на главную страницу

L30a1  Заметки по философии логики. Статья 1.

    Это - свободные заметки по философии логики, преследующие цели её практического применения. Свободные в том смысле, что для автора в первую очередь важны идеи, которые возникают по ходу изложения, чем, разумеется, разрушается его последовательность. И хотя в идеале, разумеется, автор мечтает о вполне последовательном и удобоваримом тексте, но так как он знает свой недостаток, который заключается именно в его страсти к непоследовательным мыслям, то ему только и остается, что сознаться в своём недостатке.
    Так как написание текста подобно любви, которая не повторяется, которая всегда оказывается чем-то новым и замечательным, разумеется, в первую очередь для автора, а, возможно, и единственно для автора,  вопреки последнему обстоятельству автор  делает попытку передачи этой любви читателю. Но так как любовь полна терний, то читателю тернии любви могут и  не понравиться. 

    У меня тексты короткие, как коротки и мысли. И поэтому, имея ввиду создание чего-то целого и "большого"  я, наконец, убеждаюсь, что для меня дело это безнадежное, потому что я не в состоянии дважды войти в одну и ту же реку, потому что для меня прошлого не существует, и то, что сделано, погружается в бездну забвения. И поэтому смиряюсь с этим печальным обстоятельством и решаюсь строить изложение небольшими текстами.

    Мы не занимаемся математикой как таковой, то есть мы не занимается построением  теорий, в которых делаются выводы из множества положений, которые принимаются в качестве истинных, и при этом совершенно неважно, как они относятся к реальности. Нашим объектом является чувственная реальность. Другими словами, мы занимаемся чувственными объектами, и в целом в нашу задачу входит переход от внечувственных объектов к чувственным.
    Человек имеет дело с двумя вещами: с такой внечувственной вещью, как язык, и с такой чувственной вещью, как отражаемая в чувствах реальность. Человек сравнивает то, что он высказывает, с тем, что он находит в реальности, и в его задачу входит установление соответствия между тем, что он высказал, и реальностью, поскольку, если этого соответствия нет, то высказывание невозможно приложить к реальности, а реальность остается невысказанной. В этом смысле человеческая познавательная деятельность заключается в построении высказываний, которые соответствуют чувственной реальности, и это является единственным способом целесообразного сознательного преобразования как отражения реальности в голове человека, так и отражения этого отражения в реальность.
    Если мы возьмём математику и, конкретно, теорию множество, то в ней мы всюду сталкиваемся с тем, что есть у человека в чувстве, и тем, как он описывает то, что у него есть в чувстве, в языке. Т.о. им устанавливается связь между словами и их конструкциями, с одной стороны, и теми чувственными данными, которыми он обладает, с другой. Этим обеспечивается возможность перехода от речи к его (человека) чувственной реальности, которая ею обозначается.
    Итак, мы должны иметь дело с этим параллелизмом: речью и её значением, где под значением речи понимаются чувственные объекты. Сами по себе чувственные объекты, с которыми имеет дело человек, есть отражение в нём существующей вне него объективной реальности, с которой он находится в практических отношениях. Само по себе это отражение может быть адекватным и неадекватным, но оно проверяемо практикой человеческой деятельности.
    Мы займемся с вами вполне наивными вещами, целью которых является формирование  навыков действий с соответствующими объектами.
    

    Ссылаться мы будем не на аксиомы, а на то, что есть у нас в чувстве, на то, что нами может быть проверено в чувстве. Мы будем обращаться к тому, что существует непосредственно в чувстве и на представления, "представляющие" чувства.
    Мы начинаем с понятия объекта. Объект - это то, что обладает замкнутыми границами, при этом сами границы могут быть четкими или размытыми. В сознании объекты, как и их свойства и действия с ними, представлены в виде знаков, которые указывают на объекты. Эти знаки, вообще говоря, могут быть какими угодно, в том числе природными явлениями. Но всюду, где сознание выступает не в качестве придатка к чувственной практике, а в качестве автономной, относительно независимой системы, в качестве знаков выступают знаки, которые производит (придумывает) человек самостоятельно и которые представляют собой знаки в чистом виде, то есть, с одной стороны, вещи воспринимаемые, а, с другой стороны, сами по себе не имеющие никакого значения. Такими знаками является всё то, что человек способен нарисовать, написать на бумаге произнеси и т.п. Само по себе отношение между знаком и его значением произвольно, но, поскольку между знаком и обозначаемым им отражением чувственной реальности установлено соответствие,  эта связь фиксируется, то есть формируется такой рефлекс, что при восприятии человеком знака у него возникает чувственный образ его значения (обозначаемого им), а при восприятии значения - возникает образ знака. Т.о. благодаря рефлексу возникает круговая замкнутая связь между знаком и его значением.
    Поэтому мы можем взять произвольный объект, то есть всё то, что обладает замкнутыми границами, и тем самым мы с самого начала получим  обобщение и  можем в сознании представить объект мысленно в виде точки, а точку обозначить каким-то речевым знаком - буквой, словом.
    Следует отметить специально, что когда мы действуем  практически, мы действуем с каким-то единичным, конкретным объектом.  Но нужно иметь ввиду, что объекты нам непосредственно не даны. Мы должны иметь возможность воспринимать их, а для их восприятия мы должны их отразить, то есть получить их субъективный образ, на основе которого нами и выделяется объект. Но объекты выделяются на основе воспринимаемых признаков - формы, цвета, твердости, запаха, вкуса и т.д. Особенностью рефлекторных механизмов является то, что, с одной стороны, первоначально объект выделяется на основе самых общих своих  признаков, и лишь по мере чувственно-практического знакомства с ним его образ в нас "обрастает" конкретикой его признаков, а также их количественных характеристик. Поэтому в действительности, объективно мы имеем дело с теми объектами, признаки которых отождествлены нами с образом объекта, который в нас сформировался, и поэтому естественно,  что нами могут отождествляться  самые различные объекты, если они характеризуются общими признаками, которые имеет образ объекта, с которым, как мы полагаем, имеем дело.  Естественно, что здесь же присутствует и другая сторона: объекты, признаки которых нами признаны тождественными, взаимозаменимы. Для практики совершенно безразлично, с каким конкретным  объектом мы имеем дело, поскольку объект определяется своими признаками и свойствами, где под признаками понимаем те, на основании которых объект различается от других объектов, а под свойствами -  способности объекта так или иначе воздействовать на другие объекты и воспринимать  воздействия других объектов на себя.
    Понятия признака и свойства - это две стороны одного и того, что следует из их определения, и термины, их представляющие, различаются между собой в той мере, в какой функциональные их значения противопоставляются друг другу, то есть во всех тех случаях, когда специально говорится об одной их сторон объекта в её противопоставлении другой. Во всех остальных случаях эти термины тождественны, поскольку их значением является один и тот же объект, и поэтому они могут употребляться в качестве синонимов.
    Тем не менее, не следует упускать из вида и такую возможность, когда между признаками и свойствами объекта нами не установлено одно-однозначное соответствие, и тогда как один и тот же набор признаков может указывать на объекты с различными свойствами, так и  объекты с одинаковыми свойствами могут характеризоваться для нас различными признаками.
    Объекты обладают множеством свойств. И объекты могут, в свою очередь, объединяться в множества объектов, обладающие одинаковыми свойствами.
    Мы говорили об объектах. Но, говоря об объектах, мы тем самым неявно полагали, что они представляют собой множество. В математике этим определением понятия множества ограничиваются. В грамматике  единственное число - это объект, хотя оно может и представлять, в свою очередь, совокупность объектов;  множественное число - это множество объектов. Например, окно применительно к чувственным данным, это - объект (хотя, разумеется,"окно" как понятие - это уже идея, это - всеобщее, которое обладает своими специфическими определениями), окна - это, естественно, множество. На практике всегда, когда мы имеем дело с множеством объектов, у нас (в нас) должен существовать критерий, на основании которого мы могли бы осуществлять фильтрацию объектов относительно этого критерия. А это  значит, что множество определяется определяющим его свойством (признаком) или набором таковых. В этом плане множество может быть обозначено непосредственно свойством(-ами), которым(-и) оно определяется.

    Допустим, мы имеем систему искусственно созданных знаков. Система знаков существует как параллельный объект, то есть как объект, который существует одновременно во всех своих точках. Но ведь это - объект, который строился, а строился он последовательно. И, точно также, когда мы мысленно или реально действуем с объектом, мы действуем с ним последовательно, что может быть отражено  посредством  произносимой речи, которая принципиально является последовательностью. Объект есть такая чувственная реальность, которая существует параллельно во всех своих частях. В действиях с объектом и в речи, отражающей порядок действий, мы переходим от одних чувственных частей объекта к другим. Точно также,  если мы имеем дело с текстом, который является, конечно, объектом, представляющим собой систему параллельно существующих знаков,  читается текст также последовательно. Объект - это объективная реальность,  данная нам в чувстве, или в нашем воображении, или как либо иначе, параллельно. В речи мы относимся к тому, что дано нам в чувстве, как к объекту. Посредством  речи мы,  осуществляя  с чувственными частями объекта последовательные  действия,  объективируемся по отношению к объекту или, что то же, объективируем чувственный объект по отношению к нам. А объективацией обеспечивается внечувственное, внерефлекторное отношение к объекту, то есть объект перестает вызывать в нас чувственные реакции, что является необходимым условием познавательного отношения к объекту.
    Параллелизм чувственного отражения и последовательный характер речи являются условием для разложения параллельно существующего целого на части и обратного соединения частей в целое: мы говорим, что А есть В, С, Д, и, обратно, мы говорим, что В,С,Д есть А.

    В тексте предполагается, что читатель имеет некоторое, хотя бы смутное представление о логике высказываний и, возможно, еще более смутное и неопределенное представление о логике предикатов. Другими словами, он обладает какой-то минимальной математической культурой, то есть способен сложить 2+2 и получить правильный ответ, равный четырем. Всё остальное у читателя с обычным здоровым рассудком уже существует в его собственном чувстве (инстинктивном опыте) , в котором он и найдет ответы на возникающие у него вопросы. 
      Для ориентировки в логических операторах прилагается  их таблица с их расшифровкой в обыденном языке и названиями в логике.
    В таблице А, В - бинарные переменные, определенные на области значений и,л, где "и"обычно  интерпретируется как "истина", "л" - как ложь. В строках под номерами 1, 2, 3, 4 заданы возможные наборы истинностных значений переменных А, В..
    Столбцы, занумерованные цифрами 1-16, представляют каждый один из возможных операторов: как число возможных наборов истинностных значений для А и В равно 2² в соответствии с правилом: число возможных наборов значений переменной  N равно числу значений m, которые принимают переменные, в степени, равной числу переменных n:  N=mⁿ, так число возможных логических операторов равно числу наборов истинностных значений переменных А, В, на которых они определены, а это -не что иное, как  возможные наборы 1-4 истинностных значений переменных А и В,, то есть число таких наборов равно 4,  а так как все операторы представляют собой функцию от двух аргументов, то получаем число операторов   равным 4² = 16. (Другими словами, для набора из двух переменных принимающих два значения, число операторов O=(2²)²=16)
   В пятой строке даны некоторые из применяемых символических обозначений операторов. Наряду с приведенными применяются и другие обозначения, так, для  дизъюнкции, наряду с обозначением ˅, употребляется знак +, для конъюнкции -знак ˄, для импликации - V, для обратной импликации -T, для эквивалентности -~
Оператор отрицания обозначается  в тексте знаком тире "-" или "┐"  Отрицание изменяет значение истинностных значений переменных или оператора на противоположные: -(А)=(-А) Отрицание оператора влечет преобразование принимаемых им истинностных значений на противоположные, что можно проследить по названиям операторов и их отрицаний. Отметим также, что отрицание конъюнкции обозначают "штрихом" Шеффера, а отрицание дизъюнкции - "стрелкой" Пирса. 
    Упомянем, раз уж речь зашла об обозначениях, что квантор общности в тексте обозначается значком "˄", существования - "˅"
    Для того, чтобы меньше путаться со скобками, введем правило приоритетов операторов в виде  ┐, (&, ┐→, ┐←, ↑), ˅, (←, →), ↓, ≡, которое читается слева направо; знаки в скобках обладают одинаковым приоритетом, всякий предыдущий (слева направо) знак имеет высший приоритет по отношению к предыдущему, где под высшим приоритетом понимается знак, связывающий выражения более тесно, то есть предполагает внутренние скобки по отношению к последующим, или, иначе, операция, обозначенная им, выполняется раньше.
   Ⱶ -  метазнак, читается: "следовательно", "откуда следует".

   Наконец, введем знаки для обозначения отношений между множествами. "ϵ"  в выражении хϵА читается  "х является элементом множества A", "T"обозначает включение множества (А)  в множество (В): АTВ (рис.1.5), "V" также обозначает включение множества А в множество В: ВVА (рис.1.5), Знаком "W": АWВ - обозначается умножение или пересечение множеств, при котором выделяются общие для двух множеств элементы.  "U" :   AUB   - сложение или объединение  множеств (в одно), в которое войдут  все элементы обоих множеств.  "="  :  А=В  есть  равенство двух множеств: каждый элемент одного множества является элементом другого и обратно.

.     В настоящей заметке мы займёмся выражением в языке отношений между множествами.
    Пусть дан универсальный класс (универсальное множество) I объектов (элементов), с которыми мы будем иметь дело, и  подмножества в нём А и В, которые находятся друг к другу в некотором  из возможных отношений, как, например, представленных рис. 1
   Перед нами стоит простая задача: описать в языке отношения между двумя множествами. Первое слева направо отношение представляет равенство двух множеств А и В. Объекты, входящие в множество, называют его элементами. Элементы множества представляются в воображении в виде точек, явно они  не обозначаются. Воображают, что  все точки не различаются между собой и представляют собой некоторые сущности (существования). Единственным их свойством является то, что они представляют объект. Все  точки в языке обозначают при помощи букв, например, буквы "а", где "а" обозначает произвольный, но один элемент из множества; "а" есть константа.  "х" - это переменная, определенная на множестве объектов (точек) множества I.
    Точки  различаются между собой в зависимости от того, какими признаками они обладают. Признаком определяется множество элементов, им обладающих. В логике предикатов  это выражают в форме А(х). В тексте наряду с этой формой выражения будет применяться также противоположное обозначение  х(А), то есть х, обладающее свойством А. Эта запись может быть сокращена  до хА.
     На рисунках границы множеств обозначаются замкнутыми линиями. Мы говорим: множества А, В. Мы можем также отождествить имена множеств с их свойствами, и тогда  будем говорить  "элементы множества А обладают свойством А" или просто " свойство А", подразумевая  элементы, обладающие этим свойством,  вместо того, чтобы говорить, что "х является элементом множества А"

   Начнем,   рассмотрение с отношения между множествами А и В, представленного рис. 1.1. Для начала можем просто проанализировать, с какого рода свойствами объектов мы сталкиваемся на рисунке. Это собственно чувственный подход. Мы видим, что все х делятся на объекты двух родов: множество объектов, обладающих одновременно свойствами А и В, и множество объектов, которые не обладают ни свойством А, ни свойством В. Никаких других х у нас нет.
    Когда мы высказываемся о свойствах объектов,  мы говорим либо "х обладает свойством А" либо "х не обладает свойством А", но из последнего высказывания непосредственно следует, что "х обладает свойством не-А". Отрицание  обозначаем знаком тире перед буквой (не-А = -А), как это делают  в математике при вычитании. Вычитание - это ведь тоже своего рода отрицание: вычитание из положительного целого чего-то положительного, так что на месте вычтенного при этом как будто ничего не остается, пустое место, чистая отрицательность. Вычитание из целого отрицательного дает увеличение на соответствующую величину положительного: у вас  10 руб.; вы заняли 5 руб, и у вас осталось 5 руб. и плюс отрицательная величина - долг заёмщика. Заёмщик возвратил долг, и тем самым по отношению к вам осуществлено отрицание отрицания, и у вас исходная сумма восстановилась. Т.о., если долг в пять рублей обозначим через а, то мы получаем -(а)=-а , -(-а)=а.  Здесь мы имеем дело с чем-то в роде закона физики: энергия не уничтожается и не возникает из ничего, оно просто переходит из одной формы в другую:  передача кредитором денег заёмщику уменьшила количество денег у кредитора, но деньги занятые кредитором,  не перестали существовать, так как  уменьшение количества денег у кредитора увеличило на ту же величину количество денег у заёмщика. При этом между кредитором и заемщиком установились отрицательные отношения:  заёмщик  должен кредитору. Т.о., отрицательность сама по себе -  свойство, и не менее важное, чем положительность. Мы видим, что посредством операции отрицания устанавливается отношение связи между объектами: свойства объекта не могут измениться без того, чтобы не оказались изменены свойства каких-то других объектов: отчуждение кредитором своих денег заёмщику изменило свойство заёмщика в соответствии с изменившимся свойством кредитора. 
    В тексте  будем иметь ввиду  тождество: "х не есть А тогда и только тогда, если х есть -А" и осуществлять подстановки на место выражений вида "х не есть А" выражением вида "х есть -А"
    Кстати, логическая связка "суть", "есть" "является" употребляется, может быть, во всех естественных языках явно или неявно, и, однако, в математической логике она если и употребляется (логика предикатов), то неявно. Явно же она подменяется импликацией.
    Если мы будем обозначать связки типа "есть" значком " ' ", то  получим тождество: х-'А = х'-А. Но этот же приём мы можем распространить также на бинарные операторы следующим образом: Если ∆ -знак произвольного бинарного оператора, то имеет место тождество: -(А∆В) = А -∆ В.
    Рассматриваемая нами чувственная реальность, которая нам дана, есть А=В. Всё множество элементов класса I делится на два подмножества:  А,В   -А,-В.  Отношение равенства двух множеств может быть выражено в речи т.о.: ˄х(хϵI→(xϵA&xϵB ↓хϵ-А&xϵ-B)), то есть всякий элемент х из  множества I либо обладает свойствами А и В, либо обладает свойствами -А и -В. Соответственно, исключаются элементы -А,В и А, -В. Соотнеся с наборами истинностных значений операторов, получим для строк с наборами истинностных значений переменных : 1=и, 2=л, 3=л, 4=и, что соответствует оператору эквивалентности.
    Чем характеризуется речь? Тем, что она выражается в форме суждений, обладающих субъектом и предикатом, или, выражаясь грамматически, группой подлежащего и группой сказуемого: речь всегда есть речь о чем-то и о свойствах или отношениях этого "чего-то" к другому. Поэтому нами должен выделяться в высказывании субъект и то, что высказывается относительно него, предикат. И мы говорим: если х (а "х", как мы помним, представляет собой обозначение произвольного элемента из универсального множества I), итак, "если х обладает свойством А, то х обладает свойством В; если х не обладает свойством А, то х не обладает свойством В; если х обладает свойством В, то х обладает свойством А; если х не обладает свойством В, то х не обладает свойством А.
    Знак ϵ обозначает отношение включения элемента в множество, а знак → отношение следования (отношение материальной импликации),  знак ≡ отношение эквивалентности, и знак & - конъюнкцию, поэтому  можем сказанное записать в символической форме:  ˄х(х ϵ А → х ϵ В),  ˄х(х ϵ В → х ϵ А),  ˄х(х ϵ - А → х ϵ -В),  ˄х(х ϵ -В → х ϵ -А). Мы поучили 4 истинных высказывания. Кроме того, мы можем получить также 4 ложных высказывания  -˅х(х ϵ А → х ϵ -В),  -˅х(х ϵ В → х ϵ -А),  -˅х(х ϵ - А → х ϵ В),  -˅х(х ϵ -В → х ϵ А). В настоящем случае речь идет не об истинности или ложности высказываний, поскольку истинностные значения их нам даны, а об отношениях между их истинностными значениями.  Выражение вида х ϵ А может быть сокращено до А, если иметь ввиду, что А представляет собой высказывание, а не предикат, который представляет собой функцию от объектов, которая при подстановке на место х определенного объекта в предикат А(х/а) дает высказывание,  А(х)- это не высказывание, поскольку х не определено. Оно может быть превращено в высказывание, если к нему будут подсоединен квантор общности или существования или на место переменной будет подставлен какой-то объект а из области определения х. Предикат - это предикатная функция  от объекта. Предикат превращается в высказывание при устранении неопределенности, связанной с переменной х. В этом смысле подстановки на место объектных переменных порождают новую функцию - функцию высказывания в её отношении к реальности. А(х) - это предикатная функция, нечто переменное, А(а)- это высказывание, которое само по себе есть некоторая постоянная, то есть одно из возможных значений предиката. Но высказывание - это функция, если оно берется относительно реальности, которая добавляет высказыванию свойство быть истинным или ложным относительно реальности, с которой высказывание сравнивается. И, т.о., значения "истина", "ложь" являются значениями высказывания как функции от реальности.
    Осуществив подстановки, мы преобразовали предикатную функцию в высказывание. Полностью высказывания, которые мы сделали , имеют вид: "Для всякого х из I, если х обладает свойством А, то он обладает свойством B":  хϵI: xϵA→хϵВ.  Введение множества I имеет то значение, что оно позволяет осуществлять анализ отношений в привязке к определенному множеству.  В импликации А→В  "А" называют антецедентом импликации, В - её консеквентом. А есть допущение, что А истинно. Тем самым выражение "если" суживает непосредственно следующую за ним универсальную переменную х множества  I до его подмножества А, и далее утверждается, что в этом случае будет истинно также высказывание относительно х со свойством В. А это второе утверждение суживает свойство элементов множества  В до всех тех х, которые обладают свойством А.
   

    Рассмотрим отношение между множествами А, В рис. 1.5.  p;
    1. Определим свойства, которыми обладают элементы. Так как свойством I обладают все элементы, то оно не будет учитываться. Тогда получим следующие виды элементов х: А,В    -А,В,   -А,-В. Отсутствует один вид элементов А,-В. Потому что, если у нас есть два элемента, то они порождают четыре возможных вида элементов, обладающих положительными или отрицательными  свойствами каждого из элементов. Помните софизм: То, чего у тебя нет, ты лишен. У тебя нет рогов, следовательно, ты лишен рогов. Другими словами, предполагается, что они были, но ты их лишен. Или что они у тебя должны быть, а так как у тебя их нет, ты их лишен. Например, когда ты узнаешь, что у Абрамовича есть яхта, какие чувства ты переживаешь? - Совершенно верно: чувство лишенности. А если бы не было у Абрамовича яхты, ты этого чувства лишенности не переживал бы. Это чувство лишенности - отрицательное социальное чувство, и оно переживается тобой как то, что есть, но чего не должно быть. У тебя по отношению к  Абрамовичу  возникает отрицательное чувство - лишенности. Но ведь ты и действительно лишен. А вот дай тебе яхту, и чувство лишенности  исчезнет. Так что отрицательность - отнюдь не пустой звук.   Если мы соотнесем истинностные значения элементов множеств А и В со строками наборов истинности переменных А и В, представляющих собой высказывания относительно соответствующих им множеств, то получим относительно них последовательноси для строк 1 ии=и, 2 ил=л, 3 ли=и, 4 лл=и, что соответствует набору истинностных значений оператора импликации. Действительно, мы имеем множество элементов, обладающих свойствами А и В  хАВ=и, множество переменных х-АВ=и, х(-А,-В)=и, и у нас отсутствуют элементы х, обладающие свойствами А,-В, т.о. х(А,-В)=л.
    Будем считать, что те признаки из возможных, которыми элемент обладает, являются совместимыми, и те признаки, которыми элемент не обладает, являются несовместимыми по отношению к нему. И в целом в отношении системы отношений признаков элементов универсального класса совместимыми являются признаки, которыми могут обладать элементы, и несовместимыми признаки, которыми элементы обладать не могут.
   2. Как уже выше говорилось, в языке всегда выделяется объект, о котором идет речь, и он выступает в качестве субъекта суждения или подлежащего предложения. Если такого выделения объекта, относительно которого строится высказывание, нет, то мы имеем дело не с высказыванием, а с неявно заданной функцией, которая позволяет сделать множество высказываний в соответствии с объектами, которые в ней присутствуют в качестве аргументов. Например, возьмём предикат "Пасется (корова, луг, утро)". На основании этого предиката может быть образовано множество предложений: Корова пасется на лугу утром. Утро - это то время, когда корова пасется на лугу. Луг - это место, на котором пасется корова. Во всех этих предложениях предикат определяет субъект (является определением субъекта в каком-то отношении. В любом из этих высказываний неявно, в снятом виде положены все другие высказывания, которые можно образовать на основании существующего предиката.
    Т.о., в общем случае говорится, что А суть В. Фактически здесь говорится о связи двух свойств: свойство А обладает свойством В и поэтому  влечет свойство В. За этим стоит другая форма высказывания: Всякий х, обладающий свойством А, обладает свойством В. В действительности за этой конкретикой, а так как на место х подставляются объекты, и поэтому мы имеем дело с единичными предложениями, то за этой конкретикой скрывается общий закон, определяемый необходимыми связями, которые существуют между свойствами. По сути своей от множества единичных опытов, число которых всегда конечно, "х обладает свойством А", где на месте х стоят конкретные объекты а,b,c,...,m осуществляется индуктивное обобщение: "Все х обладают свойством А". То же самое,  на противоположном языке, языке не свойств объектов, а языке объектов свойств ˄х: :хϵА. И одно, и второе выражения являются эквивалентными при всей своей противоположности. Они просто описывают свой предмет с противоположных сторон, и поэтому в одном случае говорится об отношении между свойствами, а в другом - между элементами (объектами) и множествами. Например, высказывание "Если х - человек, то всякий х  смертен" приписывает объектам х как какой-то формуле свойств, обозначаемых словом  "человек",  - свойства смертности. Во втором случае подход противоположен: берутся не свойства, а элементы, обладающие соответствующим свойством. Переменная х, которая употребляется в обоих выражениях, определена на универсальном классе I, и поэтому в зависимости от вида высказывания она либо явно представляет элемент множества, либо неявно - свойство.

    Это, собственно, свойство всякого рефлекса, и то, что называют разумом, есть не что иное, как словесное выражение того, что делает механизм рефлекса: в той мере, в какой рефлекс подкрепляется, в этой мере формируется ожидание подкрепления. И когда число подкреплений "стремится к бесконечности", оставаясь, тем не менее, конечным, осуществляется оборачивание рефлекса, при котором возникает уже обратное отношение: если актуализируется потребность, соответствующая безусловному рефлексу, а в общем случае подкреплению рефлекса, то возникает образ условия, при котором подкрепление имеет место, и на этой основе формируется  целесообразное поведение, которое на уровне сознания рассматривают как разумное, тогда как разумного  в этом поведении всего-то и есть, что  хорошо закрепленный рефлекс. Другими словами, если есть условный рефлекс урф, который состоит из условия безусловного рефлекса - условного раздражителя урд и безусловного рефлекса брф, то есть урф=урд→брф, а безусловный рефлекс , будучи актуализирован, психологически проявляет себя в форме потребности птр в предмете потребления, который состоит из безусловного раздражителя брд, представляющего собой признак предмета потребления, и подкрепления бпд, которое представляет собой свойство предмета потребления, удовлетворяющего потребности.  Получаем два зеркальных, дополняющих друг друга процесса: 1. процесс формирования рефлекса и 2. процесс функционирования сформированного рефлекса. 1. урд→(птр→брф) = урд→(брд→(бпд=уптр))), где уптр - удовлетвроение (снятие) потребности.
    Когда мы говорим о рефлексе, то мы в нём должны выделять объекты двух родов: реальные раздражители и коды этих раздражителей. Коды раздражителей удобно обозначать знаком минус, объекты - знаком плюс или просто без знака. Удобней, конечно, было бы приписывать эти знаки в виде степени (верхнего индекса) при выражении, но это усложняет печать, и поэтому от этого удобства мы откажемся. Тогда формирование условного рефлекса может быть описано т.о.: Пусть есть безусловный рефлекс, актуализированный потребностью -птр→ -брф =-птр→(-брд→-бпд). Тогда, если -птр и  брд, то брд + -брд → -бпд и параллельно брд влечет бпд. Отсюда  бпд + -бпд = уптр. Пусть теперь совместно с брд начинает подаваться урд. В результате этого между урд и брф возникнет отражение объективной связи между -урд и -брф:  -урд→(-птр → -брф). В результате подкреплений повторяющегося опыта опосредованная связь -урд→-брд, -брд→ -бпд сокращается за счет устранения среднего члена -брд. Получаем условный рефлекс -урф =-урд →-бпд. Потребность птр и подкрепление пд есть две противоположные стороны одного и того же. Поэтому можем записать: птр = -пд (как и, соответственно, пд = -птр). Подкрепление  снимает, уничтожает потребность,  а потребность означает отсутствие подкрепления.
    2. В той мере, в какой -урф образован, в этой мере отношения в рефлексе переворачиваются и получаем схему:  -урф = -пд → -урд.   -пд и -урд - это начальная и конечная точки рефлекторной схемы, между которыми может находиться сколько угодно промежуточных элементов. Она начинается  с точки потребности и заканчивается раздражителем, определяющем путь от потребности к точке, с которой начинается процесс её удовлетворения. Целью является удовлетворение потребности, средством - раздражитель, запускающий всю рефлекторную программу. Когда эта цепочка реализована, идеальный акт цепочки заканчивается, отношения переворачиваются и начинается реальный процесс поиска урд как "спускового крючка" для разворачивания процесса удовлетворения потребности.

   3.  При рассмотрении отношений между множествами, представленными рис. 1.5,   А и В мы должны рассматривать в качестве двух противоположных отношений: сначала В рассматривается по отношению к А, а затем А по отношению к В, то есть сначала В выступает в качестве определения, то есть свойства, или предиката А, а затем А рассматриваем в качестве свойства В.
    Получаем в полной записи: х ϵ I : ˄x(xϵA→xϵB). Для того, чтобы это высказывание было правильно понято , оно должно быть переведено с языка множеств  на язык свойств: "если х обладает свойством I, то  любой х, обладающий свойством А, обладает свойством В", а отсюда: "свойство А влечет свойство В"  (А→В) ,  а это значит, что А суть В, или, в универсальной форме, в которой объекты присутствуют в снятом виде, "Все А суть В". А это значит, что если истинно А, то истинным будет В. 
    Нетрудно видеть, что если нам дано высказывание "Все А суть В", то, развернув сокращенную форму, получим: х ϵ I : ˄x(xϵA→xϵB), то есть импликацию. Поэтому можем утверждать, что связка "суть" есть не что иное, как сокращенная, или превращенная форма импликации.
    Что мы наблюдаем в форме выражения х ϵ I : ˄x(xϵA→xϵB)? - то,  что, антецедент импликации суживает универсальное множество I до класса А, и поэтому предикат В приписывается элементам класса А.
    Высказывание "Все А суть В" истинно.  Однако допустим, что  оно ложно. Если так, то истинным должно быть, во всяком случае, минимальное высказывание:  "Некоторые А суть не-В" (˅х(хϵА→хϵ-В),  Но элементов х со свойствами А и -В  не существует, следовательно, высказывание "Некоторые А суть не-В" ложно. Если мы обратимся к таблице наборов истинностных значений высказываний А и В,  то получим  А=и, В=и →АVВ=и  и А=и, В=л → АVВ =л, где знак "V"- знак материальной импликации. Знак "→" употребляется в  тексте  как  метазнак импликации ( в качестве термина "влечет") и как знак импликации всюду, где  знаки "→" и "V" не встречаются в одном выражении.
    Мы рассмотрели условие, когда в качестве субъекта берется А. Теперь нам необходимо рассмотреть условие, когда  в качестве субъекта берется не-А. Из рис.1.5 следует, что если не-А, то возможно В и  возможно не-В, то есть "некоторые не-А суть В"= и, и "некоторые не-А суть не-В"=и. Т.о., нами получена неопределенность. Следует иметь ввиду, что, говоря "все", "некоторые" мы имеем дело с мышлением, с понятиями. На практике, в чувственной сфере мы можем иметь дело только с конкретными, единичными объектами. И поэтому эти две сферы - сфера мышления и сфера чувственности - разделены между собой, а это значит, что высказывания А суть В в сфере чувственности применяются к отдельным объектам, поскольку чувственность имеет дело с объектами, а не с понятиями. Тогда как мышление имеет дело с идеями, которые выражаются в форме понятий. В мышлении понятие положено, объект снят. В чувственной сфере объект положен, понятие снято (то, что Гегель называет "светится" в объекте).  
      Может быть, противоположность между "чистым" мышлением и "чистой" чувственно-практической деятельностью можно смягчить посредством введения понятий мышления в понятиях и чувственного мышления. Разумеется, иная терминология ничего не меняет в сути, изменяя лищь акценты. Тогда мышление в понятиях будет характеризоваться тенденцией к универсализации последних, что выражается в примении квантора всеобщности "все". Мышление в чувствах характеризуется тенденцией к индивидуализации, то есть тенденцией к единичным высказываниям. В этом отношении квантор существования "некоторые" представляет собой промежуточные формы  между мышлением в понятиях и чувствах.  Как раз эта неопределенность форм и порождает неопределенность, которая характеризует импликацию для не-А. Т.о. мы получаем следующие две строки для возможных наборов истинностных значений высказываний:  так как х ϵ I : ˅x(xϵA→xϵB) = и   и  х ϵ I : ˅x(xϵA→xϵ -B)=и, то получаем:  А=л, В=и → АVВ=и; А=л, В=л  → АVВ=и. Т.о., мы получили таблицу истинности для .импликации, и мы можем сказать, что ею выражается отношение между множествами, представленными рис.1.5 . И можем сделать обобщение: всюду, где для одного значения антецедента импликации имеют место истинные положительное и отрицательное утверждения относительно консеквента,  там относительно антецедента, выступающего в роли субъекта, применяется квантор существования ("некоторые"), которым субъект в качестве представителя множества делит последнее дихотомически на две части, то есть на часть, обладающую, и часть, не обладающую свойством, представленным консеквентом.
   

    4. Выбор, какое из двух множеств при рассмотрении отношений между ними берется  в качестве субъекта, и какое - в качестве предиката, отражается в наборах истинностных значений операторов логики высказываний т.о., что истинностные значения переменных рассматриваются в определенном направлении, а именно, слева направо, и левая переменная представляет субъект, правая - предикат. Конечно, ничто не мешает нам произвести опыт рассмотрения порядка переменных справа налево, рассматривая тем самым в качестве субъекта правую переменную, а в качестве предиката - левую
    Берем тот же рис. 1.5.  х =I.   хϵВ→хϵА˅хϵ -А. Так как х не может одновременно обладать свойствами А и не-А,  то  ˅х(хϵВ→хϵА)&˅х(xϵB→xϵ -A). [Некоторые В суть А и Некоторые В суть не-А] А это значит, что если В = и, то из него могут  быть выведены как А, так и не-А. Это соответствует 1 и 3 строкам наборов истинностных значений А и В.  Пусть хϵ -В. Тогда ˄х(хϵ -В → хϵ -А) = и,  ˅х(хϵ -В → хϵА)= л.  Ложное выражение принадлежит второй строке, истинное - четвертой.  Т.о., мы снова получили истинностную таблицу  илии, хотя  при этом нами взято обратное отношение между двумя множествами.  Но ведь нами рассматриваться переменные должны слева направо, и, значит, переменные А и В должны поменяться местами.  Если мы поступим таким образом, то получим, что строки 1=и, 2=и, 3=л, 4=и, т.е. иили, что соответствует обратной импликации.  
 

    5.Снова возьмём рис.1.5, но представим теперь, что не А включено в В, а, напротив, В включено в А. Этому отношению соответствует рис.1.6. В качестве субъекта рассмотрения возьмём А. Тогда получим объекты х со свойствами  А,В   А, -В,  -А,-В.  1. х ϵ I : ˅x(xϵA→xϵB)&˅x(xϵA→xϵ -B)=и. Это - сложное высказывание, части которого соответствуют двум первым строкам набора истинностных значений переменных А, В.  2.  ˄х( хϵ -А→хϵ -В)=и (читается : для всякого х, если х является элементом множества  не-А, то х является элементом множества не-В). ˅х(хϵ -А→ хϵ В)= л. Здесь  употреблен квантор существования, потому что если не существует элемента х со свойством В, то тем  самым ни один элемент  х не обладает свойством В.
    Третья строка набора истинностных значений  переменных А, В  порождает ложную импликацию,  четвертая -  истинную. Получили набор иили, что в таблице соответствует обратной импликации, которая читается: А, если В.

    Замечание. Полезно воспользоваться понятиями "пустое множество", "непустое множество". Обозначим пустое множество нолем (0), не пустое - единицей (1).  Пары вида А, В и т.п. представляют  пересечение множеств.  Пересечение множество обычно обозначается знаком ∩ либо просто обозначения множеств записываются последовательно.  В тексте между пересекающимися множествами ставится запятая с целью сделать более четкими обозначения дополнений к множествам. Знаки отношения между множествами, такими, как включения, пересечения, объединения и т.п. множеств обладают двумя смыслами и, соответственно, употребляются в двух смыслах, хотя явно это и не эксплицируется: один смысл - простое описание отношений между множествами, что представляет собой информацию, и второй смысл - в качестве операции.  В этом последнем смысле употребление знака включения множества в множество  в качестве своего результата дает новое множество, такое, объем которого равен включаемому множеству, но к свойствам его элементов добавляется свойство, представленное множеством, в которое осуществлено включение. В этом случае мы имеем дело с тем, что положено, и тем, что предположено, снято, на что ясное указание отсутствует. Тогда, тогда, имея ввиду сказанное,  АTI=А  для отношения между множествами ВT(АTI) получим: А,В=А,-В=-А,-В=1,  -А,В=0. Благодаря введению понятий пустого и непустого множества  получена полная информация об отношении  множеств А и В относительно совместимых и не совместимых свойств элементов х.
    Теперь спроецируем обозначения  множеств на высказывания о них, которые обозначим теми же буквами. Получим, что высказывания А и В принимают значение истина для наборов истинностных значений переменных высказываний А,В  ии, ил, лл, и значение ложь для набора ли, и т.о. получим  последовательность истинностных значений для строк 1-4 наборов истинностных значений переменных (введем, может быть, в дальнейшем пригодится, сокращение для этого выражения НИЗП или низп): иили. Находим по  истинностной таблице операторов, какому оператору данный набор принадлежит. Это - обратная импликация.

    6. хА выделяет в множестве I подмножество А. хВ выделяет в множестве I подмножество В. Имликация хА→хВ выделяет в множестве В подмножество А. Обратная импликация хА←хВ  равна импликации хВ→хА, поэтому она выделяет в множестве А подмножество элементов В . В таком случае, если истинны высказывания ˄х(хϵА→хϵВ) и ˄х(хϵА←хϵВ), то это возможно лишь при условии, что множества А и В равны,  то есть хА истинно тогда и только тогда, когда хВ, то есть ˄х(хϵА≡хϵВ), что соответствует таблице истинностных  значений эквивалентности:  илли. Действительно, если мы конъюнктивно объединим  прямую и обратную импликации, то первая и четвертая строки набора истинностных значений А и В дадут истину, а вторая и третья - ложь, так как конъюнкция истинна при условии истинности входящих в неё выражений, а у нас 1, 4 строки есть ии, а вторая и третья, соответственно, ил, ли.
   Отношение эквивалентности делит универсальный класс I на две части: на множество элементов А,В и множество элементов -А,-В

     Идя по какому-то пути, мы не замечаем, как переходим на другой путь. Мы уже перешли на другой путь, а думаем, что идем по старому пути. И,  в конечном счете,  приходим к тупику. Раздел 6 уже неявно представляет переключение на другой путь. Однако осознания этого нет. Мы, во всяком случае, я,  этого не понял, и пытался идти по избранному пути.  Статья вторая представляет эту печальную картину вплоть до того момента, когда возникает "озарение", то есть осознание возможности другого пути, который реализуется статьёй третьей.

   25.06.11 г.