать, это выразить каждый из членов строки через значения  показательной функции, предшествующей искомому значению функции (Изф). Очевидно, что Изф  равно сумме значений элементов Оф:   Изф= ΣОф, где №_с Изф-№₁ Оф=1.
    Пусть s =4. Постоянная s!=24. Появление постоянной указывает на то, что число элементов в строках таблицы в дальнейшем стало постоянным, таблица перестала расширяться.
    Ключевым моментом при построении формулы является траектория движения по ячейкам. Пусть нами определена предшествующая ячейка строки Оф и мы перешли к следующей, например, к ячейке 53 ² , равной 110. 110 - это разность предшествующей ей ячейки 52, равной 175,  и ячейки 42, равной 65.  При этом ячейка 175 была определена на предшествующем шаге, и остается определить ячейку 65, которая равна в данном случае разности 81 и 16, которые являются значениями функции, и поэтому движение на этом заканчивается, и мы переходим к определению следующей ячейки. Определение ячеек заканчивается, когда у нас остается ячейка с постоянной.  Вот весь алгоритм. Всё остальное - элементарные арифметические действия сложения и вычитания.
 2.Здесь автор делает качественный скачок, впервые переходя на последовательной основе вместо рассмотрения числовых значений к рассмотрению ячеек и отношений между ними. Это сразу же делает прозрачными отношения между числами через отражение их отношений в порядке ячеек.  Соответственно, после этого и решение задачи  упростилось. Однако, это пока что переходный процесс, поскольку , у него еще имеет место путаница, когда он говорит о ячейке, а называет находящееся в ней число.  

   Решать задачу можно разными способами. Вот один пример. Возьмём таблицу 3.1. и займёмся определением ячеек. Ячейки столбца 1 принадлежат значениям функции. Ячейка 51 есть значение функции. Ячейка 52 = 51- 41. Ячейка 53=52-42. 52 ячейка определена, 42=41-31. Ячейка 53=52-42. Ячейка 52 определена.  42=41-31. Ячейка  54 =53-43.Ячейка 53 определена.  43==42-32, ячейка. 42 определена.  32=31-21. Мы видим,  что  определение каждой из ячеек осуществляется через две предшествующие ячейки в соответствии со сл. правилом: если ав ячейка, где а соответствует строке,  в - столбцу таблицы, то ав=(а, в-1)-(а-1,в-1). Последовательный процесс определения значения ячейки заканчивается, когда оба элемента разности принадлежат значениям функции, а не разности её значений. Также заметим, что на каждом шаге определения уменьшаемое было определено при определении предшествующей ячейки.
    Отметим еще важную особенность получения формулы: мы оперируем не значениями, которые принимают ячейки, а именами самих ячеек, и нашей целью является определение коэффициентов при значениях функции от х. С целью обеспечения формальной наглядности процесса в таблице 3.2 представляем последовательный ход решения задачи.
    Следует иметь ввиду, что мы занимаемся не нахождением численных значений функции, а формулы рекурсивной целочисленной показательной функции степени s. Поэтому нас не интересуют конкретные значения функции или разности этих значений, но -отношения между ними. Поэтому  рассматриваются отношения между ячейками таблицы
    Получена формула  x`<sup>4</sup> =4x<sup>4</sup> - 6`z⁴ + 4``x⁴ - ```x⁴+24. (3)

   Представляет интерес следующая особенность движения мышления. Мы видели первоначальное направление движения определений автора.  Например, пусть автор пришел к ячейке 63. От неё он переходил к ячейкам 53, 64, то есть 63=53+54. В результате этого он от неизвестных ячеек шел к неизвестным, и останавливался лишь тогда, когда доходил до постоянной.  Если рассуждать таким образом, то мы могли бы иметь, например, такую картину: 52=42+53, 53=43+54,  54=44+55. 55-постоянная, поэтому, определив  44, мы определим 54.  И дальше отношения переворачиваются, начинается движение в противоположном направлении: 44=43-33, 43=42-32, 42=41-31, 32=31-21, и у нас оказываются уже определены все неизвестные.
    Теперь автору остается найти удобную форму расположения данных. Такую попытку он делает в таблице 3.2.

   Можно отказаться от явного построения таблицы, впрочем, при этом "имея её ввиду". Для этого  нам нужно определить номер последнего столбца. Первому столбцу соответствуют значения функции, всем остальным - разности, причем, число разностей равно степени s. Поэтому номер последнего столбца №_п=1+s. Так как у`=y+(y`-y), a y`-y равно сумме разностей строки у, то, задав ячейки со строкой у и определив и суммировав их значения, мы получим нужный ответ. Пусть s=4, тогда число столбцов будет равно 5, а номер строки №_с=s+1=х+1, так как значения х начинаются с ноля. Соответственно, задавать строку мы должны со строки, в которой х=s, следовательно, N_c=s+1. Так как s=3, то мы должны начать с ячейки 44
    Итак, мы подошли к тому, что начинать нужно не с начала, не идти  от первой ячейки ко второй и т.д., а, напротив, с конца, определив индекс последнего столбца и начав со строки, в которой появляется постоянная И то и другое определяется. Получаем для s=4 cтр=5, стб=5. и таблицу 3.3. Когда мы идём с конца, мы по ходу дела определяем все разности и, наконец, избавляемся "от рога" - от постоянной.  Выразив все без исключения разности через предшествующие значения, мы, как обычно, складываем полученные результаты

Таблица 3.3
55=54-44		54=53-43		53=52-42		52=51-41
						42=41-31	53=51-2*41+31
				43=42-32		42=41-31
						32=31-21	43=41-2*31+21
		54=51-2*41+31-41+2*31-21=51-3*41+3*31-21
		44=43-33		43=42-32		42=41-31
						32=31-21	43=41-2*31+21
				33=32-22		32=31-21
						22=21-11	33=31-2*21+11
		44=41-3*31+3*21-11
55=51-3*41+3*31-21-41+3*31-3*21+11=
=51-4*41+6*31-4*21+11
51=51
52=51-41
53=51-2*41+31
54=51-3*41+3*31-21
55=51-4*41+6*31-4*21+11
61=5*51-10*41+10*31-5*21+11
х`4=5x4-10`x4+10``x4-5```x4+````x4   (4)

    Показательные функции интересны тем, что с ними связана величина изменения скорости, ускорения и т.д. величины.  И то обстоятельство, что, с одной стороны, рекурсия функции выполняется, и, с другой стороны, выполняется не с самого начала, но только с появлением постоянной, заключает в себе философский вопрос о связи выражения изменения параметров движения  через изначально избранные постоянные единицы измерения. То, что формула рекурсии не выполняется на начальных этапах изменения, говорит, скорее всего, о том, что сначала единица "не вмещается" целое число раз в изменения. И, с другой стороны, о "приспособлении" единицы к изменениям, то есть что в конечном счете с увеличением скорости единица измерения на каком-то этапе начинает укладываться в измеряемой величине целое число раз.   Впрочем, сами по себе эти два последние высказывания всего лишь лирика, для которой требуются доказательства. Но, во всяком случае, ею задача поставлена, и, даст бог, в своё время она будет рассмотрена.

        08.11.11 г.