(Продолжение главы "Прикладная математическая статистика")

Основные теоретические результаты статистики объектов нечисловой природы содержатся в работах:

Эти работы несут в себе большие потенциальные возможности применения в классических областях прикладной математической статистики. Речь идет прежде всего о непараметрических постановках, хотя в ряде случаев фундаментальные результаты статистики объектов нечисловой природы позволяют получить полезные следствия и в задачах параметрической статистики.

Так, первая из них позволяет единообразным образом изучить поведение оценок минимального контраста, максимального правдоподобия, робастных оценок различных видов. В работе:

эти результаты применяются для изучения асимптотики матрицы коэффициентов в методе главных компонент и для оценки размерности данных в задачах многомерного шкалирования.

Вторая из названных статей (No.171) предлагает, в частности, новые виды непараметрических оценок многомерных плотностей распределения вероятностей и устанавливает их свойства. Эти оценки используют в постановках непараметрической регрессии и в задачах классификации (как в дискриминантном анализе, так и в кластерном).

Об этой тематике см. ниже, а также раздел "Статистика объектов нечисловой природы".

С точки зрения статистики нечисловых данных изучено асимптотическое поведение широкого класса непараметрических статистик, в который входят статистики типа омега-квадрат и типа Колмогорова-Смирнова, доказаны предельные теоремы, разработан метод аппроксимации ступенчатыми функциями, с его помощью получен ряд необходимых и достаточных условий:

По заказу ВНИИ резиновой промышленности (позже ВНИИ эластомерных материалов и изделий) был разработан метод непараметрической интервальной оценки коэффициента вариации:

Дальнейшее развитие методов непараметрического оценивания характеристик распределения осуществлено позже:

Эти методы включены в учебники по эконометрике и прикладной статистике.

Опубликован ряд статей общего типа, в которых обсуждается, в частности, предпочтительность непараметрических статистических методов перед параметрическими:

Методы оценивания параметров трехпараметрического гамма-распределения были разработаны в процессе подготовки нормативно-технического документа:

Я разработал методы точечного и интервального оценивания и написал весь текст. Н.Г. Миронова просчитала примеры. Д.т.н. М.Б. Невельсон подготовил исходный обзор, посвященный оценкам максимального правдоподобия, который позже не понадобился. Остальные лица, указанные в качестве разработчиков, не внесли какого-либо творческого вклада в создание этой небольшой монографии. Бендерский А.М. и Богатырев А.А. были приписаны как вышестоящие администраторы, а Филиппов Ю.Д. и Фомина Л.А. - просто для поддержания имиджа сотрудников того сектора ВНИИ стандартизации Госстандарта СССР, где я тогда работал. Кто-то тогда удивлялся, что Бендерский А.М. не поставил свою фамилию первой. Это говорит как о нравах ВНИИС, так и о том, что в этом гадюшнике Бендерский А.М. был не самым худшим экземпляром.

Несмотря на свой формальный статус, фактически ГОСТ 11.011-83 был и остается научной монографии, в которую был включен целый спектр новых разработок. Прежде всего надо отметить создание основных идей статистики интервальных данных, позволивших разработать оригинальный подход к выбору метода оценивания (см. об этом в разделе "Статистика интервальных данных").

Были получены новые результаты относительно класса оценок параметров распределения, названных нами одношаговыми оценками. Они были предложены вместо оценок максимального правдоподобия, для нахождения которых требовалось численно решать систему уравнений максимального правдоподобия, а пригодные для стандартизации научно-обоснованные методы решения этой системы отсутствовали (и отсутствуют до сих пор).

Можно отметить также разработку оригинальных таблиц и асимптотических формул, применяемых вне границ этих таблиц.

Было бы целесообразно издать на основе ГОСТ 11.011-83 и дальнейших публикаций самостоятельную монографию, посвященную оцениванию параметров и проверке гипотез для гамма-распределения.

Разработанный в ГОСТ 11.011-83 метод одношаговых оценок (вместе с новыми научными результатами относительно асимптотического поведения этих оценок) был представлен научной общественности в докладе:

Основные идеи метода одношаговых оценок изложены в статьях:

Основным идеям статистики интервальных данных применительно к оцениванию параметров гамма-распределения посвящена первая чисто научная публикация по статистике интервальных данных:

Дальнейшее развитие работ по статистике интервальных данных описано в разделе "Статистика интервальных данных".

Применительно именно к гамма-распределению метод одношаговых оценок разобран в статье:

Цикл работ по оцениванию параметров гамма-распределения завершен статьей:

В настоящее время эти научные результаты включаем в учебную литературу, например:

В связи с распространенными утверждениями о меньшей трудоемкости графических методов оценки параметров вероятностных распределений по сравнению с аналитическими методами было проведено сравнение этих двух групп методов:

Группой пермских математиков в сотрудничестве с нами был разработан проект ГОСТ по оценке параметров гипергеометрического и отрицательного гипергеометрического распределений:

Проект был утвержден в качестве государственного стандарта и передан для издания. Однако набор был рассыпан из-за отмены системы государственных стандартов по прикладной статистике. В этой вредительской акции виновны А.М. Бендерский и А.А. Богатырев. Целесообразно опубликовать эту работу, выполненную на высоком научном уровне.

Общая формулировка метода моментов проверки гипотезы согласия эмпирического распределения с заданным параметрическим семейством предложена и изучена в статье:

Метод был применен для проверки согласия с гамма-распределением.

Классические методы отбраковки выбросов (резко выделяющихся наблюдений) исходят из предположений о принадлежности распределений элементов выборки к тем или иным параметрическим семействам. Отсутствие научного обоснования таких методов вытекает из их крайней неустойчивости по отношению к малым отклонениям функции распределения элементов выборки от распределения из параметрического семейства:

В многомерном статистическом анализе элемент выборки - вектор. Выделяют регрессионный анализ (методы восстановления зависимости), теорию классификации (дискриминантный анализ и кластер-анализ), методы снижения размерности (в том числе метод главных компонент и методы снижения размерности). Особняком стоит теория индексов. Однако перечисленные области, как показано ниже, переплетаются. Например, проблема оценки размерности модели и информативного подмножества признаков актуальна для каждой из трех выделенных областей. Большинство задач прикладной статистики допускают оптимизационную постановку, а потому предельное поведение оценок параметров таких задач может быть установлено с помощью общих результатов об асимптотическом поведении решений экстремальных статистических задач. Поэтому внутреннее деление в данном подразделе условно.

В задачах регрессионного или дискриминантного анализа активно продолжает исследоваться проблема оценивания по статистическим данным такого объекта нечисловой природы, как информативное подмножество признаков. Часто его находят в результате решения соответствующей оптимизационной задачи, и поведение оценок информативного подмножества признаков может быть установлено с помощью результатов, полученных в моей работе об асимптотическом поведении решений экстремальных статистических задач:

Если возможные подмножества признаков образуют расширяющееся семейство, например, оценивается степень полинома, то естественно ввести термин "размерность модели" (используется также в многомерном шкалировании). Нам принадлежит ряд работ по оцениванию размерности модели.

Первая такая работа была выполнена мною во время командировки во Францию в 1976 г. В ней была изучена одна оценка размерности модели в регрессии, например, степени полинома в предположении, что зависимость описывается полиномом. Эта оценка была известна в литературе, но позже ее стали ошибочно приписывать мне, в то время как я лишь изучил ее свойства, в частности, установил, что она не является состоятельной, и нашел ее предельное геометрическое распределение:

Другие, уже состоятельные оценки размерности регрессионной модели были предложены и изучены в статье:

Этот цикл завершила содержащая ряд уточнений работа:

Крайняя публикация на эту тему включает в себя обсуждение результатов изучения скорости сходимости в полученных мною предельных теоремах методом Монте-Карло:

Аналогичные по методологии оценки размерности модели в задаче расщепления смесей (часть теории классификации) рассмотрены в статье:

Оценки размерности модели в многомерном шкалировании изучаются в работах:

В этих же работах установлено предельное поведение характеристик метода главных компонент (с помощью асимптотической теории поведения решений экстремальных статистических задач).

С позиций статистики объектов нечисловой природы рассматривались классические постановки в работе:

В частности, установлена возможность рассмотрения в рамках одной схемы регрессионного и дискриминантного анализа. Поставлены и изучены задачи параметрической аппроксимации и непараметрической регрессии (на основе применения непараметрических оценок совместной плотности) в пространствах общей природы.

На основе асимптотической теории поведения решений экстремальных статистических задач рассмотрены методы оценивания объектов нечисловой природы - наиболее информативных множеств признаков в регрессионном анализе:

В этой статье с общих позиций рассматриваются проблемы, возникшие в связи с исследованиями, опубликованными на соседних страницах журнала.

Методы непараметрического интервального оценивания точки пересечения двух регрессионных прямых развиты в докладе:

Эти работы были продолжены совместно с В.С. Муравьевой:

Итоги подведены в кандидатской диссертации В.С. Муравьевой (2011).

С позиций статистики интервальных данных линейная парная регрессия рассмотрена в диссертации Е.А. Гуськовой и в статье:

В 2007-2013 гг. опубликованы работы по статистическим методам прогнозирования:

(по тематике крайней из указанных работ защищена диссертация Е.М. Крюковой (2011).

Разработаны непараметрическое методы оценивания периодической (сезонной) составляющей в парной регрессии:

Полученные результаты включены в учебник:

Итоговая статья, в которой в дополнение к прежним публикациям рассмотрены методы интервального прогноза индивидуальных значений (а не только точечного и интервального прогноза значения восстанавливаемой функции):

Вариант этой статьи:

Многообразие рассматриваемых в литературе моделей регрессионного анализа проанализировано в статье:

Распространенные ошибки при использовании коэффициентов корреляции и детерминации разобраны в работе:

Многие мои работы по теории классификации следует отнести к статистике объектов нечисловой природы, поскольку они исходят из мер различия (расстояний, мер близости) классифицируемых объектов, а не из их представлений в виде точек конечномерных линейных пространств.

Первая работа по классификации была посвящена обработке социально-психологических данных, полученных в результате опроса учащихся ВМШ при Московском математическом обществе (см. ниже раздел "Внеклассная работа"), поэтому имела значение прежде всего в рамках теории обучения:

Следующая публикация посвящена проблеме остановки алгоритмов - доказательству того, что итерации эталонных алгоритмов (типа "Форель" и метода k-средних) прекращаются через конечное число шагов (оцененное сверху в этой работе):

Обобщение было получено в докладе 25 октября 1978 г. на семинаре "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов:

Итоги многолетних работ по различным вопросам теории классификации подведены в работе:

Задачи классификации в пространствах произвольной природы фундаментальным образом проанализированы как в этой статье, так и в докладе:

Различным вопросам классификации, прежде всего в пространствах произвольной природы, посвящены работы:

В двух последних работах введен и изучен показатель качества алгоритма классификации, основанный на оценке аналога расстояния Махаланобиса между классами:

В 1978-80 гг. мы обсуждали целесообразность введения такого показателя с Л.Д. Мешалкиным - отсюда его название в работе No.254. Однако Л.Д. Мешалкин (1934 - 2000) никогда не писал об этом показателе, поэтому редакторы моих дальнейших публикаций вычеркивали ссылки на эту беседу. Тем не менее я считаю нужным отметить, что основная идея и выражение для этого показателя принадлежит нам обоим, в то время как за результаты его изучения (теоремы) и рекомендации по применению несу ответственность именно я.

Основные мои результаты по теории классификации отражены в обширных статьях:

Надо еще раз подчеркнуть, что все методы классификации, основанные на использовании расстояний (мер различия или близости), естественно рассматривать как часть статистики объектов нечисловой природы.

В 2007 - 2013 гг. теория классификации был посвящен ряд докладов и статей:

(Дальнейшее развитие этой тематики дано в статье:

887. Орлов А.И. Прогностическая сила - наилучший показатель качества алгоритма диагностики // Научный журнал КубГАУ. 2014. - No.99. С. 15-32. )

В статье No. 795 раскрывается и демонстрируется на примере идея, сформулированная в работе:

О том, что статья No. 796 опубликована в 1990 г., я узнал только в 2013 г. благодаря Интернету.

Обобщающая статья по математическим методам теории классификации опубликована в 2014 г.;

Три основных результата математической теории классификации выделены в статьях:

Регрессионный анализ мы применяли для прогнозирования индекса инфляции в связи с оцениванием уровня жизни.

Работы по индексу инфляции носят прежде всего экономический характер. Однако в контексте данного раздела они интересны прежде всего тем, что обрабатывались большие массивы собранной нашим коллективом информации. Была самостоятельно развита необходимая небольшая теория, в частности, выделены такие полезные утверждения, как теорема умножения и теорема сложения.

Первая публикация по индексу инфляции формально имела статус учебного материала для студентов - методических рекомендаций по курсу "Основы экономики":

По существу же это была небольшая научная монография. Еще интереснее, что подготовлена она была вместе со студентами, поступившими в вуз в 1993 г. - т.е. к моменту выхода книги они перешли на второй курс. Авторы этой и дальнейших работ Балашов В.В., Куроптев О.В., Канакова Е.М., Рафальская А.С., Иванова И.Г., Точенная Н.С. - наиболее активные из студентов, работавших со мной. Жаль, что профессиональная некомпетентность и интриги моих сослуживцев и/или начальников О.В. Староверова, В.Ф. Шарова, Б.В. Гладкова не дали мне возможность продолжить работу с этими студентами. Ко времени дипломных работ и аспирантуры из них могли бы выработаться превосходные исследователи.

Отметим также, что в этой работе были сформулированы "теорема умножения" и "теорема сложения" для индекса инфляции. Буду рад, если мне кто-либо укажет на аналогичные формулировки в других учебных изданиях. В известных мне учебниках по экономической теории обсуждение идет на словесном уровне.

Работы по сбору и анализу независимо собранной информации о ценах в середине 90-х финансировались Министерством обороны РФ. Заказчика интересовали размеры финансирования НИР в реальных (сопоставимых) ценах. Был создан коллектив (под моим руководством) из преподавателей и студентов МГИЭМ (ту), который и проводил эту работ. Наиболее активные члены коллектива указаны ниже в числе соавторов публикаций. В международной газете "Наука и технология в России" помещен ряд статей об инфляции членов нашего коллектива, подготовленных без моего участия.

Вслед за базовой монографией No.325 последовала серия публикаций:

Развернутые публикации появились несколько позже:

Публикации на близкую тему - о дифференциации по доходам - появились на рубеже тысячелетий.

Полученные результаты отражались во многих моих учебных курсах. Они послужили основой для главы 7 учебника "Эконометрика" (издания 2002, 2003, 2004 гг.) и аналогичных разделов других моих учебников, выпущенных в XXI веке.

На основе собранной студентами факультета "Инженерный бизнес и менеджмент" МГТУ им. Н.Э. Баумана информации о реальных ценах весны 2004 г. проанализировано распределение индекса инфляции по различным точкам сбора данных в Москве и Московской области:

По рассматриваемой тематике был сделан ряд докладов:

В популярном журнале "Итоги" было проведено обсуждение проблем измерения инфляции, в котором участвовал и А.И.Орлов:

Работы по сбору и анализу независимой информации о ценах можно отнести к экспериментальным исследованиям, как следствие, они достаточно трудоемки. Исходя из интересов обеспечения экономической науки экспериментальным материалом, их целесообразно продолжать и углублять. В настоящее время такие работы выполняются студентами как лабораторные. Целесообразна глубокая теоретическая проработка этой тематики. Наш коллектив наработал большой задел.

Разработанные подходы и полученные результаты постепенно отражаются в публикациях:

Наиболее подробное изложение вопросов инфляции дано в учебнике:

Глава по инфляции полностью переработана по сравнению с предыдущими изданиями.

Интересна сводка ряда вероятностно-статистических результатов, полученных при решении задач, возникших в ходе общения с врачами и организаторами здравоохранения:

Отметим обсуждение задачи оценивания тренда временного ряда по данным с пропусками, соответствующими использованию процедур кинетотопографии, и проблем множественной проверки статистических гипотез, возникших при проектировании АСУ поликлиники.

Как по периодическим шумам двигателя определить принадлежность к тому или иному классу транспортной единицы (например, подводной лодки)? Надо состоятельно оценить длину периода и выделить периодическую составляющую сигнала. Непараметрические методы решения этих задач развиты в работах:

Состоятельность вытекает из общих результатов об асимптотическом поведении решений экстремальных статистических задач.

Интуитивно все понимают, что шум - это сигнал, в котором нет информации или в котором на практике не удается выявить информацию. Точнее, понятно, что некая последовательность элементов (ряд) тем в большей степени является шумом, чем меньше информации содержится в значениях одних элементов о значениях других. В статье:

предложен асимптотический информационный критерий качества шума, а также метод, технология и методика его применения на практике.

На основе интенсивного использования нечисловых (качественных) переменных построена и применена оригинальная методика моделирования динамики организационно-экономических систем с помощью качественных временных рядов с качественно-количественными значениями. А именно, в 1999 г. по заказу Минфина РФ было проведено моделирование с целью качественной (когнитивной) оценки результатов взаимовлияний факторов, определяющих размер поступлений от тех или иных налогов. Расчеты проводились с помощью специально разработанного эконометрического метода и реализующей его программной системы, разработанной В.Н. Жихаревым. Метод получил краткое название ЖОК (от первых букв фамилий руководителей разработки - Жихарева В.Н., Орлова А.И., Кольцова В.Г.). Метод отражен в докладах:

Подробному рассмотрению метода ЖОК и результатов его применения посвящены специальные разделы в учебниках:

Как ни странно, наиболее "долгоиграющими" оказались работы по прикладной математической статистике, посвященные типовым ошибкам. Например, еще с 50-х годов известно, что предельные распределения статистик Колмогорова и омега-квадрат в случае, когда вместо неизвестных параметров подставляют их оценки, отличаются от таковых при полностью известных значениях параметров. "Незаконную" замену часто делают малоквалифицированные авторы, в том числе составители учебников по т.н. "общей теории статистики" и разработчики ГОСТ 11.006-74. Ситуация разобрана в статье:

К той же проблеме пришлось вернуться через 12 лет:

И еще раз через 17 лет:

В связи с распространенными ошибочными утверждениями о меньшей трудоемкости графических методов оценки параметров вероятностных распределений по сравнению с аналитическими методами было проведено сравнение этих двух групп методов:

Ошибки в ГОСТах по прикладной статистике и другим статистическим методам рассмотрены в статье:

Одна из причин внедрения ошибочных подходов - троянские технологии, применяемые конкурентами (геополитическими противниками, проще говоря - врагами):

Например, широкое внедрение "убогой эконометрики", ограничивающейся различными вариантами МНК, инспирировано из-за рубежа.

Ошибочное представление о том, что реальные статистические данные довольно часто имеют нормальное распределение, разоблачается в статьях:

Ошибочность термина "статистика Колмогорова-Смирнова" рассмотрена в статье:

Великие статистики А.Н. Колмогоров и Н.В. Смирнов никогда не писали совместных статей и никогда не изучали одну и ту же статистику.

Фальсификации официальной статистики разоблачаются в заметке:

Ошибочные утверждения о том, что с помощью критерия Вилкоксона можно проверять совпадение функций распределения двух независимых выборок или совпадение их медиан, опровергаются в статье:

Построены примеры, опровергающие эти ошибочные утверждения.

Согласно распространенному заблуждению статистические данные целесообразно разбивать на обучающую и контрольную выборки примерно одинакового объема, по первой из них строить решающие правило (например, оценки параметров), а по второй оценивать качество этого правила. Это заблуждение разоблачается в статье:

Дело в том, что метод скользящего контроля (как частный случай бутстрепа) позволяет проводить оценивание по всем имеющимся данным, а не по половине из них. В результате повышается качество статистических решений, например, уменьшается (в 1,4 раза) дисперсия оценок.

Заблуждаются те, кто оценивает качество алгоритма диагностики (дискриминантного анализа) как долю правильной классификации. Адекватный метод сравнения алгоритмов классификации по результатам обработки реальных данных на основе прогностической силы разработан и изучен в докладах:

Итоговая статья на эту тему:

887. Орлов А.И. Прогностическая сила - наилучший показатель качества алгоритма диагностики // Научный журнал КубГАУ. 2014. - No.99. С. 15-32.)

Важным вопросам прикладной математической статистики, не только терминологическим, посвящены публикации:

В частности, констатируется, что свойства любого алгоритма статистического анализа данных можно обсуждать, лишь выбрав ту или иную вероятностно-статистическую модель порождения данных.

Эта статья задает исходную базу для обсуждений, научных исследований и прикладных работ.

В течение десятилетий мы постоянно выделяли "точки роста" и ставили нерешенные математические задачи прикладной статистики.

Актуальным нерешенным задачам прикладной математической статистики был посвящен развернутый доклад:

В частности, в нем была поставлена проблема множественных проверок статистических гипотез, рассмотренная позже в работах:

Развернутый перечень нерешенных математических задач прикладной статистики (т.н. "цахкадзорская тетрадь", по названию поселка в Армении, в котором в 1979 г. проходила конференция, на которой и была составлена сводка) приведен в изданном массовым тиражом сборнике, от даты выхода которого мы отсчитываем самостоятельное бытие прикладной статистики как научно-практической дисциплины:

Отметим, что еще несколькими годами ранее был опубликован список более 30 нерешенных задач теоретической и прикладной статистики:

Пути развития статистики, в том числе "точки роста" и нерешенные задачи, рассматривались в статье, порожденной работой по созданию Всесоюзной статистической ассоциации:

Выдвинутые в статье 1991 г. соображения были развиты позже. Основная методологическая статья конца ХХ в. по статистике - это:

Ее перепечатка:

Дальнейшее развитие - в статьях, посвященных 70-летию журнала "Заводская лаборатория":

Следующий шаг - введение в научное обсуждение понятий "статистические технологии" и "высокие статистические технологии" и постановка в связи с этим новых нерешенных проблем:

Необходимо, однако, отметить, что нерешенные проблемы решаются не так быстро, как хотелось бы. Во многом это связано со стихийностью научного процесса, особенно после 1991 г.

Описанные в настоящем разделе научные результаты отражены в учебниках:

В частности, в каждом из них завершающая глава посвящена итогам и перспективам развития статистических методов, в том числе "точкам роста" и нерешенным задачам.

Статистические методы рассматриваем, применяем и преподаем в рамках организационно-экономического моделирования. Третья завершающая часть учебника по организационно-экономическому моделированию вышла в 2012 г.:

В первом приближении можно сказать, что учебник "Прикладная статистика" был разбит нами на две части. Первая посвящена нечисловой статистике (статистике объектов нечисловой природы, статистике нечисловых данных). В ней описаны различные виды нечисловых данных, развита статистическая теория в пространствах произвольной природы, рассмотрены методы анализа конкретных видов нечисловых данных, одна из четырех глав посвящена изложению статистики интервальных данных. Это - первая часть учебника по организационно-экономическому моделированию:

Прикладным "зеркалом" Части 1 является Часть 2 - учебник по экспертным оценкам:

Остальной материал учебника "Прикладная статистика", посвященный методам анализа числовых и векторных данных, временных рядов, послужила основой для третьей части (а именно, ее части I "Основные постановки задач анализа данных" и части II "Конкретные статистические методы"). Во вновь написанной части III (по объему - половина книги) "Вероятностно-статистическое моделирование" учебника "Статистические методы анализа данных" рассмотрены основные понятия теории статистического моделирования на примерах моделей экономики и управления (в частности, статистических моделей динамики, управления качеством), медицины, социологии, демографии, истории, электротехники.

Во второй половине 1980-х гг. в нашей стране развернулось общественное движение по созданию профессионального объединения специалистов в области организационно-экономического и экономико-математического моделирования, эконометрики и статистики (кратко - статистиков). Аналоги такого объединения - британское Королевское статистическое общество (основано в 1834 г.) и Американская статистическая ассоциация (создана в 1839 г.). К сожалению, деятельность учрежденной в 1990 г. Всесоюзной статистической ассоциации (ВСА) оказалась парализованной в результате развала СССР.

В ходе организации ВСА проанализировано состояние и перспективы развития рассматриваемой области научно-прикладных исследований и осознаны основы уже сложившейся к концу 1980-х гг. новой парадигмы организационно-экономического моделирования, эконометрики и статистики. Была поставлена задача институционального оформления новой парадигмы в виде монографий, учебников, учебных курсов.

В течение следующих лет новая парадигма развивалась и к настоящему времени оформлена в виде серии монографий и учебников для вузов, описанных выше во Вводной части в разделе "Основные монографии" (имеются в виду прежде всего книги, указанные под No.No. 11, 14, 15, 16, 20, 21, 23, 24, 26, 28).

По нашему мнению, к настоящему моменту рекомендация Учредительного съезда ВСА по созданию комплекта учебной литературы на основе новой парадигмы выполнена. Предстоит большая работа по внедрению новой парадигмы организационно-экономического моделирования, эконометрики и статистики в научные исследования, преподавание, прикладные работы.

Подробнее см. раздел "5. Новая парадигма математических методов исследования" главы "Методология и общие вопросы" части V настоящей книги.

(Продолжение следует.)