P.S.  Всякое рассуждение человека есть рассуждение относительно чувственного образа реальности, который им создан. Каков образ, таково и рассуждение.
     Вхождение в текст. Следует исходить из того, что текст есть не набор рядоположенных предложений, а текст есть последовательность выводов. Текст строится т.о., что нужно внимательно вчитаться в первую посылку для того, чтобы от неё перейти к общему образу, о котором идет речь, и затем от этой посылки можно идти по ассоциациям, обеспечивающим движение по  образу.
     Любое частное должно представлять целое. То есть частное должно вызывать ассоциацию целого, так как за частным стоит целое. Всегда должна присутствовать эта двойственность, это соотношение. Движение по частностям есть в то  же  самое время  движение по целому.

  P.S. Рекомендация. Читать текст следует с карандашом в руке и проверять или, что лучше, самим  выводить  утверждения. Это - не художественная литература, и для "просто чтения" характерен "низкий коэффициент полезного действия".  

   Мы с вами собирались заняться отражением операторов в множества. Какой порядок изложения оптимальный, мы не знаем. Мы могли бы заняться отражением последовательно, начиная с первого оператора и кончая 16-м. Наверное, есть лучшие способы изложения, так как по ходу отражения могут возникать вопросы, на которые уже нужно знать ответы, которые, тем не менее, еще не получены. С другой стороны, нас интересует не только позитивное знание, но и ход мысли по его получению. И поэтому не остается ничего другого, как просто следовать за мыслью со всеми её переходами. И лишь после того, как движение мысли истощит себя, можно рассмотреть результаты движения мысли как параллельно существующие объекты и задать вопросы, какая   и для чего существует каждая из частей полученного объекта. А так же какие части относятся к поставленной задаче, а какие если и связаны  с нею, то лишь опосредованно.
    Всё дело  в том, что мы находимся в таком положении, что бросили в землю зерно, из которого вырастает растение. Как оно будет расти, в каком порядке оно будет формировать свои части, мы не знаем, это связано с его собственной природой,  и поэтому нам приходится просто следовать за его ростом.
     И да будет Имя  Твоё с нами.
    Я заметил и еще одну вещь: мысль ходит по кругу. Существует целое, которое мы строим и которое состоит из множества частей. Мысль начинает с того, что начинает перебирать части, на первых порах только намечая каждую из них, и затем, на каждом очередном круге, возвращаясь к каждой части и углубляя её содержание. Поэтому на первых порах представляется, что мысль скачет с предмета на предмет, ни на чем не останавливаясь, и все части представляются не связанными между собой, и лишь постепенно между ними устанавливаются связи и взору открывается картина целого, позволяющая связать соответствующие элементы множества кругов друг с другом, и только тогда взору открывается последовательность, относящаяся к каждой из частей.
    Говорят, что предупрежден - значит вооружен.  Во всяком случае, самого себя я предупредил.
    В статье 1 мы начинали рассмотрение проекции множеств на высказывания с отношения двух равных множеств. Там было установлено, что это отношение выражается в виде эквивалентности. Эквивалентность - сложный оператор, представляющий собой пересечение прямой и обратной импликаций (о приложении операторов к операторам мы с вами поговорим позже, в статье 4 или 5) (А→В)&(A←B)=(A≡B). Выражению (А→В) соответствует отношение множеств АTВ. Создадим образ отношения множеств А и В. Мысленно мы можем представить себе, что  одно из множеств изменяется. Допустим, изменяется множество А. Пусть оно уменьшается. В своём пределе оно становится равным нолю. Дополнением к А является -А. Следовательно, мы в результате количественных изменений множества А получим качественный скачок, превращение А в -А и, соответственно,  отношение ВT-А.  Пусть, напротив, А увеличивается. Тогда в какой-то момент времени оно станет равным В, и импликация будет преобразована в эквивалентность, своего рода форму равновесия между множествами А и В. Дальнейшее количественное увеличение А поглотит множество В, превратит его в часть себя, и мы получим уже противоположное отношение АVВ и, соответственно, импликацию В→А или, что то же, обратную импликацию А←В.
     Теперь допустим, что изменяются оба множества. Их изменение характеризуется скоростью и ускорением. Если оба множества изменяются в одном направлении с одинаковой скоростью, то количественное соотношение между множествами на внешний взгляд не будет изменяться, однако это, конечно, не всегда так, так как оно будет зависеть от начальных количественных характеристик множеств. Другое дело, если процесс изменения множеств начинается с их равенства. Но если АTВ и А содержит 2 элемента (А=2), а В=4, то отношение А/В=1/2, если же при равной скорости увеличения приращение ∆А=∆В=1, то получим  отношение  А/В=2/3. Если допустим, что множества А и В оказывают (силовое) воздействие друг на друга в зависимости как от их количественных характеристик, так и их взаимного отношения друг к другу, иначе,  если допустим, что  силовые реакции множеств зависят от их качественного и количественного отношения друг к другу, то с изменением относительных мощностей (числа элементов, если с каждым из элементов связывается единичная мощность, хотя, в общем случае, соотносительные мощности элементов различных множеств могут быть различны) множеств будет изменяться их скорость увеличения или уменьшения.
    При этом мы могли бы определить и две противоположные стратегии, которыми руководствуются множества в зависимости от их характера и их отношения к другим множествам: стратегия, направленная на достижение равновесия с другим множеством и стратегия, направленная на увеличение существующего рассогласования с другим множеством. Если стратегия направлена на достижение равновесия с другим множеством, то если, к примеру, А<В (число элементов множества А меньше числа элементов множества В. Следует различать записи А<B и АTВ: в первом случае речь идет о мощности (количестве элементов) множеств независимо от их отношения, во втором случае речь идет об отношении включения множества в множество), то стремление А к равновесию с В требует от него увеличения усилий, направленных на увеличение числа своих элементов.
    С физиологической точки зрения можно сказать, что в этом случае А по отношению к В находится в состоянии возбуждения. В то же самое время, если В стремится к равновесию с А, то оно затормаживает процесс своего увеличения, и можно говорить, что оно находится в состоянии торможения. Что представляет собой Россия, раскаивающаяся в "грехах" своего прошлого возбужденного состояния? Систему, которая находится в состоянии торможения, что, в общем, равносильно самоуничтожению. Что представляют собой страны, требующие от России "раскаяния" - это страны, которые по отношению к России находятся в состоянии возбуждения. Это, т.ск., петушки, имеющие курочку.
    Отношения между множествами могут быть выражены посредством  прямой и обратной импликации. Что происходит с импликацией, когда отношение множества  А/В (читается: А к В) переходит из АTВ в АVВ? Происходит переход от прямой к обратной импликации. Но каждое из множеств характеризуется точкой отсчета, которая связана с ним самим, и  поэтому  если А/В = А→В, то, соответственно, В/А=В→А. А это - лишь частично совместимые высказывания, так как А→В - это Все А суть В, А←В- это Все В суть А.
    p.s Пусть АTВ, тогда ˄х(хϵА→хϵВ) Ⱶ˅х(хϵВ→хϵА). В таком случае возникает вопрос: на каком основании автор отождествляет импликацию с отношением  включения множества в множество? Ответ: на том основании, что логика занимается однозначными выводами. Давайте вспомним набор истинностных значений для импликации. Из первых двух строк следует, что если импликация истинна и истинно А, то истинно В.   В этом отношении в качестве субъекта выступает А , и вывод В из А следует необходимым образом, а это соответствует включению множества А в множество В. Если мы возьмём обратное отношение В/А, то получим уже обратную импликацию, в которой В является субъектом и А следует из В необходимым образом при условии истинности В и  импликации В→А. И т.о. мы  получаем ВTА . В чем же тут дело? А дело тут в зависимости: если мы говорим, что все А суть В, а потом говорим, что некоторые В суть А, то второе высказывание предполагает существование первого. Однако истинностная таблица бинарных операторов вообще и импликации в частности  не предполагает в качестве заданного никакого суждения. Таблицами операторов строются истинностные значения операторов на основе задания истинностных значений переменных либо истинностные значения одной из переменных на основе заданных истинностных значений оператора и другой переменной.
    
    Из того, что все А суть В, можно сделать лишь тот вывод, что некоторые В суть А. В общем случае это - частично совместимые  высказывания,  кроме случая равенства множеств А и В  (А=В), при котором мы получаем частный случай динамического равновесия  множеств, выражаемого  эквивалентностью А≡В.
    Но это - одна сторона процесса,  которой обеспечивается отождествление двух множеств друг с другом, то, что называют тождеством противоположностей, которому противостоит противоположность тождественного, то есть поляризация множеств относительно друг друга.  Поляризация возникает, когда между множествами не существует общих элементов и в сумме множества исчерпывают универсальный класс. 
    Пусть даны множества А и В, такие, что  А<I, B<I, АUB=I, A∩B=-A∩-B=0.  Это - два непересекающиеся множества, исчерпывающие универсальный класс (рис. 2а статьи 1). Мы видим, что данное отношение формулируется посредством четырех условий, из которых два являются отрицательными: х(А,В)=х(-А,-В)=л,  х(А,-В)=х(-А,В)=и, что  выражается строгой дизъюнкцией.
    Если эквивалентность выражает тождество противоположностей, а строгая дизъюнкция - противоположность тождественного, то возникает вопрос о переходных процессах от одного состояния системы к противоположному.
    Мы можем посмотреть, что произойдет, если убрать одно из условий. Если мы уберем условие А∩В=0, то получим отношение между множествами,(→1)

    Но: пример пересечения элементов:  есть родитель с множеством свойств А и есть родитель с множеством свойств В. Тогда их ребенок обладает свойствами А и В. Вообще здесь - элемент (объект), обладающий множеством свойств. Пересечение  элементов множеств дает суммирование их свойств и порождает новый объект с суммой свойств исходных объектов. Когда речь идет о пересечении, то относительно элементов пересечения придерживаются двух точек зрения: во-первых, это простое отождествление пересекающихся элементов множеств, обладающих разными свойствами. (→2)
    Однако логика объектов приводит к тому, что начинают, вместо продолжающих сосуществовать элементов, входящих в пересечение  разных множеств,  рассматривать один элемент, обладающий суммой свойств двух множеств. С другой стороны, сосуществование  элементов пересечения двух множеств может рассматриваться как  формирующее новое множество, в котором разные элементы рассматриваются как образующие функциональное единство, реализующее функцию на основе суммы признаков элементов пересекающихся множеств. Это можно понимать так, что такие совмещенные элементы образуют организацию, выполняющую какую-то единую функцию. Такого рода организация  представляет собой переходную форму от независимых элементов к элементам, которые характеризуются суммой признаков независимых элементов.
    (2→)
    Но это - частный случай, в котором суммируются свойства объектов в новом объекте. Очевидно, что это уже - не привычная логика объёмов, а логика свойств. И то, что в логике свойств выступает как суммирование свойств, в логике объёмов выступает как их пересечение, то есть суммированию логики свойств противостоит пересечение (умножение) в логике объёмов. Отсюда следует индуктивный вывод, что операции логики свойств и логики объёмов противоположны друг другу.
    Как можно связать логику свойств и логику объемов? Пусть даны множества А, В и их пересечение А∩В. Тогда можно сказать, что существует множество элементов (объектов) со свойствами А и есть множество объектов со свойствами В и, наконец, есть множество объектов С=А∩В с суммой этих свойств. (3→)
    Очевидно, что операции логики объемов и логики свойств при всём их тождественном математическом содержании, должны как-то различаться различаться друг от друга с тем, чтобы мы знали, когда высказывания принадлежат логике свойств, и когда - логике объёмов. Для начала можно было бы взять самую простую из возможного вещь: операции логики свойств обозначать операциями логики объемов с их подчеркиванием. И этот же самый принцип можно распространить также и на множества, рассматриваемые со стороны их объёма или со стороны их признаков. Например, выражения АUВ и АUB в этом случае  обладают разными содержаниями. АUВ обозначает сумму элементов множеств А и В. Обозначение АUB обозначает сумму признаков элементов множеств А и В. А это означает не что иное, как их пересечение с точки зрения логики объёмов  А∩В. Тем самым что мы получили? Введением свойств обеспечено определение отношения между множествами А и В, то есть можем написать: А∩В=AUB
    Допустим, что множества А и В частично пересекаются, именно А\В=В\А=АВ=1 (знак "\" соответствует операции вычитания, 1=-0, то есть единица равна отрицанию 0, где 0 говорит об отсутствии у множества элементов, что множество является пустым. Тогда 1 обозначает не пустое множество) Из отношения между множествами мы можем утверждать, что существуют элементы множества А, не являющиеся элементами В, существуют элементы множества В, не являющиеся элементами множества А, и существуют элементы множества А, которые являются также и элементами множества В. А∩В=АUВ, А\В=АU-В, В\А=ВU-А, то есть пересечение множеств А и В обладает суммой признаков А и В, разность А и В обладает суммой признаков А и -В.
    (3→)
   Но при этом ни один объект из множества С не является объектом ни одного из множеств А и В, как и обратно, ни один из объектов А не является в то же самое объектом В и обратно, и ни один из них не является объектом С. То основание, по которому они могут сравниваться и в этом смысле отождествляться и различаться, это общность и различие признаков, которыми они обладают. Объекты А с С пересекаются относительно признаков А, и относительно этих признаков они могут отождествляться; объекты В с С пересекаются относительно признаков В, и они могут отождествляться относительно признаков В,  но объекты С не есть ни объекты А, ни объекты В,  хотя мы и можем записать, что А=С\В или В=С\А. Просто на элементах множества С совмещаются признаки множеств А и В

  (1→)представленные на рис. 2с. 

Если уберем условие -А∩-В на основании -А∩-В=0, получим отношение, представленное на рис. 2в. Иначе говоря, если нам дано множество рис. 2а, то общая граница, разделяющая множество, может изменяться в двух направлениях: если по крайней мере одно из множеств начнет расширяться в область другого множества, то получим отношение рис. 2в, если граница по крайней мере одного из множеств начнёт отступать от границы другого, получим отношение рис. 2с.  Т.о., общая граница двух множеств рис.2а так же, как и в рассмотренном выше случае для равных множеств, представляет собой  форму равновесия, от которой отношения между множествами могут развиваться в противоположных направлениях: в одном случае порождаются множества с общими для двух множеств А и В признаками, в другом случае порождаются элементы с общими для -А и -В элементами.
   Т.о., если в  отношениях множеств рис. 2в исключаются элементы  х(-А,-В), что соответствует дизъюнкции, а для отношения рис.2с исключаются элементы х(А,В), что соответствует отрицанию конъюнкции, то в результате совместного исключения  х(-А,-В), х(А,В) получаем (А˅В)=(А -& В) и  т.о. имеем равновесие двух противоположных тенденций, выражающихся оператором строгой дизъюнкции (А˅В)&(А -& В)=А↓В.

    Оператор конъюнкции по факту  приравнивает друг другу и прямую и обратную импликации, то есть если  (А→В)&(В→А)=и, то (А→В)=(В→А) и тем самым  А≡В.

   Пусть  A<I,  B<I , A∩B=0 (рис. 1.3 статьи 1). Это - внеположные множества.
    Отсюда следует:  ˅х(хϵА→хϵВ)=л, ˄х(хϵА→хϵ-В)=и,  ˅х(хϵ-А→хϵВ)=˅х(хϵ-А→хϵВ)=и. Это - отрицание конъюнкции
   Истинным высказыванием ˅х(хϵ-А→хϵВ)=˅х(хϵ-А→хϵВ)=и множество (-А)  дихотомически делится на два подмножества В и -В.
  Нетрудно видеть, что отношения внеположности двух множеств А и В являются симметричными: если в качестве субъекта мы возьмём В, то относительно него получим ˅х(хϵВ→хϵА)=л, ˄х(хϵВ→хϵ-А)=и, ˅х(хϵ-В→хϵА)=˅х(хϵ-В→хϵ-А)=и, то есть такие же виды высказываний, что и для А.
    Если нам дано отрицание конъюнкции, то на основании вида наборов истинностных значений можем определить все виды суждений, которыми выражаются все виды отношений между представляемыми высказыванием  множествами. Конечно, это справедливо вообще для всех операторов. В случае для отрицания конъюнкции мы сразу можем построить все возможные суждения. Относительно А  мы можем сказать, что все А суть -В, некоторые -А суть В, а некоторые -А суть -В, и то же  относительно  В: Все В суть -А и т.д.. 
  
   

   1. Какой основной принцип рассмотрения отношений между множествами? Тот, что в качестве точки отсчета берется какое-то одно множество, и по отношению к нему рассматриваются все остальные множества. И тем самым задается общая картина отношений между множествами, такая, которая позволяет из полученной картины выявить отношения множеств с точки зрения всех тех, которые присутствуют в рассмотрении.
    Дизъюнкцией пересечение множеств х(-А,-В)=л исключается из универсального класса I. Для дизъюнкции мы можем взять в качестве точки отсчета и, соответственно, субъекта высказываний переменную А. Любая переменная имеет положительное и отрицательное значения, то есть соответствующее ей высказывание обозначает множество и его дополнение. Если мы берем для дизъюнкции А, то получаем, что некоторые А суть В, и некоторые А суть –В. И при этом мы находимся в границах множества А, причем, сумма элементов из В и -В исчерпывает А. Т.о., из множества В вычитаются части В и –В, вошедшие в А. В силу исключения 4-ой строки из дизъюнкции третья строка представляет собой общее высказывание Все –А суть В
  2. Отрицание конъюнкции исключает, соответственно, хАВ=л, пересечение множество А и В. В В качестве субъекта берем А. Получаем: Некоторые –А суть В, Некоторые –А суть –В для 3 и 4 строк, и для второй строки Все А суть –В.
  3. В чем заключается проблема. Проблема заключается в том, чтобы из множества этих чувственных данных создать целое, которое в качестве такового воспринимается чувственно. А для этого необходимо соответствующее геометрическое преобразование представления множества чувственных данных в единую схему, для чего, в свою очередь, нужна  идея соответствующего чувственного  целостного отношения. Если будет получена такая идея, то задача будет заключаться в том, чтобы полученный чертеж идеи целого заполнить полученным множеством чертежей частных данных.
   4. Это означает, что необходимым образом должен существовать параллелизм между чувственной какой-то данностью и частью идеи, которой эта чувственная данность соответствует.
   5. Идея, которая существует для отрицания конъюнкции, есть частная идея для более общей идеи операторов ОТИЗи (ОТИЗ - операторы с тремя истинностными значениями. ОТИЗи - операторы с тремя истинностными значениями "истина", ОТИЗл - операторы с тремя истинностными значениями "ложь"). Всякая общая идея получается на основе обобщения какой-то частной идеи. Для случая ОТИЗи в качестве частной идеи может быть взята идея отношения множеств для дизъюнкции. Дизъюнкция обозначает частичное пересечение двух множеств А и В в I. Так как в дизъюнкции отсутствуют элементы х(-А, -В), то тем самым сумма множеств А и В исчерпывает множество I.
  6. P.S. Чем мы занимаемся и чем в науке люди вообще занимаются: они переводят то, что есть в содержании их инстинкта в речь, другими словами, они занимаются рационализацией того, что есть у них в чувстве. В связи с этим, также и человеческая речь характеризуется двумя уровнями: один уровень – интуитивный, который непосредственно выражает существующее чувственное содержание. На этом уровне если говорится «сумма А и В», то это высказывание интуитивно ясно, так как операция суммирования уже выработана у человеке его предшествующей практикой, и ему не нужно дополнительных разъяснений для того, чтобы построить чувственный образ суммы двух множеств, хотя если спросить его о том, что он сделал, он может и не дать ответа. Он просто в результате срабатывания рефлексов непосредственно получил результат. Т.о., вопрос о том, как получена сумма, есть вопрос рационализации, который требует, чтобы действие было опредмечено и определено в форме соответствующего ему понятия, а именно, что сумма двух множеств представляется суммой входящих в оба множество элементов, причем, пересекающиеся элементы считаются один, а не два раза. Данное определение показывает, что непосредственно чувственное действие относительно объектов может оказаться неправильным в силу специфичности рассматриваемых объектов, определяющих особенности применения общих понятий к специфическим объектам.
   7. P.S. Есть еще одна важная штука при рассмотрении отношений между высказываниями и чувственными образами, которые ими представляются. Всякое высказывание есть некоторая последовательность знаков, на основании которых синтезируется целостный образ. Образ, в отличие от высказывания, представляет собой объект, все части которого в чувственном отношении сосуществуют параллельно и воспринимаются как одно нераздельное целое. В то же самое время, когда мы рассматриваем объект, а под объектом понимается целостность, мы переходим от одних его частей к другим, так или иначе устанавливая между ними отношения. Мы осуществили какое-то высказывание и получили чувственный образ. Но после того, как нами получен чувственный образ, относительно него мы можем построить множество каких-то других высказываний. Другими словами, чувственный образ содержательно богаче отдельно взятого высказывания и описывается не отдельно взятым высказыванием, а их совокупностью, хотя его образ и вызывается к жизни обычно отдельным высказыванием.
    8. Т.о., обобщая эти положения на ОТИЗи, получаем:
    9. В рассматриваемых отношениях двух множеств берем в качестве субъекта одно из них, а именно, А и выделяем строки 1,2 и 3,4 и в последних выбираем принимающие два истинностные значения «и». Осуществляем переход (скачок) от операторов к множествам О/М. Получаем множество, обозначенное субъектом, то есть множество А либо –А в зависимости от наборов истинностных значений рассматриваемого оператора, которое делится на два подмножества из В и –В, то есть получаем множество А=В+ -В, где В и -В, естественно, не пересекаются, так как являются дополнениями друг к другу.
   10. Затем переходим к паре строк, в которых оператор принимает противоположные истинностные значения. Так как одна из строк оператора является ложной, то соответствующего ей набора множеств в I не существует, и поэтому истинной строкой представляется общее суждение.
   11. P.S. Можно условиться относительно качества высказываний в соответствии с признаком связки «суть». Если связка суть употребляется без отрицания, то мы имеем дело с утвердительным высказыванием, если с отрицанием – то с отрицательным. Тогда высказывания с положительными и отрицательными субъектами и предикатами со связкой «суть» без отрицания будут считаться утвердительными. Т.о., высказывания А суть В и А суть –В будут рассматриваться в качестве утвердительных, а высказывание А не суть В – в качестве отрицательного. Рассмотрение только утвердительных суждений позволяет устранить путаницу при рассмотрении возможных отношений между множествами.
   12. Идея должна представлять собой целое. Идея представляет собой какой-то образ. В качестве такого идеального образа мы можем мысленно представить себе два пересекающихся кружка в прямоугольнике, представляющем универсальный класс I. Это отношение представляет оператор 1, которым представляются возможные варианты отношений между множествами. Теперь, для того, чтобы перейти к рассматриваемому оператору, достаточно из этого рисунка устранить варианты, которые оператором исключаются. Если это оператор дизъюнкции, то мы должны устранить в отношениях множеств множество х(-А,-В), и получим отношения рис. 2в. Если это оператор отрицания конъюнкции, то должны будем устранить отношение хАВ, и получим отношение рис. 2с.
   13. Итак, мы получили общую идею и способ её приложения к частностям, позволяющий получить частные идеи.
   14. Теперь обратимся к фактам и попробуем совместить факты с идеей.
   15. Начинаем с дизъюнкции. Дизъюнкция изображается рис. 2в. Факты, с которыми мы имеем дело: множество А содержит в себе В и не В. Обращаемся к рисунку. Берем множество А, и видим, что оно содержит как элементы В, так и элементы -В. Второе высказывание: Все –А суть В. Смотрим на рисунок и видим, что это действительно так. В силу свойства симметричности дизъюнкции рассмотрение отношения множеств со стороны В (В-субъект) даёт то же самое отношение множеств.
   16. Аналогично для отрицания конъюнкции. Берем снова отношения, определяемые оператором 1. Устраняем из рассмотрения ложное значение, получаем рис.2.с. Это – идея. Факты: -А делится на В и –В. Смотрим на рисунок: так и есть. Затем,  Все А суть –В. Точно. Оператор симметричный, поэтому рассмотрение В в качестве субъекта порождает то же множество.
  17. Рассмотрим несимметричный оператор – импликацию. Получаем высказывания: Все А суть В, Некоторые –А суть В, Некоторые –А суть –В. Выразим эти предложения в символике следующим образом: "Все"=˄, "некоторые" =˅, "суть"= '. Получим: ˄А'В=˅-А'В=˅-А'-В=и, ˅А'-В=л.  Нарисуем отношения между множествами, соответствующие оператору 1. Т.к. в импликации ˅А'-В=л, то в I отсутствуют элементы х(А,-В). Заштрихуйте эти элементы, после чего в рисунке удалите все заштрихованные части. Получите множество А, включенное в множество В, где В<I, и теперь рассмотрим полученные отношения. Действительно, для этих отношений справедливо, что хАВ=х(-А,В)=х(-А,-В)=1, х(А,-В)=0.
   18. Если бы мы не имели общей технологии получения идеи, мы должны были бы попытаться получить частную  идею.

     Так как в импликации ˅А'-В=л, то х(А,-В)=0, и элементы I со свойствами х(А,-В) из класса А мы должны удалить: I\х(А,-В), и в результате получаем I\х(А,-В)=AB + (-AB) + (-A,-B). (p.s. Заметьте различие в способах выражения двух форм: х(А,-В) - "элементы обладают свойствами  множеств А и -В", то есть элементы обладают суммой свойств множеств А и В. И, с другой стороны, (А,-В) -"пересечение множеств А и В -речь идет множествах, и именно,  об их пересечении.)
   Дальнейшее построение мы можем вести, взяв либо частные суждения 3,4 строк, либо общее суждение 1 строки. Допустим, мы начали с частных суждений. В этом случае мы можем нарисовать  прямоугольник, представляющий множество I, после чего разделим  его на две части А и -А. Затем, так как ˄А'В, мы можем  В включить в А и частично в -А. Задача решена, однако полученные отношения не являются наглядными и не дают нам непосредственного представления об отношениях двух множеств. Отношения двух множеств как были существующими сами по себе, так и остались и поэтому идеи как непосредственного представления целого мы не получили.
    Допустим затем, что мы начали построение с общего высказывания. Снова рисуем прямоугольник (своего рода "поле высказываний об элементах класса I) и в нём рисуем кружок А, который вставляем в кружок В. В полученном рисунке все отношения между множествами А и В прозрачно ясны и их образ может рассматриваться в качестве наглядного образа идеи. Но является ли этот образ образом идеи импликации? Для  этого он должен соответствовать фактическим высказываниям. Высказыванию ˄А'В он, само собой, соответствует.  Он также соответствует и высказываниям ˅-А'В и ˅-А'-В. Чтобы убедиться в этом наглядно, , достаточно заштриховать область -А, и мы сразу видим, что  ˅-А'В и ˅-А'-В.
    19. Теперь подобного же рода построение осуществим относительно В, исходя из той же самой таблицы истинностных значений переменных А и В. Что такое обратная импликация? Когда мы говорим "А, если В", то это другими словами сказанное "Если В, то А". Это снова импликация, в которой А и В поменялись местами, в силу чего мы получили набор иили вместо прежнего илии, так как ил для В оператора находится в третьей строке. На основании полученного в 18 пункте опыта рисуем прямоугольник, исключаем из него х(В,-А) и рисуем кружок -В, который включаем в кружок -А. Тогда ˅В'А=˅В'-А=и, и мы, т.о.,получили идею обратной импликации, "поскольку она реализовала себя в чувственных фактах"
    Т.о., мы с вами получили наглядное представление отличия симметричных операторов от несимметричных. Симметричные операторы повторяют схемы друг друга, тогда как несимметричные, или, пожалуй, точнее, антисимметричные операторы представляют собой зеркальное отражение друг друга.
Аналогичные построения относительно оператора обратной импликации читатель легко сделает самостоятельно.
 
    20. p.s. Еще раз отметим характер отношения параллелизма чувственной реальности и последовательности рассуждений о ней.  
    21. Т.о., если возьмём  оператор 1, в котором во всех строках  частные суждения, то переход к ОТИЗи  заключается в том, что одна из строк оператора 1, соответствующая строке "л" ОТИЗи, превращается в ложную, и тем самым  соответствующее пересечение множеств выводится из пределов универсального класса I. И вообще в зависимости от того, какое число строк выводится из универсального класса и какие именно строки, мы получаем те или другие операторы. Именно, выводя три строки, мы получаем операторы ОТИЗл, выводя одну строку, получаем один из операторов ОТИЗи, выводя четные или нечётные строки, мы получаем независимые операторы, выводя крайние или средние строки, получаем строгую дизъюнкцию или эквивалентность, выводя все четыре строки, получаем тождественно-ложное высказывание (оператор 16).

    22. Общий принцип для всех без исключения операторов состоит в том, что вычеркивание  любого количества строк означает вычеркивание соответствующих наборов пересечений множеств. Например, если мы вычеркнули три строки, то тем самым в универсальном классе остается только одна строка. В этом смысле операция отрицания операторов представляет собой вычеркивание какого-то количества строк, которые принимают значение "ложь", и введение какого-то количества строк, которые принимают значение «истина»
    23. Отрицание конъюнкции ( =  знак Шеффера) и дизъюнкция выводят за пределы рассмотрения 1 и четвертую строки. Если к ним применяется конъюнкция, отфильтровывающая в них присутствующие в одинаковых строках противоположные истинностные значения, то получаем строгую дизъюнкцию. Аналогично, операторами прямой и обратной импликации выводятся за пределы рассмотрения 2 и 3 строки, а применение к ним конъюнкции отфильтровывает их обе, в результате чего получаем оператор эквивалентности.

      Записываемые изменения на идеальном уровне происходят скачком. Например, применение конъюнкции к прямой и обратной импликации мгновенно  порождает эквивалентность. Но подобного же рода отношения реализуются и в реальности. Но материальная реальность не может изменяться мгновенно. Она всегда изменяется во времени в силу существования сопротивления материала изменениям. Тем не менее, изменениям в материале  предшествует возникновение закона, которым и обусловливаются изменения. Когда Ельцин пришел к власти, он задал России новый закон. Но в этот самый момент Росссия изменилась идеально, но не материально. С тех пор прошло два десятилетия, а сопротивление российского человеческого материала таково, что и по сей день страна продолжает находиться на распутье.
   
   

   Когда нами  рассматривается какой-то материал, то нам нужно, чтобы было движение, а для того, чтобы было движение, нужен двигатель. А движущая сила определяется величиной рассогласования. Это значит, что нужно исходить не из того, где находится шайба в данный момент, а из того, где она окажется, и бежать туда. Другими словами, мы должны знать, что мы делаем, то есть у нас должна существовать цель. Рассогласованием между точкой, в которой мы находимся, и точкой, в которой мы должны оказаться, определяется вектор нашего движения.
    Но изначально мы не знаем, что делаем, поскольку поскольку только результат определяет конец пути.  Но когда мы всё прошли, мы можем этот же путь пройти в обратном направлении: от следствий к причинам. Т.о., один и тот же путь мы проходим два раза. Сначала это неуправляемое, инстинктивное движение. Обратный путь от следствий к причинам  уже определяет смыслы переходов, поскольку  имеет дело с обернутыми отношениями, прикоторых всякое следствие может рассматриваться в качестве цели действия, а причина - в качестве его средства. И, наконец, третий путь - снова от начала к концу - уже происходит как путь целесообразный, поскольку мы с самого начала знаем, к чему придем. С другой стороны, также и всякое высказывание может рассматриваться с этих точек зрения: вначале есть непроизвольное движение и соответствующие ему непроизвольные высказывания , затем - возвращение к началу в виде идеального движения, и затем, на основании предшествующего обратного пути формирование целесообразного действия и на его основе  осуществление целесообразного движения.

    В то же самое время,  эти три шага могут применяться не только к пути в целом, но и к каждой отдельной части его, что позволяет идти вперед небольшими, но зато осознанными шагами. 

    Приступаем к опытам. Смотрим на  нижеследующий пункт 1.1 как  материал, полученный на основе "движения чувств". Берем части, выделенные серым. Идем от следствий к причинам.  "Получен оператор отрицания конъюнкции из последовательности лиии, которой соответствуют наборы  истинностных значений переменных А и В построчно, начиная с первой и заканчивая четвертой строками. Эти значения представляют собой значения высказываний [1].
    Обратимся к  1.1, выделенному голубым.
    Ему предпошлем следующие положения. Записи вида хАВ, х(А,-В) АВ,  А,-В и т.п.имеют общий смысл, обозначающий сумму двух свойств или пересечение двух множеств, причем, все они подчиняются закону коммутативности, то есть АВ=ВА, хАВ=хВА. Действительно, пусть множество А пересекается с множеством  В. Тогда пересечение АВ=ВА, так как к пересечению относятся только те из элементов В, которые пересекаются с А, и те из элементов А, которые пересекаются с В.
    Пересечение множеств А,-В = -А,В = -А,-В = 1 (а1) предполагает, что  (имеет в качестве дополнения)  А,В=0. Так как А,В=0, то есть не содержит элементов, то класс I не содержит элементов А,В и поэтому пересечение множеств А,В равно пустому классу АВ=ø.
    В наборе пересечений множеств мы должны выделить множество, по отношению к которому рассматривается другое множество, которое будет выступать в качестве субъекта высказывания. Так как произвольное множество А рассматривается как принимающее одну из форм +А и -А, то есть А=+А ↓ -А, и элементы множества выступают всегда в одной из своих форм,  то  А - это общее имя для форм множества, иметь же дело возможно только с формой +А либо -А. Так как одна из сторон противоположности представляет целое,  то +А обычно отождествляется с А и А рассматривается как положенная часть множества, -А - снятая. Тогда, если рассматривается А к В (А/В), то рассматриваются отношения А/В и -А/В, которым, в свою очередь соответствуют отношения А/В, А/-В, -А/В, -А/-В. Если имеет место отношение вида А/В=А/-В =1, то эти отношения выражаются частными высказываниями вида Некоторые А есть В=Некоторые А есть -В=и. Если же А/В=1, А/-В=0, то А/В выражается высказыванием Все А суть В=и, Некоторые А есть -В=л
    К форме А/В применима операция дополнения, которая позволяет подставлять на место А - -А и обратно, и то же в отношении В, благодаря чему есть возможность рассматривать все возможные отношения  между  множествами.

    Движение  текста 1.1
    Даны непересекающиеся множества и в качестве точки отсчета берется множество А и положение о симметричности пересекающихся множеств. Это - посылки.
    В силу симметричности посылок достаточно рассмотреть отношение А/В, тогда отношение В/А будет симметрично ему, то есть в полученных отношениях  А/В достаточно будет поменять буквы, чтобы получить противоположное отношение В/А. Другими словами,  В симметричных операторах А/В=В/А.
    Из не пересекающихся множеств АВ=0 следует (а1)  Из А/В=0, А/-В=1  следуют высказывания Некоторые А суть В = л, Все А суть -B=и. Из -А/В=-А/-В=1 следуют высказывания Некоторые А суть В = Некоторые В суть -В=и. (а2). Из а2 следует набор значений оператора лиии, из лиии следует отрицание конъюнкции.
  Отсюда получаем зеркальную скелетную схему вывода: 
    Для того, чтобы получить отрицание оператора конъюнкции, нужно  перейти  к набору его истинностных значений (лиии), для того, чтобы получить набор истинностных значений, нужно получить набор высказываний (а2). Для того, чтобы получить набор  высказываний (а2), нужно получить отношения пересечения  множеств А/В=0, А/-В=-А/В=-А/-В=1 (а1). Для того, чтобы получить (а1), нужно иметь непересекающиеся множества А и В,  т.е. АВ=0, такие, что АUB=I.
    Т.о., мы прошли от начала к концу, представляющему результат, затем от конца к началу, и теперь нам остается снова пройти от начала к концу. Но теперь мы можем предварительно сделать обобщение::
    Заданное наглядно или аналитически отношение между множествами  является средством для определения значений отношений (а1). (а1) является средством для получения (а2),  (а2) является средством для получения наборов истинностных значений оператора. Набор истинностных значений является средством для определения оператора.
   

Приведем несколько формул, связывающих утвердительные и отрицательные высказывания, а также кванторы общности и существования:  А’-В=А-’В, Если ᴧА’В=л, то –(ᴧА’В)=- ᴧА’В= ᴠА- ’В= ᴠА’-В=и, Если ᴠА’-В=л, то –(ᴠА’-В)=- ᴠА’-В= -ᴠА-’В= ᴧА’В=и. Обратите внимание на переносимость операции отрицания с квантора на связку, со связки на предикат:  -˅А'В=˄А-'В=˄А'-В=и. Выражение -˅А'В=˄А-'В позволяет сделать заключение от отрицания частного к отрицанию общего, выражение ˄А-'В=˄А'-В позволяет сделать переход от отрицания предиката к утверждению его отрицания.
    Заметим, что в естественном языке утверждения производятся относительно субъекта, поэтому истинность суждения определяется приписываемым субъекту предикатом.

    1.1. Пройдемся еще  раз. Пусть не пересекающиеся А и В, определенные выше. Мы берем в качестве субъекта свойство А именно потому, что безразлично, какое из двух свойств брать в качестве субъекта, т.к.  отношения между свойствами  пересечений множеств симметричны. Тогда у нас есть множество элементов х таких, которые либо обладают свойствами А,-В, либо –А, В, либо –А,-В. (Соответственно, если бы мы брали в качестве субъекта В, то получили бы В,-А, -В,А, -В,-А, то есть те же самые наборы, только в обратном порядке. Для них имеют место высказывания:  1. ᴧх(хϵВ→хϵ -А)=и, 2. ᴠх(хϵВ→хϵА)=л, 3. ᴠх(хϵ-В→хϵА)=и, . ᴠх(хϵ-В→хϵ -А)=и. [2] )  Отсюда получаем для строк наборов истинностных значений переменных А и В: 1. ᴧх(хϵА→хϵ -В)=и, 2. ᴠх(хϵА→хϵВ)=л, 3. ᴠх(хϵ-А→хϵВ)=и, 4ᴠх(хϵ-А→хϵ -В)=и. [1] . Получили набор истинностных значений оператора лиии, что соответствует оператору отрицания конъюнкции. В отрицании конъюнкции строки 3,4 содержат  неопределенность. Обобщая, получаем: всюду в истинностных таблицах ОТИЗи, где субъекту (например, А или -А) соответствуют истинностные значения предиката В ил, то есть В и -В, при которых оператор принимает значение "истина", мы имеем дело с двумя истинными  частными утвердительными суждениями с положительным и отрицательным предикатами. (1.1.а)

    1.2. В отрицании конъюнкции  мы имеем неопределенность строк 3,4, которой характеризуются частные суждения ˅-A'B=˅-A'-B=и, и определенность строк 1,2, которая связана с тем, что строки имеют противоположные истинностные значения оператора, благодаря чему истинностные значения 1 и 2 строк оказываются связаны т.о, что из высказывания строки с ложным высказыванием выводится строка с истинным.  Поэтому для получения формы высказывания строки с "и" мы начинаем с отрицания строки с "л". Для отрицания конъюнкции ложной является первая строка, которой отрицается наличие элементов х(А,В) в I, то есть ˅А'В=л, откуда -˅А'В=˄А'-В=и  (так как А есть либо В, либо -В, и третьего не дано), что соответствует второй строке оператора отрицания конъюнкции.  В другой форме записи это выглядит как -˅х(хϵ А→хϵ В)=˄х(хϵ А→ хϵ -В)=и. А так как логика - это наука, преследующая  цели получения однозначного знания, а однозначный вывод может быть сделан только из общих (или единичных, которые в этом плане могут быть отождествлены с общими) высказываний, но не частных, то это обстоятельство и становится основанием для возможности делать однозначный     вывод, а именно, на основании наличия признака А, можно утверждать признак  -В, т.о., А является отличительным признаком В.

   1.3. Понятия отличительных и необходимых  признаков  соотносятся с понятиями признака и свойства. Отличительным является признак, на основании которого выделяется предмет. Необходимые признаки - это свойства предмета. Единство отличительного и необходимого признаков предметов заключается в том, что  отличительный признак – это явление сущности предмета, необходимый признак – это сущность явления отличительного признака.
      1.4. [1]  и  [2]  (см. 1.1) дают два общих суждения ˄х(хϵА→хϵ-В) и ˄х(хϵВ→хϵ-А) [p.s.Иначе эти же высказывания могут быть записаны в виде ˄х(хϵА→х-ϵВ) и ˄х(хϵВ→х-ϵА) на основании формулы: х-ϵА = хϵ-А, что читается как  "х не является элементом множества А тогда и только тогда, если х является элементом множества -А" ] .  Мы с вами установили, что строки 3,4 не позволяют сделать однозначный вывод. Напротив, из строк 1,2 такой вывод делается именно потому, что строки по сути отрицают  друг друга, так как из отрицания каждой из них следует другая, а именно, из истинности  2 строки ˄х(хϵА→хϵ-В)= -˅х(хϵ А→хϵ В)=и, следует, что  ˅х(хϵ А→хϵ В)=л, как и обратно, из  ложности ˅х(хϵ А→хϵ В)=л следует, что   -˅х(хϵА→хϵВ)= ˄х(хϵ А→хϵ-В).  Выражение ˄х(хϵА→хϵ-В) мы можем записать в виде А→-В, без того, чтобы явно фиксировать квантор общности в силу взаимной выводимости  отрицаний высказываний строк 1,2 в силу чего квантор общности однозначно привязывается ко второй строке.. Аналогично, суждение ˄х(хϵВ→хϵ-А) может быть записано в виде В→-А.→ -А. Суждения А→ -В (1),  В → -А (2) имеют одинаковые наборы истинностных значений, в чем легко убедиться, построив таблицу:

А	В	-А	-В		А→-В	&	В→-А
и	и	л	л		л	л	л
и	л	л	и		и	и	и
л	и	и	л		и	и	и
л	л	и	и		и	и	и

И,  применив к операторам высказываний (1), (2) оператор конъюнкции, получим в результате оператор отрицания конъюнкции. Отсюда получаем, что оператор отрицания конъюнкции состоит из двух импликаций, таких, что переменные в них занимают противоположные места. А это как раз и является необходимым, но не достаточным признаком симметричной операции. Достаточным признаком симметричной операции является при применении к импликациям оператора эквивалентности и получение тождественно-истинной функции высказывания, то есть оператора 1. Из одинаковости таблиц истинности (1),(2) следует, что если истинна либо ложна одна из переменных, то, соответственно, будет истинна либо ложна другая, что как раз и является основанием для применения понятия симметричных операторов, когда доказательство истинности одного отношения позволяет сделать вывод об истинности  симметричного ему.

   Отсюда нами получена технология для определения симметричных и несимметричных операторов. Рассмотрим оператор дизъюнкции на предмет определения его симметричности. У дизъюнкции общее суждение представлено третьей строкой, которая, сокращенно выраженная в форме импликации, для А˅В имеет вид -А→В, для В˅А имеет вид -В→А. обе импликации имеют набор истинностных значений ииил, что представляет противоположные стороны симметричного отношения. Применим к импликациям оператор эквивалентности. В результате получим тождественно-истинную функцию высказывания. Применив к ним же конъюнкцию, получим ииил, то есть оператор дизъюнкции.
    Теперь обратимся к несимметричному оператору - импликации, и посмотрим, чем же он отличается от симметричного. Таблицей истинности выражения А→В является илии, таблицей истинности В→А является иили. Т.о., мы получили разные наборы истинностных значений, и если мы применим к выражениям оператор эквивалентности, то снова получим оператор эквивалентности вместо тождественно-истинного высказывания, и совершенно тот же результат, то есть эквивалентность, мы получим в результате применения к ним оператора конъюнкции.
  
  На основании высказываний (1), (2) мы можем построить условные правила удаления. Условные, потому что каждая из переменных зависит от значения другой. Пусть  высказывание (1) А→ -В. Если истинно А, то истинно -В. Однако, если мы возьмём -А, то однозначного вывода не получим, так как в этом случае можем получить как В, так и -В, что следует уже непосредственно из таблицы. И, аналогично, пользуясь таблицей, мы из В (высказывание (2)) можем получить в качестве вывода -А, но из -В однозначного вывода мы получить не можем, так как в этом случае А может принимать значения как "и", так и "л" Поэтому для получения вывода нам, помимо большей посылки с импликацией нужна еще малая посылка - истинность А. Только в этом случае мы сможем утверждать истинность -В. Но импликация А→-В является лишь одной из двух противоположных сторон оператора отрицания конъюнкции, другой её стороной является импликация В→-А, для которой требуется малая посылка В. Отсюда для оператора отрицания конъюнкции (штриха Шеффера) получаем два правила вывода: А-&B = A|B=и, А=и Ⱶ -В=и и если A|B=и, В=и Ⱶ -А=и, или в сокращенной форме: А|B, A, B Ⱶ -В, -А

    А теперь, на основании полученного опыта, мы можем сформулировать явно переход  от кванторных высказываний уже собственно к таблице истинности переменных и оператора. У нас есть 4 высказывания [1], в которых в качестве субъекта берется А, в качестве предиката - В: 1. ᴧх(хϵА→хϵ -В)=и, 2. ᴠх(хϵА→хϵВ)=л, 3. ᴠх(хϵ-А→хϵВ)=и, 4. ᴠх(хϵ-А→хϵ -В)=и. Записываем слева направо субъект S=А и предикат Р=В и под ними - наборы истинностных значений, которые принимает высказывание о переменной х относительно её возможных признаков А, -А,  В, -В в следующей строчной последовательности: 1 строка А,В, 2. А, -В, 3. -А, В, 4. -А, -В. и подставляем в строки 1-4 на место А истинностное значение и:  А/и, соответственно, -А/л,  В/и, -В/л. и сопоставляем этим значениям значения  оператора отрицания конъюнкции  (штриха Шеффера) А|B.

    2.1. Рассмотрим отношения пересекающихся множеств, сумма которых не исчерпывает универсальный класс, т.е. А<I, B<I,  A∩B=1 ( напомним, "1" читается как "непустое множество", "0"-пустое множество ). Элемент хϵ I  обладает либо значением А,В, либо А,-В, либо –А, В, либо –А, -В. То есть  имеем четыре истинных частных высказывания: ᴠх(хϵА→хϵВ)=и, ᴠх(хϵА→хϵ -В)=и, ᴠх(хϵ-А→хϵВ)=и, ᴠх(хϵ-А→хϵ -В)=и. Получили 4 истинностных значения «истина»: ииии, что соответствует оператору под №1 – тождественно-истинное высказывание, (в котором ни один из признаков не является ни отличительным, ни необходимым).

   
    4.. Рассмотрим еще вариант проекции операторов на множества.
   
   4.1  Пусть дана дизъюнкция. У дизъюнкции три первые строки истинны, последняя ложна. Отсюда следует: первые две строки для субъекта А представляют собой частные суждения. То есть «некоторые А суть В» = и и «некоторые А суть не-В"=и. Значит, существует А такое, что В, и существует А такое, что не-В.  То есть множество А содержит в себе элементы х, обладающие свойством В, и элементы х, не обладающие свойством В. А это означает, что множество А частично пересекается с множеством В. Для того, чтобы А было В, А должно пересекаться с В, и для того, чтобы А было не-В, оно не должно быть включено в В.  Так как дизъюнкция - симметричный оператор, то отношение В/А такое же, как А/В, то есть В имеет элементы А и -А, следовательно, множества А и В частично пересекаются. Частные суждения с субъектами  А, В выражают множества, показанные на рис. 3.1,2. Возникает вопрос: как можно наглядно синтезировать эти данные. Для этой цели снова возьмём круг (рис.3.3), разделим его на две одинаковые половины, одну из которых обозначим как А, вторую - как -А. Затем перпендикулярной линией к проведенной разделим его еще на две части и обозначим их как В, -В. В результате в круге появится 4 сектора, представляющие все возможные отношения между двумя множествами. Так как дизъюнкцией отрицается существование пересечения -А,-В,  у нас остается три сектора, которые, очевидно, представляют собой частичное пересечение двух множеств.  Этот прием можем распространить на анализ других операторов ОТИЗи. Если мы  станем именовать сектора 1, 2. 3, 4  круга, начиная с сектора АВ, по часовой стрелке, то для импликации получим, что в ней отсутствует сектор 4 (А,-В), и тогда пересекаться множества будут в секторе -А,В. В смысле наглядности определения отношения характера пересечения множеств этот способ является, может быть, наиболее наглядным. Еще пример. Пусть отрицание конъюнкции. Ею исключается сектор 1. Тогда множества  пересекаются в секторе 3 (-А,-В).Назовем этот способ представления отношений множеств способом секторов. 


   Подойдем к вопросу с аналитической стороны. Нас может интересовать вопрос, достаточно ли для ОТИЗи брать в качестве субъекта только одну переменную. Снова берем дизъюнкцию.  В символике высказываний дизъюнкция запишется так: строки 1,2 наборов истинностных значений дизъюнкции АВ(1,2) = ии, ил. Отсюда: ˅х(хϵА→хϵВ)=˅х(хϵА→хϵ-В)=и, откуда следует, что А∩В=А\В=1. Это выражение говорит о том, что А частично пересекается с В, однако обратное отношение В к А, то есть входит оно в А или также частично пересекается с ним, неизвестно.  Если берем противоположное отношение В/А, то это - строки 1,3 ВА(1,3)=ии,ил. Откуда ˅х(хϵВ→хϵА)=˅х(хϵВ→хϵ-А))=и. Следовательно, В∩А=В\А=1. Из двух полученных результатов получаем,  что множества А и В частично пересекаются. Т.о., если мы берем  две строки с частными истинным суждениями, то для выявления отношения между множествами мы должны поочередно брать суждения с субъектами обеих переменных.

   4.2. Третья и четвертая строки имеют в качестве субъекта -А. Получаем для субъекта -А высказывания для строк: -А(3): ˄х(хϵ-А→хϵВ)=и, -А(4): ˅х(хϵ-А→хϵ-В)=л. Четвертая строка говорит о том, что в I элементы -А,-В отсутствуют, и это означает, что отношение между множествами, которое было установлено для частных суждений, исчерпывает универсальный класс I, то есть что элементами х(А,В), х(-А,В), х(-В,А) свойства элементов х класса I исчерпываются, и тем самым получаем  отношения множеств, представленные рис. 2в. 
 
   . Из -А(4) дизъюнкции выводится -(-А(3)) : ˅х(хϵ-А→хϵ-В)=л Ⱶ (знак вывода, читается: "... следовательно...) -˅х(хϵ-А→хϵ-В)=и Ⱶ ˄х(хϵ-А→хϵВ).  Как и обратно, из -А(3) выводится -(-А(4)) выводится  ˄-A 'B=-˅-A '-В, что иллюстрирует рис. 3.4.

Аналогично для субъекта В получаем ˄-В 'А (рис.3.5) Вопрос: как эти два отношения синтезируются? Применяем метод секторов Два ложных суждения: ˅х(х ϵ -А →х ϵ-В) = л и ˅х(х ϵ -В → х ϵ-А)=л представляют собой ложные прямую и обратную импликации. Откуда получаем ˅х(хϵ-А≡хϵ-В)=л, откуда, в свою очередь, получаем ˅х(хϵ-А&хϵ-В)=л Этот ход рассуждения основывается на следующей последовательности выводов: А&ВⱵ₁ А≡ВⱵ₂ (А→В)&(В→А)Ⱶ₃ (А→В),(В→А). Здесь на каждом очередном шаге вывода применяется закон модус поненс: если истинно А→В и истинно А, то истинно В. Следствие 3 выводимо из его причины - следствия 2. Следствие 2 выводимо из его причины - следствия 1, следствие 1 выводимо из его причины - посылки А&B. Это - обычный ход рассуждения от истинности посылок к истинности следствий. Но ведь мы можем поставить и противоположный вопрос о переходе, на основании существующей последовательности следствий, от следствий к посылкам. Этому служит закон модус толленс, который имеет вид: если А→В и -В, то -А. Что означает, что если истинна импликация и ложно следствие из неё В, то ложной является посылка А. Другими словами, из ложности следствия переходят к ложности посылок. Поэтому, если ложными являются следствия А→В и В→А, то ложной будет и их конъюнкция, следовательно, ложной будет также и их эквивалентность, а если эквивалентность является ложной, то ложной будет и конъюнкция А&В.
    Так как оператор конъюнкции симметричен, он подчиняется закону коммутативности АВ=ВА, и поэтому  высказывания обозначают  одно и то же множество, следовательно, один и тот же, и именно, третий  сектор, который в силу ложности исходных суждений исключается из рассмотрения.
    Суждения ˄-А 'В и ˄-В 'А принадлежат, соответственно, второму и четвертому секторам круга, которые опосредуются двумя  суждениями ˅А 'В и ˅В 'А. Так как если элемент множества х, обладая свойством А, обладает также и свойством В, то верно и обратное: х, обладая свойством В, обладает свойством А, и поэтому ˅А 'В и ˅В 'А обозначают один и тот же первый сектор. Это обусловлено  с тем, что конъюнкция этих высказываний принадлежит одной, первой строке.

    4.3.Так как из отрицания четвертой строки выводится третья и обратно, из отрицания третьей выводится четвертая, то отношение между ними выражается строгой дизъюнкцией.  Допустим, мы исходим из субъекта А Тогда для первой и второй строк имеем дело с элементами хА. Для 3 и 4 строк - с такими элементами -А, которые обладают свойством В. Так как все элементы -А обладают свойством В, обратное же отношение В/А нам неизвестно, то получаем: I≥A+-AВ. В силу симметричности дизъюнкции сразу получаем I≥В + -ВА. Покажем справедливость этого. -В/А содержит строки 2,4  -В(2): ˄х(хϵ-В→хϵА)=и, -В(4): ˅х(хϵ-В→хϵ-А)=л Ⱶ -˅х(хϵ-В→хϵ-А)=и Ⱶ ˄х(хϵ-В→хϵА), откуда I≥В + -ВА
     Теперь возьмём субъект А  и для него соединим данные, полученные для строк 1,2 и 3,4.  Мы имеем две информации: 1 АВ=А\В=1,   2. I≥A + -AB. Информация 1 означает, что существует какое-то множество А, такое, что оно пересекается с множеством В, но не исчерпывает его. Информация 2 говорит о том, что универсальное множество I не исчерпывается элементами множеств А и пересечением элементов дополнения А и элементов множества В. Согласно информации 1, множество А содержит элементы В, но при этом неизвестно, В полностью входит в А или лишь частично. Т.о.,налицо неопределенность информации.
   4.4  С целью устранения неопределенности обращаемся к субъекту В. Информация здесь: 1. ВА=В\А=1, 2. I≥В + -ВА. 
   Т.о.,  АВ + А/В + ВА + В\А = АВ + А/В + В/А = I. Неопределенность информации устранена, множества А и В пересекаются и, так как  х(-А,-В)=0, исчерпывают универсальный класс.
    4.5. Рассмотрим формулы I≥A + -AB,   I≥В + -ВА и в них формулы -АВ и -ВА. Применив к одной из них отрицание (корректно - дополнения), получим: -(-АВ)=-ВА. Также имеем ввиду, что перенесение в уравнении выражения из одной его части в другую должно, согласно установившейся математической привычке, сопровождается операцией вычитания (отрицания, дополнения), например, если А=В, то А +  -В = 0. И тут перед нами возникает вопрос: а как следует понимать полученное выражение? Как следует понимать знак  "+", как объединение двух множеств? Но если это - объединение множеств А и -В, то мы получим универсальный класс I, но уж никак не пустое множество. Или же перенесение В из левой части уравнения в правую  означает вычитание В из А. Если это так, то мы должны записать не А+ -В, а А\В, то есть при перенесении переменной В в другую часть уравнения В не превращается в -В, но вычитается из другого множества. Значит, перенесение переменной из одной части уравнения в другую есть вычитание представляемого ею множества из множеств другой части уравнения, но никак не переход к дополнению этого множества.
    Обратим внимание и еще на один аспект. К объектам мы можем подходить со стороны их свойств и со стороны их объемов. Если подойти к выражению   если А=В, то А+ -В=0 со стороны связи объёма и свойств, то это выражение  если А=В, то А+ -В=0 мы должны записать в виде А=В, то А\В=0, поскольку представляется, что и в этом случае должно применяться вычитание, а не отрицание (дополнение), так как в этом случае из множества свойств хА должны вычитаться свойства хВ, и, если множества определяются их свойствами, то знак равенства соответствует импликации, а не эквивалентности, и выражение А=В со стороны свойств означает, что множество свойств А представляет собой часть свойств В,  и обратное верно лишь тогда, когда также и В=А. И если это так, то мы будем говорить, не что А=В, а что А равно В тогда и только тогда, когда В равно А. В этом случае если под равенством понимается эквивалентность, то вычитание действительно даст пустое множество свойств. Однако, если под равенством понимается импликативное отношение, то свойства А могут быть частью свойств В, и тогда относительно А мы должны будем получить отрицательные значения свойств В. Т.о., в этом случае мы переходим, во-первых, к соотносительности свойств, которыми характеризуются объекты, и во-вторых, к тому, что каждому свойству противостоит противоположное ему свойство, и в человеческой практике отрицательное свойство вовсе не пустой звук. Тем, что у Ивана есть машина, а у меня - нет, это - отнюдь не безразличное отношение между нами. Этого рода вопросы нами будут подробно обсуждаться в дальнейшем.
    I=A+ -A. Если ˄-А 'В, то пересечение -А с В не ограничивает -А, но ограничивает В. Следовательно, I=A+ -AB. И из этого же рассуждения следует, что I=B+-BA, откуда А+-АВ=В+-ВА, откуда  А-В=2(-ВА). Проверяем полученный результат  по рис. 2в и убеждаемся в его правильности. Теперь перенесем В в правую часть уравнения. Получаем: А=В+2(-ВА)=I (а) Получили, что правая часть уравнения равна I, но А<I, а не равно ему.. В чем же дело? А дело в том, что когда мы вычитаем из множества А множество В, мы вычитаем из А только те элементы В, которые входят в пересечение с А,. т.е. операция А\В=А-АВ. Поэтому в правую часть уравнения должно переноситься не В, а пересечение АВ,  поэтому мы должны записать А=2(-АВ) +АВ.
    Приведем еще две полезные формулы: А\В=-ВА и, соответственно, обратное отношение В\А=-АВ
   
    В выражении 2(-ВА) коэффициент два представляет собой факт, важный в содержательном отношении. Он означает, что пересечение двух множеств вовсе не означает, что элементы множеств сливаются друг с другом, превращаясь в один элемент. Ничуть не бывало: это как были разные элементы, так и остались. Речь идет всего лишь об отождествлении разных элементов относительно общих для них признаков.  Выше есть замечание относительно логики свойств в противовес логики объёмов, в которой тому, что в логике объемов представляет собой отождествление разных объектов на основе общих им свойств,  в логике свойств соответствует порождение качественно новых объектов, в которых свойства исходных объектов суммируются.
 
  
 
   5.1. Начнём с отрицания конъюнкции. Отрицание конъюнкции – это ложное выражение первой строки и истинное остальных строк. Т.о., у нас отсутствует совмещение (пересечение) А и В, то есть нет такого х, который одновременно обладает и свойством А, и свойством В: -˅х(х 'А&x 'B)=-˅х '(АВ).. и т.д.  Но   ˅х[(х 'А&x '-B)↓(х '-А&x 'B)↓(х '-А&x '-B)] = ˅х '(-АВ↓(-А&-В)↓-BA) Как это может быть?
   5.2.  А и В не имеют общих элементов, сл. не пересекаются, сл. это – пустое множество. В то же самое время, сумма А+В не исчерпывает собой универсального класса I, то есть А+В<I. Сл, имеет место отношение между двумя внеположными множествами. Это отношение уже рассмотрено.
  5.3. Рассмотрим отрицание дизъюнкции. Отрицание дизъюнкции имеет первые три строки ложные, последнюю – истинную. Следовательно, истинными могут быть только –А,-В и, соответственно, отношение между ними. Как это может быть? Понятие лжи может рассматриваться как пустое множество. Это – один вариант. Второй вариант заключается в том, что как А+, так и А- - это суть нечто позитивное. Это уже ближе к  логике противоположностей, которая и является конечной целью заметок и в которой пустых множеств как таковых не существует, так как в двух взаимноотрицающих друг друга системах того, чего не существует (что является пустым множеством) в одной системе, то существует в противоположной, как и обратно, причем, противоположные системы находятся в отношении дополнения друг к другу, то есть каждая из них никогда не владеет полной истиной, хотя и утверждает, что владеет ею. Существованием противоречия между ними обусловлено движение. Введение же пустого множества – это как раз способ выхода для обозначения множеств в одной системе, которые не содержат в себе элементов, в данном случае для отрицания дизъюнкции. В соответствии с этим, также и относительно отношений между множествами возникает двойственный характер их существования, который заключается в том, что каждому отношению множеств соответствует некоторое противоположное ему отношение подобно противоположности оператора и его отрицания.
  5.4. Отрицание дизъюнкции, следовательно, это одно множество элементов х '(–А&-В), и, значит, I=-A=-B.
    5.5. Теперь посмотрим, что представляет собой отрицание импликации. Отрицание импликации – это истина А,-В. Значит, пустыми множествами являются множества А,В -А,В -А,-В. Т.о., мы имеем множество , которое содержит А и дополнение В, которыми исчерпывается универсальный класс.
    5.6. Отсюда автоматически получаем выражение обратной импликации как два совпадающих множества –А,В, исчерпывающих универсальный класс.
    5.7. И, наконец, обращаемся к тождественно-ложному высказыванию. Очевидно, что ему соответствуют: АВ=л, А,-В=л, -А,В =л, -А,-В=л, то есть мы получаем 4 пустых множества. Рассмотрим это дело подробнее. ᴠх(х ϵА →х ϵВ)=л. Чтобы перейти к истинному высказыванию, нужно перейти к его отрицанию. Получим: «ни один х, если он обладает свойством А, не обладает свойством В», то есть не существует х, который, обладая свойством А, обладал бы и свойством В. Значит, в данном случае мы имеем дело с противоположностью, противопоставлением существования и не существования. Но в мире действует категория становления, и то, что существует, перестает существовать, и то, что не существует, начинает существовать. Что есть сохраняющегося за существованием и не существованием? – идея либо материя. Идея материализуется и дематериализуется. Материя идеализируется и деидеализируется. Материализованная идея – это существование. Дематериализация идеи – это прекращение существования. Можно категорию существования интерпретировать таким образом. Но, в общем, это же относится и к идеям, которые обусловлены материальным миром и которые возникают и исчезают в соответствии с потребностями человеческой практики. Что во всём этом важно? То, что несуществование не есть нечто полностью отрицательное, ничто, хотя Гегель и начинает с бытия и ничто. Во всяком случае, ничто, небытие оказывается не пустой вещью. Другая сторона, связанная с понятиями существования и несуществования: для человека объективно существует то, что он отразил, и не существует того, чего он не отразил, и не имеет значения, что за всем этим стоит объективная реальность. Словом, категории существования и несуществования оказываются отражающими друг друга категориями и объединяющимися, синтезирующимися в голове человека. Нечто может существовать материально и не существовать идеально, как и обратно. Поэтому можно говорить о параллелизме, взаимодействии, взаимоопределении существования и несуществования. А если так, то ложные высказывания представляют собой не менее важное отражение реальности, чем истинные, и отношения между ними являются напряженными и динамическими. . Категории существования и несуществования. Если противопоставляются материя и идея, то в чем существует идея - только в голове человека и, может быть, других существ.
    5.8. Поэтому, если мы говорим о зеркальности существования и несуществования, то мы должны определиться со сторонами зеркала, как, например, с идеей и её материализацией: ведь никакая идея не материализует сама себя, она является моментом, например, человеческой практической деятельности, в которой человек реализует свои собственные цели, реализуя тем самым идею. Но тогда, если мы говорим, что ни один х не обладает свойствами А,В, то это означает, что х – это то, что рассматривается в качестве, например, материально существующего или не существующего. Но тогда мы также и сам х должны рассматривать как х=х+ + х-, и мы имеем дело либо с х как материально существующим объектом, либо с отрицанием этого объекта, а в качестве реальности этого отрицания может выступать идея х. Всё это подобно тому, что есть в реальности и что есть в голове человека. Ведь то, что есть в голове человека – это непосредственно материальное небытие. А если так, то отрицательное суждение в смысле суждения небытия  может рассматриваться как  обладающее соответствующим содержанием, стремлением к превращению идеи в материю, небытия в бытие. Но материализация идеи есть отрицание идеи в её материи, а материя отрицается новыми идеями. Речь, следовательно, идет о человеке и о способе его взаимодействия с внешней средой, о том, что идеальное и материальное взаимно отрицают друг друга и тем самым взаимно превращаются друг в друга. Если мы говорим о существовании и несуществовании, то мы говорим о существовании или несуществовании чего-то, например, объекта или идеи, и несуществовании или существование одной стороны противоположности говорит о существовании или несуществовании другой соответственно. Поэтому, когда мы говорим, например, что ни одно А не есть В, то наше высказывание относится к А+ либо к А-. Ведь наша особенность состоит в том, что нами сторона противоположности принимается за целое, и мы отождествляем себя со стороной противоположности. А это значит, что если мы отрицаем явно одну сторону противоположности, то тем самым неявно  утверждаем другую сторону противоположности, отрицая одно существование, мы тем самым утверждаем существование противоположное.  Отрицание, идея и существование
 

 
   
   

   6.1. Рассматриваем операторы. Берем ОТИЗи. Определяем, является оператор симметричным или не симметричным.  Пусть дана дизъюнкция. Дизъюнкция – симметричный оператор. В нём, соответственно, А содержит в себе В и –В, и В содержит в себе А и –А. То, что А содержит в себе В и –В означает, что А частично пересекается с В. В содержит в себе А и –А означает, что В частично пересекается с с А и -А.  –А, -В выведены за пределы класса I, следовательно, пересечение А или В исчерпывает универсальный класс.
    6.2. И, наконец, Все –А суть В и Все –В суть А. (-А берутся 3,4 строки, а –В берутся 2 и 4 строки). Т.о., что мы получили? Мы получили, что отношения между множествами ОТИЗи выводятся из трех посылок, так как набор ил 3,3 строк для дизъюнкции заключается в том, что в нём из одной посылки выводится другая.
   6.3. Мы с вами описали метод получения отношений между множествами для оператора посредством перехода от оператора 1 к данному путем устранения из него лишних возможностей. Второй метод - метод секторов. Третий способ заключается в отсутствии всякого способа. Мы рассматриваем, во-первых, отношение ложное и выводим его из рассмотрения, и затем рассматриваем суждения с квантором «некоторые», или наборы истинности, другими словами для А либо –А, если они принимают для В и –В значение «истина». И затем, наоборот, мы берем В или –В с квантором "некоторые", когда они дают для А и –А значения «и». И этого оказывается достаточно. Четвертую посылку мы можем использовать просто для того, чтобы показать, что решение нами найдено правильное. Например, берем отрицание конъюнкции. Здесь мы имеем пересечение –А с В и –В, -В с А и –А, так как это- симметричный оператор, и выводится из I (т.е. за пределы I) АВ. Выводя из I АВ, мы получили в качестве оставшихся все возможные варианты. Нарисуем прямоугольник и в нём черту, делящую его на А и –А. Так как –А содержит в себе В и –В, то между А и В содержатся элементы –А,-В. Поэтому черту с В нарисуем с противоположной стороны на некотором расстоянии от черты А. Теперь проверяем и убеждаемся, что некоторые –А суть В, некоторые - -В, некоторые -В суть А, некоторые–А, Наконец, все А суть –В, все В суть –А.
    6.4. Теперь возьмём не симметричный оператор, импликацию. В импликации отсутствует пересечение множеств А,-В. В силу отсутствия симметрии, отношения не являются прозрачными. Поэтому берем второе, включенное отношение Все А суть В. Строим эти отношения и проверяем. Берем 3, 4 строки и видим, что некоторые –А суть В, некоторые –А суть –В. Но –В для этих же строк мы не можем брать с квантором "некоторые", так как один из наборов падает на запрещенную строку. Но тогда получаем общее суждение Все –В суть –А, что также соответствует отношению множеств. Мы видим, что рассмотрение не симметричного оператора отличается от симметричного тем, что в обратном отношении должны браться истинностные значения В, противоположные истинностным значениям А. Действительно, некоторые В суть А, некоторые В суть –А. Проверяем схему и убеждаемся, что это так.
   6.5. Рассмотрим обратную импликацию. В обратной импликации для А исключается третья строка –АВ. Отсюда получаем 4 строку, для которой Все –А суть –В. Рисуем это отношение. Первые две строки дают: некоторые А суть В, некоторые –В, и это так. Берем в качестве субъекта В. Получаем вывод относительно первой строки Все В суть А, и это так, 2,4 строки дают некоторые В суть А, некоторые –А. Что также соответствует чертежу.
    6.6. Т.о., мы с вами видим, что уже после исключения из I ложной строки, задание уже одного отношения определяет и все остальные отношения множества. Для импликации достаточно было взять формулу Все А суть В. Можно было также взять неявно содержащееся в формуле противоположное отношение Все –В суть –А.
    6.7. Что касается эквивалентности и строгой дизъюнкции, то эквивалентность имеет место при равенстве А, В. При нарушении равенства происходит переход либо к прямой, либо обратной импликации. Аналогично со строгой дизъюнкцией, характеризующейся общей границей двух дополняющих друг друга множеств. Если множества начинают пересекаться, то строгая дизъюнкция переходит в дизъюнкцию, если их границы расходятся, то строгая дизъюнкция переходит в отрицание конъюнкции.

    Статья четвертая будет посвящена выражению операторов через операторы.

13.11.12 г.