Добрый день, уважаемые подписчики!

Математика покера

Для того, чтобы стать по настоящему хорошим игроком, безусловно, важно, чтобы игрок в любой ситуации имел четкое представление о том, каковы его шансы на выигрыш.
Естественно, по ходу игры даже у самого выдающегося чемпиона нет возможности предсказать, какой будет следующая карта, вернее будет ли следующая карта выгодной для него или нет. Для этого нужно было бы быть провидцем. Однако для того, чтобы предсказать, с какой вероятностью может прийти карта, которая поможет в данной ситуации, необходимо всего лишь уметь считать. Если мы можем это подсчитать, то мы находимся всего в одном шаге от решения вопроса о том, что в данной ситуации, с математической точки зрения, выгодно ли нам держать ставку, поднимать ее или же делать этого не стоит. Между игроком, который обычно выигрывает по результатам продолжительного периода времени, и игроком, который обычно по ним проигрывает, как правило, всего одно различие: тогда, когда первый просчитывает и четко представляет себе свои шансы на выирыш, тогда второй играет, полагаясь на свою интуицию или в худшем случае, подчиняясь обуревающим его настроениям. В итоге продолжительного игрового периода, несомненно, торжествует следующая математическая закономерность:

Побеждать в азартных играх на протяжении продолжительного промежутка времени, возможно в том случае, если вы вкладываете деньги в такую игру, в которой ожидаемый выигрыш, помноженный на ваш выигрышный шанс, выше чем поставленная на кон сумма. Или другими словами: тогда, когда ожидаемый результат является положительным.

Для того, чтобы лучше понять механизм подсчета ожидаемого выигрыша, и его важность в при игре в покер, рассмотрим для начала простой пример, который даже не имеет отношения к картам.
Представим себе, что мы играем в игральные кости. Я бросаю шестигранную, игральную кость и, если выпадает число 1, 2, 3, 4 или 5, я плачу вам 6 $, но если выпадет число 6, то вы платите мне 36 $. Каковы в данной ситуации мои шансы на выигрыш? В процессе бросания кубика с одинаковой вероятностью может выпасть любое число. То есть, ожидаемо, что выпадет 1/6 часть 1, 2, ... 6. Рассмотрим шансы в каждом случае:
В среднем из шести попыток один раз выпадет 1. В этом случае я проигрываю 6 $
В среднем из шести попыток один раз выпадет 2. В этом случае я проигрываю 6 $
В среднем из шести попыток один раз выпадет 3. В этом случае я проигрываю 6 $
В среднем из шести попыток один раз выпадет 4. В этом случае я проигрываю 6 $
В среднем из шести попыток один раз выпадет 5. В этом случае я проигрываю 6 $
В среднем из шести попыток один раз выпадет 6. В этом случае я выигрываю 36 $

За шесть попыток я проиграл 30$, и выиграл 36$, значит, в общей сложности 6$ я выиграл. Это означает, что в среднем я зарабатываю 1$ за каждую попытку. Естественно, что это только среднеарифметическое значение, которое действительно только на протяжении продолжительной игры, за короткий промежуток игры может случиться, что из шести попыток ни в одной не выпадет шестерка, или же, как раз наоборот, число шесть выпадет несколько раз. Однако после нескольких тысяч попыток мой выигрыш будет очень точно приближаться к 1$/попытка

Значит, ожидаемый результат в этой игре является положительный с моей точки зрения. Если при выпадении шестерки, выигрыш составлял бы только 30 $, тогда за шесть попыток я, в среднем 5 раз проиграл бы по 6$ и один раз выигрывал бы 30$. То есть, ожидаемый результат шести попыток был бы нулевым, что означало бы, что за продолжительный промежуток игрового времени не выиграл бы ни один из нас. А если бы за выпадение шестерки платилось бы меньше, чем 30$, то для меня игра, начиная с этого момента, была бы уже убыточной.

При игре в покер тоже нужно просчитывать подобные вещи, только здесь ситуация немного сложнее. Первая трудность начинается с того, что в нашем распоряжении есть всего несколько секунд, в течении которых мы должны подсчитать ожидаемые результаты. В связи с тем, что за этот короткий промежуток времени невозможно произвести точные подсчеты, необходимо найти какое то приблизительное решение. Большая часть профессиональных игроков в покер оперирует „out”-ами. То есть, в данной ситуации подсчитывает те карты (карточные комбинации), при наличии которых они могли бы победить.
Рассмотрим конкретный пример!
Мы начали со следующим hand-ом: 9 ♠  A ♠

Флоп:

7 ♠ 8 ♣ 10 ♠

Интересная ситуация. По сути дела у нас ничего нет, зато есть возможность, что будет стрит или флеш. Предположим, что кто-то делает ставку, и мы должны решить держим ли мы ставку и стоит ли ставить одну единицу денег на кон. В подобном случае необходимо подсчитать, сколько в колоде таких карт, с которыми мы смогли бы выиграть эту партию, и как количество данных карт относится к сумме возможного выигрыша.
Мы должны исходить из того, что в данный момент, по всей вероятности, наши карты не являются самыми сильными, и мы сможем выиграть только тогда, если на turn-е или river-е наши карты улучшатся. Посмотрим, как они могут улучшиться:
∙ Если, к примеру, придет пика, у нас будет nut flush. Две пики у нас на руках, две пики - на столе, а среди невскрытых карт находятся еще 9 возможных пиковых карт. Это еще 9 out-ов.
∙ Если приходит любая 6-ка или любой J, тогда мы будем иметь стрит. Четыре шестерки находятся в колоде + четыре J, однако пики среди них мы уже посчитали, таким образом, это составит 6 out-ов.
∙ И наконец есть небольшой шанс на выигрыш, если выпадет туз. Это новые 3 out-а.
Итак, всего это 18.
Рассмотрим теперь препятствия!
∙ Если соберется flush, тогда мы, наверняка, в выигрыше, однако в этом случае придется волноваться из-за того, что на столе какая-нибудь карта повторится. (Только в этом случае может оказаться у кого-то full house или каре.)
∙ Если у нас собрался стрит, то и тогда есть небольшая вероятность того, что у кого то будет более старший стрит. (с картами 9J или 9Q). Возможность этого немного больше, однако все еще незначительная.
∙ Если выпадет туз, тогда, к сожалению, нужно считаться с тем обстоятельством, что у кого-то может быть другой туз с более старшим киккером, а то и с парой (однако, возможно, что у кого то уже сейчас собрался set.). Это, по моему мнению, составит больше половины трех out-ов.
В общей сложности мы можем рассматривать так, что из 18 благоприятных для нас концов в двух случаях у кого-то будет лучше карта, чем у нас. Итого, общее количество благоприятных для нас выходов 16. Это все еще очень хорошо, обычно ситуация складывается намного хуже. (Это только приблизительное рассмотрение ситуации. Если кому-то захочется, то можно подсчитать точные значения шансов, однако для этого просто нет необходимости. Эти приблизительные значения функционируют довольно надежно.)
16 out-ов означают, что из 47-ми неизвестных нам карт (в колоде 52 листа, однако 2 карты у нас на руках, а 3 на столе) 16 карт помогают нам, а 31 нет. Это составляет приблизительно 34% вероятности того, что со следующей картой мы победим. Если нам не повезет и не придет ни один из наших 16-ти out-ов на turn-е, тогда на river-е все еще может выпасть благоприятная для нас карта. (Там уже 16 благоприятных карт должна прийти из 46-ти листов, вероятность этого уже несколько выше - примерно 35%.) Вероятность того, что ни turn-е, ни на river-е не придет нужная нам карта: (1-0,34)*(1-0,35), то есть 0,66*0,65 = 0,43. Итак, подытожив, вероятность того, что наша карта не придет, будет составлять 43%, а оставшиеся 57% означают, что мы должны победить. Это такое хорошее соотношение, что мы могли бы даже поднять ставку. (Ведь больше чем в половине случаев мы должны победить).
(Если не вполне понятны были расчеты, приведенные выше, то мы рассчитали количество благоприятных концовок таким образом, что сначала высчитали каковы шансы того, что в обоих случаях придет неблагоприятная для нас карта. Эта вероятность составила 43%. Понятно, что, если вероятность того, что благоприятная карта не выпадет равна 43%, то оставшиеся 57% составят вероятность того, что хотя бы одна благоприятная карта придет. Это и будет нашим шансом на победу, выраженным в процентах.)
А теперь рассмотрим другой пример, с раскладом для нас немного похуже. Карты на руках те же самые, как и в предыдущем примере, однако флоп пусть будет следующий:

7 ♥ 9 ♣ К ♦

У нас пара, однако, почти наверняка, что по крайней мере у одного игрока на руках есть К. Каковы наши шансы на выигрыш в этом случае?
∙ Придет еще одна девятка. Это 2 out-а.
∙ Придет A. Новые 3 out-а.
В общей сложности это составит 5 out-ов, хотя имеющиеся на руках у противников (77, 99, KK, AA), или карты с перспективой образования стрита могут оказаться неприятным сюрпризом. Можно рассчитать с примерной точностью, что приблизительно в 10% случаев, мы проиграем и при таком раскладе, когда придет один из наших пяти out-ов. Значит остаются 4,5 out-a из 47-ми карт. Немного упрощая, можно сказать, что в одном случае из десяти мы будем в выигрыше. Стоит ли в этом случае ставить нашу ставку?
На этот вопрос уже не так просто ответить! В этой ситуации уже нужно точно подсчитать наши шансы. Выше мы сделали заключение, что играть стоит тогда, если ожидаемый результат является положительным, то есть, если шансы на победу, помноженные на ожидаемый выигрыш, больше, чем ставка, которую нужно сделать для продолжения игры. Шансы на выигрыш мы уже определили, они равны приблизительно 10%. Ставка, которую нужно сделать - 1 денежная единица. Задача наша проста - просчитаем, сколько мы можем выиграть!
Предположим, что 4 игрока посмотрели флоп. В поте находятся 4 $. Второй игрок открыл на флопе, третий бросил карты, теперь наша очередь. В поте в данный момент 5 $, если мы и следующий за нами игрок поставим по одному доллару, в поте и тогда будет всего 7 $. (Больше того из этой суммы будет высчитан еще и rake!) Мы выигрываем в 10% случаев 7$, в 90% случаев будем проигрывать по 1$. Другими словами: после 10-ти раздач мы в среднем проиграем 2$, в этой ситуации ожидаемый «выигрыш» отрицательный -0.2$! Итак, в этой ситуации мы должны бросить карты, в перспективе нам не выгодно держать ставку. И мы еще не говорили о том, каким будет результат, если сидящий после нас игрок поднимет ставку, а значит и ставка для нас поднимется в этом кругу торгов вдвойне!

Рассмотрим ту же самую ситуацию в префлопе, когда четыре игрока и blind-ы останутся в игре! Во флопе начинает Small Blind, все поддерживают ставку, а мы находимся в позиции button. В поте теперь находится 11 $, если мы присоединимся, тогда будет 12 $. Из сделанных ранее расчетов следует, что из десяти случаев мы один раз выиграем. Значит, ожидаемый выигрыш здесь будет равняться 1,2$, для чего нам необходимо заплатить «только» 1$, то есть в среднем мы будем выигрывать по 0.2$, если поддержим ставку. Из этого должен быть сделан вывод, что мы должны поддержать ставку в данном случае, ведь у нас есть подходящие шансы на выигрыш.

А что будет тогда, если не придет на turn-е подходящая карта? Проблема эта решается очень просто: после торна нужно посчитать наши шансы заново и решить, исходя из полученных результатов. Так как в игре Fix Limit после Turn-а необходимо ставить ставку в 2 денежные единицы, обычно в такой ситуации, если не приходит ничего для нас хорошего, целесообразно бросить карты. Но самое надежное, конечно, снова посчитать ожидаемый результат. В этой ситуации против нас уже имеется много факторов, которые не стоит забывать при подсчете:
∙ В turn-е ставка, которую необходимо заплатить, стоит уже 2 денежные единицы.
∙ Несколько игроков выйдут из игры, что снижает величину суммы денег, имеющихся в поте.
∙ Могут появиться карты, которые снижают наши шансы на победу. (Напр. две карты одинаковой ценности на столе или 3 карты одной масти, возможность образования стрита у кого-то и т.д.)
Конечно, если упомянутые угрозы не появятся или, если никто не поддерживает ставку, тогда возможно, что ожидаемый результат будет положительным и в turn-е и тогда нам стоит идти до конца. Иной раз может случиться, что мы сможем победить и с парой девяток, однако рассчитывать на это наперед не стоит.

Давайте рассмотрим еще один случай:
Ситуация почти такая же, как и в предыдущем примере, только теперь на столе лежит одна пика! То есть, если в turn-е и river-е выпадет пиковая карта, то благодаря так называемому backdoor flush-у мы можем выиграть. Насколько улучшает это наши шансы? На turn-е может прийти одна из десяти пиковых карт, вероятность этого 10/47. На river-е среди оставшихся девяти пик одна должна выпасть из 46 невскрытых. Итак, в итоге: (10/47)*(9/46) = 0,04. То есть 4%, что составит почти 2 out-а. Я для простоты обычно считаю это двумя out-ами, потому что, если действительно лягут две карты одной масти, по одной на торне и на ривере, противники все равно не поверят, что мы ждем именно этого, и легко будут держать наш подъем ставки или даже сами будут поднимать. Другими словами, ожидаемый результат основательно возрастет благодаря дополнительным ставкам, поставленным на ривере.
Конечно, если вы принимаете во внимание и эту возможность, тогда, если на торне не придет пика, то будет еще более сильное падение ожидаемого результата, поэтому почти наверняка, нам придется бросить карты, если не выпадут и другие благоприятные нам карты.

На первый взгляд эти подсчеты выглядят довольно сложными, не так ли? Однако никто и не уверял вас, что покер простая игра. Чем больше и больше партий вы играете, тем лучше будете привыкать к подсчету ваших шансов на выигрыш. Если же вы чувствуете себя достаточно пунктуальным, то стоит составить свою личную таблицу, в которой вы заранее подсчитаете, при каких комбинациях, при скольких противниках и при наличии скольких out-ов стоит играть дальше. Это как в спорте. Там тоже проводятся не только официальные соревнования, время от времени необходимо заниматься и тренировками.

Позднее, в главе, посвященной флопу, я приведу несколько «упрощенных» принципов на этот счет….

И в конце главы, осмысливая описанное выше, сформулируем основной принцип, приведенный в стартовой стратегии, немного основательней: комбинации из старших карт эффективны против малого количества противников, а «тяговые» карты тогда, когда противников много. Это опять же такая особенность покера, про которую начинающие игроки интуитивно думают как раз наоборот. Общее ошибочное заблуждение состоит в том, что считается, что чем больше игроков присоединится к игре на preflop-е, тем сильнее нужна карта для того, чтобы было выгодно оставаться в игре.
∙ В стартовой стратегии комбинации из старших карт потому такие сильные, что во многих партиях они выигрывают сами по себе или же, благодаря одной единственной, пришедшей, нужной карте могут оставаться выигрышными. Зато когда все больше и больше противников присоединяются к игре, становится все более вероятным, что у кого-то окажется две пары, тройка или даже стрит. Таким образом, начальное преимущество старших карт состоящее в том, что старшая пара + старший киккер смогут в дальнейшем победить, с увеличением числа игроков почти полностью исчезает. (Естественно и тогда, возможно, наши карты будут самыми сильными, начальными картами в партии, однако они не будут намного сильнее, чем карты остальных игроков. Преимущество может настолько снизиться, что нам даже не будет выгодно поднимать ставку.)
∙ Мелкие suited connectorok (соседние, одномастные карты, напр. ª7ª8) такие карты, от которых не особенно стоит ожидать, что уже на флопе они превращаются в monster hand (то есть в по-настоящему сильный hand). Однако из этих карт могут составиться прекрасные стриты или флеши, если, имея их на руках, дождаться ривера. Однако при этом не стоит забывать о том, что было написано выше, имея «тяговые» - «авось подойдет» карты, только тогда стоит продолжать игру, если в поте собралось много денег и благодаря этому ожидаемый результат положительный. Итак, выигрышные шансы наших карт не будут выше оттого, что играют много игроков, зато сумма пота от этого вырастет настолько, что ожидаемый выигрыш качнется в сторону положительного. Даже в случае inside straigth (дырявого стрита)! Это как раз и является причиной того, что более «слабые» тяговые карты лучше против большого числа противников. (Конечно, эти карты и дальше не будут лучше, чем пара AA. Однако, благодаря тому, что еще несколько игроков будут участвовать в партии эти карты усилятся с fold до call.)
Есть несколько hand-ов, которые объединяют в себе выгоды обоих категорий карт, это такие карты, имея которые не нужно волноваться из-за количества «лимпер»-игроков, а можно спокойно поднимать ставку: AK, AQ, KQ и ,наверно, еще AJ и QJ.