Заметки по философии логики. Статья 4

L30а4 Выражение операторов через операторы и применение операторов к операторам

   Обозначения:
    1. в соответствии с символами таблицы операторов.
    2. Также: ˄ - квантор общности "все", ˅- квантор существования "некоторые", "-" - знак отрицания "не" высказывания  либо дополнение множества
    3. ϵ - включение элемента в множество. АВ - то же, что А&В; АпВ -  пересечение двух множеств. Также АоВ либо  А+В - объединение множеств, А\В - разность множеств, АлВ - отношение взаимного дополнения двух множеств, АвВ - отношение включения множества А в множество В.   

 

  1  Зададимся вопросом: что происходит с оператором, когда значения переменных меняются на противоположные.
    Будем рассматривать операторы с тремя одинаковыми истинностными значениями из четырех.
    Возьмём конъюнкцию и применим операцию отрицания к А. Что делает операция отрицания А? Она меняет истинностные значения 1,2 и 3,4 строк друг на друга.  Что произошло с оператором конъюнкции после того, как изменилось А? Его истинностное  значение  "и" переместилось с первой строки на третью, что соответствует оператору отрицания обратной импликации. За счет чего произошло это перемещение? За счет одинакового отношения истинностных значений В к А.
    Пусть снова дана конъюнкция, но теперь изменим переменную В. Что произошло со значением "и" конъюнкции? Оно с первой строки переместилось на вторую, набор истинностных конъюнкции иллл превратился в набор илии,  что соответствует оператору отрицания  импликации.
    Изменим в конъюнкции одновременно переменные А и В. В результате значение "и" конъюнкции переместится на 4 строку, что соответствует оператору отрицания дизъюнкции.
    Следовательно, отрицание переменной влечет изменение оператора. Мы можем написать равенства: -АВ = А -← В, А&-В = A -→ B, -A&-B = A -˅ B
    Что происходит, когда оператор отрицается? Все его истинностные значения меняются на противоположные. Это значит, что оператор с одним истинностным значением "истина" заменяется оператором с одним истинностным значение "ложь"
      Поэтому  -А -& В = А ← В,  А -& -В = А → В,  -А -& -В = А ˅ В
    Отсюда мы получаем возможность выразить любой оператор с тремя одинаковыми истинностными значениями путем задания соответствующего движения одного истинностного значения. .
    Пусть, например, мы хотим выразить через оператор отрицания обратной импликации оператор (прямой) импликации.Параллельно с чтением для наглядности постепенно, в соответствии с производимыми действиями,  рисуем таблицу :

    Алгоритм преобразования операторов состоит в том, что определяется место, в которое должно быть перемещено единственное в операторе истинностное значение,  причем, если это оператор отрицания оператора, то есть ОТИЗл, то имеется ввиду перемещение значения "и", если это оператор с тремя истинностными значениями истина, то есть ОТИЗи, то перемещается в нужное место  единственное в нём значение "л".  На этом процесс перехода заканчивается, если переход совершается внутри  типа операторов ОТИЗл либо ОТИЗи  (само по себе отношение оператора и его отрицания - относительное: любая часть в паре может быть принята в качестве положительной, тогда противоположная будет рассматриваться как отрицательная. Тем не менее, обычно принимают в качестве положительных операторов операторы с тремя истинностными значениями "и". Если же осуществляется переход к противоположному оператору, то до или после перенесения значения единственного  истинностного значения оператора применяется операция отрицания оператора.
2.    Т.о., мы можем либо сразу преобразовать отрицание обратной импликации в обратную импликацию, и затем значение "л" перенести в нужную строку посредством соответствующего отрицания переменных А и В, либо же сначала перенести значение "и" в нужную строку, а уже затем применить операцию отрицания оператора. Допустим, мы выбрали последнее. Тогда "и" отрицания обратной импликации принадлежит третьей строке, а "л" импликации - второй. Значит, "и" нужно перенести во вторую строку. Для этого сначала вводим отрицание А, в результате чего "и" переместится с 3-й в первую строку, затем отрицаем В, и "и" переместится с первой строки на вторую. И теперь остается ввести отрицание обратной импликации, и мы получаем результат: -А - ← -В = А → В
3.    Пусть мы хотим выразить конъюнкцию через дизъюнкцию. Для этого мы можем сначала преобразовать дизъюнкцию в отрицание дизъюнкции, и затем переместить "и" отрицания дизъюнкции, находящейся в четвертой строке, в первую, где находится истина конъюнкции. Пусть мы применили отрицание к оператору дизъюнкции и получили значение "и" в четвертой строке: А -˅ В = и4. введем понятие сфер строк . К сфере 1 отнесем 1, 2 строки, к сфере 2 - 3,4.  Так как  "и"  отрицания дизъюнкции -˅ принадлежит сфере 2, а конъюнкции - сфере 1, то нужно ввести отрицание А для того, чтобы поменять истинностные значения сфер местами. В результате этого "и" переместится в сферу 1 строку 2, а нужно, чтобы "и" занимала строку 1, поэтому отрицаем переменную В. Т.о. получили выражение конъюнкции через дизъюнкцию А&В = -А -˅ -В.
    Если мы захотим выразить конъюнкцию через дизъюнкцию, то, соответственно, получим А˅В=-А -& -В. Все операции отрицаний двусторонни в силу того,  что -(-р)=р. Соответственно, все взаимные переходы операторов с тремя одинаковыми истинностными значениям ОТИЗ характеризуются эквивалентностью, то есть они одинаково верны слева направо и справа налево. А это позволяет в уравнениях изменять соответствующие истинностные значения операторов и переменных на противоположные. Поэтому уравнение  А˅В=-А -& -В может быть записано в виде -А˅В=А -& -В, или -А -˅-В = А&В. Это обстоятельство позволяет нам, выразив один оператор через другой, в свою очередь, механическим перенесением всех отрицаний из одного оператора и его переменных в другой, получить выражение другого оператора через первый.

    Итак, все 8  операторов \ОТИЗ мы можем выразить друг через друга. У нас осталось еще 8 операторов.

 4.   Среди них есть 4 независимых оператора, переходы которых парные. Именно, оператор А может быть преобразован в оператор -А путем непосредственного отрицания А, как и обратно, отрицание оператора -А порождает А. И то же самое относительно операторов В и -В.
    Применим к оперетору А отрицание. Получим оператор -А. Применим к переменной А оператора А отрицание. Получим -А. Применяя отрицание вторично, возвратимся к А. Применим отрицание к переменной В оператора А. Оператор А не изменится. Естественно, всё это относится и к остальным назависимым операторам -А,В,-В.
    Здесь важно то, что значение независимого оператора зависит только от одной переменной, так что никакого опосредования  здесь нет, поэтому, если иметь ввиду, что операторы выражают отношения между двумя событиями, и, в частном случае, между двумя субъектами, говорить не приходится. Если иметь ввиду межсубъектные отношения, то  здесь фактически есть только один субъект, который может соотноситься только с самим собой, он может утверждать либо отрицать только себя, но он не может влиять на другого субъекта, как и другой на него. И даже  если иметь ввиду, что отношение субъекта к себе есть отношение, являющееся отражением отношений с другим, то и это невозможно, поскольку если мы  будем наблюдать периоды в утверждениях и отрицаниях субъектом самого себя, то это будет выглядеть как следствие спонтанных, случайных, ни от чего во внешности не зависящих процессов, но основывающихся только на  изменении его внутренних состояний. А ведь весь смысл логики заключается в получении опосредованного знания, то есть получения знания о чем-то через его отражение в другом.
5    Рассмотрим проекцию независимого оператора на множество. Пусть есть оператор А. Берем в качестве субъекта А и  получаем суждения: ˅х(хϵА→хϵВ)=и ˅х(хϵА→хϵ-В)=и, ˅х(хϵ-А→хϵВ)=л, ˅х(хϵ-А→хϵ-В)=л Так как оператор А при -А принимает значения л, то высказывания с -А принадлежат пустому множеству. Отсюда получаем, что А исчерпывает собой универсальный класс, и В является подмножеством А. Т.к. I=A+ -A, то для оператора А число элементов -А, уменьшаясь, в пределе дают ноль, то есть пустое множество. Отношение переходов иллюстрируется рис. 5.1.

    Стрелкой показано возможное перемещение границы между множествами А и -А в ту или другую сторону. Перемещение в пределе порождает, если влево, то пустое множество А, если вправо, то пустое множество -А и, соответственно, исчерпание множеством -А либо  А элементов универсального класса I.  Если -А=0., мы получаем отношение множеств, показанное на рис. 5.2.

    
     
 Аналогично строются отношения и для остальных независимых операторов.
    Как видно из рисунков 5.1,2, получение  всех независимых операторов  связано с предельными переходами, т.ск., с выходом дополнения к соответствующему множеству А, -А, В, -В (p.s. -(-A)=A ) "в зазеркалье.", то есть с превращением его в пустое множество, в то, чего "в чувственном мире" не существует. Или, если брать психологический аспект, с вытеснением. Это последнее можно рассматривать т.о., что существует отношение между сознанием и бессознательным, где одна сторона, например, сознание, рассматривается в качестве положительной, или положенной величины и обозначается каким-то А, тогда бессознательное будет выступать в качестве отрицательной, или снятой  величины и обозначаться как дополнение к А, то есть -А. В этом случае каждая из сторон обладает своим содержанием и т.о. стороны дополняют друг друга. В случае вытеснения одной из сторон всё содержание системы оказывается представлено содержанием одной стороны. Т.о. сознание (объективного) противоречия снимается, а там, где нет противоречия, там нет и движения,  и возникает то, что в социальной жизни именуется застоем, которое характеризуется принципом: не "пущать"  "живую жизнь" в бытие. В целом  характером отношений между А и-А, между сознанием и бессознательным определяется мера устойчивости и неустойчивости системы, которая характеризуется   как количественно, так и качественно.  С качественной стороны устойчивость системы обусловливается положенностью в системе сознания, и снятостью бессознательного, неустойчивость системы связана с положенностью в системе бессознательного и снятостью сознания.  В системе всегда существует борьба между двумя сторонами противоположности. Предельный переход связан с актом абсолютного вытеснения противоположной стороны, за которым  следует и абсолютная положенность доминирующей стороны системы как целого. Тем самым разрывается обратная связь, отношение взаимодействия и взаимоопределения сторон, и наступаетвремя  для революций и гибели системы.
    Представим себе, что у нас есть два равных множества А и В, таких, что (А=В)<I. Представим себе, что множество А начало увеличиваться, постепенно вытесняя множество -А. В. В пределе оно полностью вытеснит -А, превратив его в пустое множество, и нами будет получен выражающий полученное отношение оператор А.
    Пусть теперь увеличивается -А. Тогда оно начнет постепенно вытеснять множество А, и в конечном счете будет осуществлен предельный переход, и мы получим оператор -А. Аналогичным образом, увеличивая множество В до универсального класса, мы вытесним -В, превратив его в пустое множество, и получим оператор В. Подобным же образом, увеличивая -В, в пределе получим В=0 и оператор -В.
    Но два множества могут изменяться во множестве направлений также и одновременно. Впрочем, если эти изменения происходят одно после другого, результат будет тот же. Поэтому мы можем просмотреть четыре  предельных варианте и посмотрим, что из этого получится.
    Пусть нами получен оператор А. В результате увеличения В получим оператор В. Но в этом случае  каждое из множеств А, В исчерпывает собой универсальный класс I, что выражается оператором конъюнкции. Это заставляет нас предположить, что все дальнейшие опыты приведут нас к опереторам отрицания импликации, отрицания обратной импликации и отрицания дизъюнкции. Проверим догадку. Будем увеличивать -В. Тогда I=A∩-B, что соответствует, как и предполагалось, отрицанию импликации, так как А и -В соответствуют второй строке  истинностных значений переменных в таблице операторов. Соответственно,  для оператора -А если В, то получим отношение множеств, выражающееся отрицанием обратной импликации, и для -А, -В - отрицание дизъюнкции. Т.о., предельный переход одного из множеств выражается операторами независимости. Предельный переход двух множеств порождает операторы с одним истинностным значением "истина"

6.   Теперь мы должны поставить вопрос об отрицании операторов и о том, как это отражается на отношениях множеств. Что значит отрицать оператор? Это значит изменить набор его истинностных значений на противоположный без того, чтобы при этом изменялись истинностные значения связываемых им переменных. Например, отрицание оператора А  -(А)=-А  достигается  путем изменения его истинностных значений. И  отрицание переменной А  оператора А приводит к тому же самому результату. Т.о.,  -(А)=А(-А)=-А. Отрицание вообще представляет собой качественный скачок. Но в природе не существует преобразований вне времени и пространства. Материя слишком тяжела для того, что легко делает мысль. Поэтому с любым переходом связан пространственно-временной переходный процесс. Особенность независимых операторов состоит в том, что переменные в них не зависят друг от друга, но эта независимость относительна и связана с тем, что предельный переход характеризует одной  переменной рассматривается как независимый от другой. В реальности, если А положено, то есть А=I, -А снято, то есть -А=0,  для преобразования множества А в -А А должно начать уменьшаться, отдавая -А свои элементы. Другими словами, должен быть осуществлен обратный предельный переход и, как только это произошло, возникают отношения между множествами, такие, которые позволяют осуществлять однозначные выводы из них, условные или безусловные. Однако, как только множество А, в свою очередь осуществило предельный переход, превратившись в пустое множество и, соответственно, истинное значение "и" переменной оператора  превратилось в истинностное значение "ложь", скачком возникает оператор -А.
    Проще употреблять совместно  термины "оператор", "переменная" и "множество", что возможно в силу существующего 1-1-значного соответствия их друг другу, так как высказывания  относятся к сфере выражения мысли, а множества - к сфере её чувственного образа и между ними устанавливается по определению 1-1-значное соответствие в соответствии с требованиями практики. Подобного рода терминологическая подмена  время от времени в тексте проскакивает, хотя я и стараюсь этого избегать, так как этот способ изложения предполагает известную беглость мысли относительно высказываний и их чувственных образов и не годится для текста, который как раз занимается выяснением отношений между ними.
    Итак. мы видим, что отрицание независимых операторов приводит снова к независимым операторам и никаких других операторов оно породить не может. В то же самое время, предельный переход обеих переменных, входящих в независимый оператор, порождает 4 ОТИЗл с одним истинностным значением "и".

    Итак, отрицание независимого оператора мы можем получить посредством отрицания представляющей его переменной. И то же самое можем сделать посредством отрицания самого оператора, то есть -(А(А)) = А(-А). Но когда мы говорим, что одновременно применяем предельные переходы для двух переменных, то мы тем самым имеем дело уже не с независимым оператором, потому что независимый оператор отрицает предельный переход для второй переменной. Но ведь, тем не менее, вторая переменная в нём присутствует; и когда нами, как независящей от оператора силой, второй переменной задается также предельный переход, то по сути мы получаем два оператора "в одном флаконе": ни один из них никуда не делся. И поэтому как из оператора А мы выводим переменную А и из оператора В выводим переменную В, точно также мы это делаем из их конъюнкции. При этом для них самих  ничего не изменилось, однако совместно они начали представлять собой уже качественно иной объект, другой оператор, который обладает своим собственным специфическим набором истинностных значений. А это значит, что все операторы с тремя одинаковыми истинностными значениями "л" и, соответственно, одним значением "и", имеют необходимым образом под собой предельный переход двух множеств.
   
   Итак, общий технологиеский принцип получения формул выражения одних операторов через другие заключается в применении операций отрицания к оператору или связываемым им переменным. Каждая из этих операций преобразует соответствующие значения переменных либо оператора в противоположные. Результатом этих операций оказывается оператор из таблицы операторов, в котором и он и связываемые им переменные отрицаний не имеют.

    Нам нужно посмотреть на то, какого рода изменения происходят в отношениях множеств, когда нами отрицается ОТИЗл.
    Пусть это будет оператор конъюнкции, который мы отрицаем. Оператору конъюнкции А&В соответствует отношение множеств А и В, такое, что АпВ=I, где буква "п" сокращение для термина "пересечение" множеств . При этом пустыми являются множества  А,-В, -А,В, -А, -В. Отрицание оператора конъюнкции  порождает штрих Шеффера, выражающий отношение несовместимости высказываний А и В. В общем случае, ОТИЗл  ≡ - ОТИЗи 

  7.  Операторы 1, 16 не зависят  ни от одной из входящих в них переменных и однозначный вывод из них  невозможен, поскольку ими представляется всё поле возможностей, а не одно единственное. Вы помните, что оператор 1 представляет множество истинных частных суждений, т.о., здесь закон противоречия не работает: какое бы частное утверждение мы ни делали, какие бы частичные отношения между множествами ни утверждали, все они будут истинными. И в силу этого для них невозможны общие суждения.  Это - операторы истины либо лжи. Как в одном, так и в другом операторе их истинностные значения не зависят от значений входящих в них переменных. А это значит, что если операторы независимости определяются  значением одной из переменных или её отрицания, то есть, скажем, если есть субъекты А и В, то абсолютно доминирует один из них, либо их самоотрицание, то  для операторов 1, 16 положение "еще хуже", так как они не зависят уже ни от одной переменной, они сами по себе уже истинны либо ложны и соотносятся только с собой. Всё это могло бы показаться странным, однако, во всяком случае, относительно отношений множеств интерпретация для них есть, и это отношение - взаимно частично пересекающиеся множества, в сумме меньшие универсального класса I. Очевидно, что операторы 1, 16 соотносятся друг с другом в соответствии с законом 1=-14. Но вот вопрос: а как можно перейти от оператора один к оператору 16, что ему соответствует в отношениях множеств. У нас в качестве истинных выступают все множества: А,-А, В, -В. Переход от одного оператора к другому у нас осуществлялся до сих пор путем либо выведения множества за  пределы I, либо путем обратной операции введения "запредельного" множества в пределы I. Но при этом уменьшение множества просто вводило противоположное ему, и что бы мы ни делали, мы оставались в пределах множеств, полученных за счет ограничений существующих отношений. Так, если в операторе 1 мы выведем за пределы I  множества А, В, в I мы получим -А, -В, как и обратно. Но если у нас есть множество I, то ему необходимо должно соответствовать множество -I. Но тогда множество, которое выводится за пределы I, должно оказаться в множестве -I. Тогда А, выведенное из I, окажется в -I, и по отношению к -I оно будет выступать уже как отрицательное по отношению к нему. И это же самое будет справедливо по отношению к В. Тогда отрицание оператора 1 даст оператор 16, в котором отношения между множествами будут такими же точно, как и в операторе 1, но в качестве истинных будут множества -А, -В.

    8. Как мы должны поступить в случае отрицания оператора. В случае отрицания оператора мы получаем набор истинностных значений какого то другого оператора, относительно которого значения «л» принадлежат пустому множеству относительно I. Относительно рассматриваемого случая с отрицанием конъюнкции пустым множеством является пересечение А и В, то есть отсутствие общих элементов этих множеств. И получаем, т.о., два множества А и В, каждое из которых меньше I, не имеющие общих элементов. В связи с этим нас интересует вопрос о переходном процессе от конъюнкции к её отрицанию, и, конкретно, что при этом должно происходить с переменными. Когда мы переходили от независимых операторов к ОТИЗи с одним истинностным значением «истина»… Собственно говоря, без аксиомы независимости двух переменных ничего бы и не могло быть. Итак, там мы могли независимо изменять каждую из переменных. Естественно, что этот же самый принцип сохраняется и в настоящем случае. Там мы изменяли две переменные. Здесь мы поступаем точно также, изменяя две переменные. Именно, у нас есть множество А и В, в котором истинными являются и А и В. Отрицание этого, а это отрицание представляет собой отрицание совместности А и В, дает нам частичное отрицание А, порождая –А. Это означает, что А начинает уменьшаться, вводя тем самым в I элементы -А. Постепенно –А начинает доминировать, вытесняя А, так что в конечном счете А становится предельным, то есть становится пустым множеством. Необходимо отметить, что все эти переходы являются теоретическими. На практике же –А либо А рассматриваются равными нолю вовсе не потому, что оно действительно равно нолю, а потому, что его влияние в существующих отношениях такое, что его можно как бы и не учитывать. Например, преступность существует в любом обществе, и с преступностью борются. Но само общество в своей основе считает, что влияние преступности на жизнь общества невелико и его можно не учитывать. То же  относительно взяточничества. Взяточничество равносильно смазке колесиков социальной системы. Взяточничество – это то, что называют потерей энергии на трение. Всё это есть, существует, но всё это считается вытесненным, существующим вне закона.
   Это - рассуждение, не учитывающее существования множества -I.  Если же мы учитываем -I, то мы, во-первых, должны предположить, существование параллельных процессов между двумя противоположными сторонами I, такое, что любые действия в одной стороне системы отражаются в другой и содержанию одной стороны системы I = I(+I,-I)  соответствует содержание другой стороны системы, и при этом оказывается, что они связаны между собой как качественно, так и количественно. Тогда, если в качестве исходного пункта мы возьмём отношения множеств, соответствующие оператору 1, то  вытеснению общих элементов А и В из I будет соответствовать  включение соответствующих частей элементов множеств в класс -I, в котором они необходимо должны совпадать друг с другом и при этом исчерпывать класс -I.
    9. Итак, мы видим, что переходы, связанные с отрицанием оператора, также заключаются в предельных переходах, то есть, с одной стороны, осуществляется выход одного истинностного значения множества из запредельного, и, соответственно, с другой стороны, в конечном счете переход дополняющего его множества, в свою очередь, в запредельное. Так или иначе, ОТИЗ, также как и независимые операторы, строются на основе предельных переходов переменных. Варианты же переходов, их число определяется числом истинностных значений «и» операторов. Второе, этим множеством числа истинностных значений «истина» определяется вариативность, то есть изменение форм данного оператора. Так, например, если мы возьмём соотношение –А,В, и это соотношение будет единственным, то есть будет отрицанием обратной импликации, то в этом случае мы имеем дело с одним вариантом, с одной формой истины. Если же в операторе мы имеем три истинностные значения «истина», то все они объединены под называнием одного оператора. И в этом случае они и имеют смысл лишь в своей совокупности. Поэтому для конъюнкции нам достаточно изменить А, преобразовав его посредством выведения его за пределы I в –А для того, чтобы получить в результате переходного процесса отрицание конъюнкции. Либо же мы можем заняться вытеснением В за пределы I, тем самым заменив его его дополнением, и  получить отрицание обратной импликации. Или же мы можем обе переменные и, соответственно, соответствующие им множества А и В вытеснить, заместив их множествами –А и –В. Т.о., мы можем говорить о статическом значении операторов, когда оператор принимает постоянное значение.
    К какому выводу мы приходим.  Каждая из строк, которые в своей совокупности представляют оператор, содержит модусы "и", "л" переменных, которым в их совокупности соответствуют пересечения множеств. Поэтому наборам ии, ил, ли, лл истинностных значений переменных соответствуют пересечения множеств АВ,  -АВ, -ВА, (-А,-В).  Тогда в ОТИЗи, например,  отрицание конъюнкции, будет представлено совокупностью строк ил, ли, лл и, соответственно, пересечением множеств -АВ, -ВА, (-А,-В). Удаление каждого из пересечений будет порождать иные отношения и выражаться, соответственно, иными операторами. Так, например, если мы удалим (-А,-В), то это отношение будет выражаться оператором строгой дизъюнкции.
    Но мы можем также говорить о переходных процессах от одних операторов к другим и, соответственно, либо мы будем иметь дело с какими-то постоянными формами, либо же с процессами изменения форм. И отсюда, далее, мы можем говорить о временных соотношениях между переходными формами и постоянными. И здесь мы получаем две противоположные полярные формы: одна форма – переходные процессы относительно постоянных форм представляют собой лишь моменты времени, условно говоря. В этом случае мы имеем дело, если говорить о социальной сфере, с обществами постоянными, которые через длительные промежутки времени претерпевают резкие структурные изменения, после чего эти возникшие новые структурные изменения конституируются и консервируются, и общество продолжает существовать как некоторая постоянная система. Либо же структурное постоянство системы представляет собой лишь какой-то момент времени, в целом же система практически непрерывно переходит из одних своих форм в другие.
 
    10. Из 16 операторов мы рассмотрели 14. У нас остаются операторы эквивалентности и строгой дизъюнкции. Эквивалентность представляет собой конъюнкцию прямой и обратной импликации, строгая дизъюнкция – конъюнкцию отрицания конъюнкции и дизъюнкции. Оба оператора характеризуются тем, что, во-первых, это – операторы с двумя одинаковыми истинностными значениями, как, впрочем, и операторы независимые, однако, в отличие от них, они симметричны относительно центральной линии, под которой понимается линия между второй и третьей строками наборов истинностных значений таблицы операторов: оператор эквивалентности истинен в 1 и 4 строках, и ложен во 2 и 3; а строгая дизъюнкция, напротив, принимает значения «л» в 1 и 4 строках и значение «и» во 2 и 3. Т.о., эквивалентность и строгая дизъюнкция представляют собой взаимное отрицание друг друга. Операторы эквивалентности и строгой дизъюнкции принадлежат как будто к сложным, производным операторам, тем не менее, они принадлежат таблице операторов и поэтому должны быть отнесены к простым?
    11. Обратим внимание на то, что эти операторы представляют собой конъюнкцию, которая применяется к другим операторам. В результате обобщение даёт нам вообще принцип применения одного оператора оператора к другим операторам. Но тогда возникает дальнейший вопрос, именно, о смысле применения операторов к операторам. И каких именно и к каким именно. Этот вопрос связан с тем, что очевидно, что операторы и эквивалентности и строгой дизъюнкции имеют значение, отражая отношения между объектами чувственной реальности. Что сделала конъюнкция, когда была применена к прямой и обратной импликации? Она склеила две операции в одну.
    Или, если хотите, их суммировала. Мы говорим «суммирование», а применяем конъюнкцию. Почему употребляем термин «суммирование» в то время, как обычно с конъюнкцией связано умножение. и, л – это противоположные истинностные значения, и в силу этого, подобно тому, как равные положительные и отрицательные числа в сумме дают ноль, тот же ноль должна давать и сумма и+л=0 . Но ноль у нас отождествляется с л (то есть пустое множество отождествляется со значением «л») Если мы складываем истину с истиной, то должны получить: и+и = 2и =и. И, действительно, мы с вами в статье 1 видели, что пересечение множеств не сливает элементы двух множеств в один, и поэтому действительно относительно каждого из множеств справедливо своё «и» и, следовательно, в количественном аспекте получаем 2и. Однако пересекающиеся  элементы множеств отождествляются относительно их свойств, так как с ними соотносятся свойства каждого из элементов, и тогда в качественном отношении они представляют не два различных элемента, а один элемент, суммирующий признаки обоих родительских элементов, и поэтому они представляют в качественном отношении «и».
    12. В обоих случаях, то есть и для эквивалентности, и для строгой дизъюнкции, конъюнкция соединяет связанные друг с другом операторы. Например, связывает импликацию и обратную импликацию в один оператор эквивалентности. В строгой дизъюнкции конъюнкция соединяет отрицание конъюнкции и дизъюнкцию. В обоих случаях конъюнкцией исключаются различные истинностные значения и два истинностные значения «л». Прямая и обратная импликации в 1 и 4 строках имеют значения истина, во второй и третьей строках - значения «л». Т.о., конъюнкцией в операторах, к которым она применяется, выделяются общие для них значения «истина», что определяется конъюнкцией как истина, и все другие наборы определяются как ложные.
    13. Т.о., применение конъюнкции к операторам позволяет выделить общие для обоих истинностные значения «и». А это позволяет сделать обобщение относительно применения оператора к операторам как фильтра, которым пропускаются одни наборы истинностных значений, и отфильтровываются другие. Так, оператором дизъюнкции будут отфильтровываться одинаковые значения «ложь» в операторах. Если мы применим дизъюнкцию к конъюнкции и отрицанию дизъюнкции, то в результате получим оператор эквивалентности. Применение эквивалентности будет отфильтровывать все противоположные истинностные значения операторов. Так, применение оператора эквивалентности к  конъюнкции и  дизъюнкции породит оператор строгой дизъюнкции.
    14. Еще примеры. Применим дизъюнкцию к прямой и обратной импликациям. Так как в их соотносительных истинностных значениях не встречается пара лл, то в результате мы получим тождественно-истинное высказывание (1-й оператор тождественной истинности), что соответствует набору всех возможных частных высказываний на переменных А, В, которые все будут истинными). Если к прямой и обратной импликации применим отрицание конъюнкции, которая отфильтровывает А=и и В=и, то, так как прямая и обратная импликации имеют значение «и» в 1 и 4 строках, то в этих строках получим ложь и, соответственно, в третьей и четвертной строках истину и, т.о., в результате получим оператор строгой дизъюнкции.
    15. Нетрудно видеть, что оператор эквивалентности, применяемый в качестве фильтра, позволяет в операторах выделять одинаковые истинностные значения, а оператор строгой дизъюнкции – разные.
    16.  ОТИЗ с тремя истинностными значениями «и» обозначаются ОТИЗи, а с тремя истинностными значениями «л» - ОТИЗл. К ОТИЗл относятся операторы конъюнкции,  отрицания прямой, обратной импликаций и отрицание дизъюнкции, что позволяет, соответственно, отфильтровывать все наборы истинностных значений, кроме одного: конъюнкцией отфильтровываются значения ил,ли,лл, и пропускается значение ии, отрицанием импликации отфильтровываются ии,ли,лл и пропускается ил, отрицанием обратной импликации отфильтровываются ии,ил, лл, и пропускается ли, отрицанием дизъюнкции отфильтровываются ии, ил,ли и пропускается лл. Соответственно, ОТИЗи отфильтровывает один набор истинностных значений: дизъюнкция отфильтровывает лл и пропускает ии, ил, ли, импликация отфильтровывает набор ил и пропускает наборы ии, ли, лл, обратная импликация отфильтровывает набор ли и пропускает наборы ии, ил, лл, наконец, отрицание конъюнкции отфильтровывает набор ии и пропускает наборы ил, ли, лл.
    17. Пример. Пусть к отрицанию обратной импликации и импликации применяется отрицание импликации. Отрицание импликации пропускает только ил. Импликация содержит л во второй строке. Отрицание обратной импликации во второй строке содержит л. Набор ил ни в одной строке нигде не встречается, поэтому получено тождественно-ложное высказывание (оператор 16). Теперь применим к этим же операторам импликацию. Она отфильтровывает ил. Но ил нигде не встречается, поэтому получаем тождественно-истинное высказывание.
    18. Разумеется, при этом может быть поставлена и противоположная задача - перехода от простого оператора к производному, полученному на основе применения оператора к операторам.
    19. Человеческое мышление характеризуется принципом экономии, который характеризуется применением стереотипов. В логике экономия выражается в том, что в мышлении применяется минимум операторов за счет выражения других операторов через них. Так, например, операторы ОТИЗл обычно выражают через конъюнкцию: А - → В =A&-B, A -← B = -A&B, A-ᴠB=-A&-B, операторы ОТИЗи могут выражаться через импликацию: АᴠВ=-А→В, А-&B=A→-B и т.д. и, более того, все операторы ОТИЗ могут быть выражены через какой-то один оператор и операцию отрицания.
   20. Но возвратимся к нашим баранам. Сущность операторов эквивалентности и строгой дизъюнкции в том, что они вместе представляют собой небольшой частный случай равенства импликации и обратной импликации, а также взаимного дополнения отрицания конъюнкции и дизъюнкции. Равенство прямой и обратной импликации возникает в условиях, когда множества, обозначаемые ими, становятся равными. Если у нас есть импликация А→В,, выражающая отношением множеств АвВ,  то уменьшение А с включением предельного перехода превращает импликацию А→В в  В→-А, если же А увеличивается, то в какой –то момент оно станет равным В, чем обеспечивается равенство обратной импликации В→А, и это равенство и представляет эквивалентность. Дальнейшее увеличение А даёт переход от прямой импликации к обратной, и эквивалентность при этом, естественно, «испаряется».
    21. Аналогично, если дано отрицание конъюнкции, представляющее множества А и В, такие, что их сумма меньше I, то увеличение, скажем, А поведет к соответствующему вытеснению –А, и в какой-то момент А + В станет равно I. Что соответствует строгой дизъюнкции, в которой не будут существовать элементы ни со свойствами АВ, ни со свойствами –А,-В. Дальнейшее увеличение множества А приведет к появлению хАВ, и, т.о., оператор отрицания конъюнкции окажется преобразован в оператор дизъюнкции.

   20.10.11 г.