(Продолжение)

   В части 2 проводится изучение различных способов оценки финансовых и иных рисков в случаях, когда они моделируются случайными величинами. В частности, рассматриваются такие характеристики, как математическое ожидание, дисперсия, квантили, коэффициент вариации, линейные комбинации математического ожидания и среднего квадратического отклонения и др. Эти характеристики оцениваются по выборке в непараметрической постановке. Полученные интервальные оценки получены впервые. Они могут быть использованы в различных задачах эконометрики. Кроме того, рассматриваются методы описания рисков с помощью теории нечетких множеств, интервальных математических и эконометрических моделей и других математических средств.

   Чтобы продемонстрировать сложность проблемы оценивания риска и различные существующие подходы, рассмотрим простейший случай. Пусть в принятой математической модели неопределенность носит вероятностный характер, а потери описываются одномерной случайной величиной (а не случайным вектором и не случайным процессом). Итак, ущерб адекватно описывается одним числом, а величина этого числа зависит от случая.
   Итак, пусть величина риска моделируется случайной величиной Х (в смысле теории вероятностей). Как известно, случайная величина описывается функцией распределения

F(x) = P (X < x ),

   где x – любое действительное число (как пишут, любой элемент действительной прямой, традиционно обозначаемой R¹).
   В зависимости от предположений о свойствах функции распределения F(x) вероятностные модели риска делятся на параметрические и непараметрические. В первом случае предполагается, что функция распределения входит в одно из известных семейств распределений – нормальных, экспоненциальных или иных. Однако обычно подобное предположение является мало обоснованным. Тогда необходимо применять непараметрические методы, не предполагающие, что распределение ущерба взято из того или иного популярного семейства. Обычно предполагают лишь, что функция распределения F(x) является непрерывной функцией числового аргумента х.
    Например, часто говорят, что поскольку величина ущерба зависит от многих причин, то она должна иметь нормальное распределение. Это неверно. Все зависит от способа взаимодействия причин. Если причины действуют аддитивно, то, действительно, в силу Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей имеем основания использовать нормальное (гауссово) распределение. Если же причины действуют мультипликативно, то в силу той же Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей следует приближать распределение величины ущерба Х с помощью логарифмически нормального распределения.
   Тщательный анализ погрешностей реальных наблюдений показал, что их распределение в подавляющем большинстве случаев отличается от гауссова [1]. Поэтому неверно традиционное представление о том, что погрешности измерения нормально распределены. Прикладники обычно думают, что математики доказали, что погрешности распределены нормально, а математики считают, что прикладники установили это экспериментально. И те, и другие ошибаются.
   В экономической литературе имеется масса ошибочных утверждений. Существенная часть ошибок относится к использованию математических методов. Особенно это касается статистики и эконометрики. Причинам этого явления посвящена наша статья [2].

   Для ориентации в практически необозримом море математических моделей экономических явлений и процессов (короче: экономико-математических моделей), в том числе экономико-математических моделей различных видов неопределенностей и рисков, необходима их классификация. Первым основанием для классификации служит отношение к практической деятельности. Экономико-математические модели делятся на:
   1) ориентированные на практическое использование (примерами служат модели статистического контроля, с помощью которых принимается решение о приемке или забраковании партии конкретной продукции),
   2) модели, которые практически использовать невозможно (примерами служат модели "основного уравнения количественной теории денег" или "спирали ЦЕНЫ - ЗАРПЛАТА" в учебнике макроэкономики [3]).
   Второе из этих направлений экономико-математического моделирования, т.е. модели, которые непосредственно использовать в практической работе невозможно, обычно связывается с термином "математическая экономика". О нем акад. РАН Н.Н. Моисеев писал:
   "...Имеется развитое направление исследований, получившее название математической экономики. В работах, относящихся к этому направлению, изучаются свойства математических моделей, построенных на основе формализации некоторых понятий экономической науки, таких как, например, конкурентное равновесие. Используя некоторые предположения о функциональных зависимостях (например, о выпуклости функций и множеств), исследователи анализируют общие свойства моделей - доказывают теоремы о существовании экстремальных значений тех или иных параметров, изучают свойства точек равновесия, траекторий равновесного роста и т.д. Эти исследования содействовали становлению экономико-математических методов, помогали и помогают отточить математические методы, используемые в прикладных исследованиях. Однако с развитием математической экономики рассматриваемые в ней проблемы все более уходили от экономической реальности и становились чисто математическими. В результате этого в настоящее время математическая экономика представляет собой своеобразный раздел математики, изучающий математические конструкции, которые лишь с большой степенью произвола можно назвать экономическими моделями..." (из предисловия к учебному пособию А.В. Лотова "Введение в экономико-математическое моделирование" [4, с.6]).
   В чем причины отмеченных акад. Н.Н. Моисеевым недостатков в развитии математической экономики? Одна из них такова. В теоретическую и практическую экономику устремилось большое число людей из других сфер деятельности, которые хотят получать деньги как экономисты, но не хотят становиться ими по существу. В частности, большой вред приносят математики, выдающие себя за экономистов. Чтобы подтвердить свои претензии, они используют экономические термины для обозначения математических понятий, а затем доказывают свои любимые теоремы и требуют того же от студентов, а также добиваются финансирования, заявляя о своих достижениях в экономической науке. Беда, однако, в том, что эти теоремы не нужны для практической деятельности экономистов. Однако это не волнует математиков, выдающих себя за экономистов, как не волнуют и растрата денег налогоплательщиков, и судьбы студентов, которые потратят годы учебы на никому не нужную схоластику.
   Математическую экономику, т.е. математику, выраженную в псевдоэкономических терминах, мы вслед за акад. Н.Н. Моисеевым квалифицируем как псевдонауку. В то же время необходимо подчеркнуть, что методы математического моделирования реальных экономических явлений и процессов, разумеется, полезны и необходимы, в частности, для успешной работы Государственной налоговой службы. Но нужны только те математические результаты, которые помогают экономисту в работе, в частности, методы прикладной математической статистики, экспертных оценок (например, сценарный метод).
   Нельзя не согласиться с тем очевидным утверждением, что некоторые теоретические работы, которые в настоящее время не удается связать с практикой, в будущем могут оказаться полезными для решения реальных задач. Лучший пример - история ядерной физики. Однако нельзя не указать на многочисленные монографии и сборники статей, в которых чисто математические рассуждения даны под экономическим соусом [5-16].
   Экономико-математические модели иногда используются в качестве "дымовой завесы" для пропаганды сомнительных с научной точки зрения воззрений. В качестве примера рассмотрим западные курсы т.н. "экономикс".
   Они построены, естественно, на обобщении западной экономической жизни. Так, потребитель предполагается совершенно рациональным, точно знающим, что он хочет максимизировать (т.е. знающим свою функцию полезности [17]), а также полностью игнорирующим всех остальных потребителей, действующим совершенно самостоятельно. Общество состоит из эгоистичных индивидуумов-атомов, отстаивающих только свои интересы, т.е. живущих по принципу "человек человеку - волк". Законы правового государства удерживают такое общество от самоуничтожения.
   Возможно, такая экономико-математическая модель годится для жителей западных стран, прежде всего США. Бесспорно совершенно, что она не годится для нас, для русских. Мы плохо знаем, что нам нужно, действуем под влиянием друзей, общественного мнения, моды, привыкли жить в коллективе, общине, семье, говорим о соборности, игнорируем экономические стимулы. Несмотря на снижение реальных доходов в несколько раз, пока нет бунтов. Хотя предприятия стоят, работники не уходят, а менеджеры (директора) их не увольняют. Сейчас зарплата профессора меньше зарплаты уборщицы в метро и в несколько раз меньше дохода продавца коммерческого киоска. Но, вопреки западным экономическим теориям, профессора не рвутся в продавцы. И рабочие выпускают продукцию, не получая зарплату. И потому Россия жива. Западные экономические теории не годятся не только для России. Они не подходят для исламских стран, для Индии и Китая, и т.д.
   В некоторых публикациях с помощью экономико-математических моделей сознательно вводят читателей в заблуждение. В качестве примера возьмем учебник Р.Лэйарда [3]. В нем "доказывается", что "инфляционный налог" равен дефициту бюджета. Отсюда рекомендация - для снижения инфляции необходимо ограничивать поступление новых денежных масс в оборот (например, не выдавать зарплату). Однако это утверждение выводится в предположении, что суммарный выпуск постоянен, чего нет у нас - объем производства падает. При этом Р.Лэйарда отнюдь не смущает, что в другой главе, говоря о "мультипликаторе Кейнса", он рекомендует увеличивать государственные расходы в период спада производства.
   Принципиально ошибочно рассмотрение Р.Лэйардом спирали "заработная плата - цены", основанное на математической ошибке (функция принимается за константу). Но вывод каков: чтобы снизить инфляцию, надо, якобы, увеличить безработицу!
   Перечень примеров ошибочных рассуждений можно продолжать сколь угодно долго. И не так уж важно, являются ли ошибки следствием некомпетентности авторов или же сознательно ориентированы на "промывку мозгов" в интересах мирового капитала. Важно то, что эти ошибки дискредитируют применение экономико-математических моделей. С подобными ошибками надо бороться. Но это не так легко - требуется глубоко вникать в тексты. Следовательно, необходима организация соответствующих научно-исследовательских проектов.
   Необходимо отметить, что название "Математическая экономика" носят и некоторые публикации, лишенные указанных выше недостатков, например, учебник К.Ланкастера [18] или сборник переводов статей [19]. Наши работы [20-26] также нацелены на практическое применение, а не на абстрактное математизирование. Отметим также полезную работу [27], специально посвященную экономическим рискам.

   Рассмотрим ситуацию, когда риск (точнее, возможная величина ущерба, связанного с риском), описывается функцией распределения F(x) = P (X < x). Обычно стараются перейти от функции, описываемой бесконечно большим числом параметров, к небольшому числу параметров, лучше всего к одному. Для случайной величины часто рассматривают такие параметры, как
   1) математическое ожидание;
   2) медиана и, более общо, квантили, т.е. значения х = х(а), при которых функция распределения достигает определенного значения, F(x) = а ;
   3) дисперсия (сигма-квадрат);
   4) среднее квадратическое отклонение (сигма);
   5) коэффициент вариации (среднее квадратическое отклонение, деленное на математическое ожидание);
   6) линейная комбинация математического ожидания и среднего квадратического отклонения (например, типично желание считать, что возможные значения риска расположены в интервале: математическое ожидание плюс-минус три сигма);
   7) математическое ожидание функции потерь, и т.д.
   Этот перечень может быть продолжен.
   Тогда задача оценки риска может пониматься как задача оценки той или иной из перечисленных характеристик. Ниже мы рассмотрим их оценивание по эмпирическим данным (по выборке величин ущербов, соответствующим происшедшим ранее аналогичным случаям). При отсутствии эмпирического материала остается опираться на экспертные оценки.
   Задача же управления риском может пониматься как задача минимизации той или иной из перечисленных характеристик. Тогда минимизация риска может состоять:
   1) в минимизации математического ожидания (ожидаемых потерь),
   2) в минимизации квантиля распределения (например, медианы функции распределения потерь или квантиля порядка 0,99, выше которого располагаются большие потери, встречающиеся крайне редко - в 1 случае из 100),
   3) в минимизации дисперсии (т.е. показателя разброса возможных значений потерь),
   4) в минимизации среднего квадратического отклонения, что с чисто математической точки зрения эквивалентно предыдущей задаче минимизации дисперсии;
   5) в минимизации коэффициента вариации;
   6) в минимизации суммы математического ожидания и утроенного среднего квадратического отклонения (на основе известного "правила трех сигм"), или иной линейной комбинации математического ожидания и среднего квадратического отклонения (используют в случае близости распределения потерь к нормальному (гауссову) распределению как комбинацию подходов, нацеленных на минимизацию средних потерь и минимизацию разброса возможных значений потерь),
   7) в минимизации математического ожидания функции потерь (в случае, когда полезность денежной единицы меняется в зависимости от общей располагаемой суммы [28], в частности, когда необходимо исключить возможность разорения экономического агента), и т.д.
   Обсудим семь перечисленных постановок. Первая из них – минимизация средних потерь – представляется вполне естественной, если все возможные потери малы по сравнению с ресурсами предприятия. В противном случае первый подход не всегда рационален.
   Действительно, рассмотрим условный пример. У человека имеется 1000 рублей. Ему предлагается следующее пари. Надо подбросить монету. Если выпадает "орел", то он получает 5000 рублей. Если же выпадает "цифра", он должен уплатить 2000 рублей. Стоит ли данному человеку участвовать в описанном пари? Если подсчитать математическое ожидание дохода, то, поскольку по условию пари каждая сторона монеты имеет одну и ту же вероятность выпасть, равную 0,5, оно равно 5000 х 0,5 + (-2000) х 0,5 = 1500. Казалось бы, пари весьма выгодно. Однако большинство людей на него не пойдет, поскольку с вероятностью 0,5 они лишатся всего своего достояния и останутся должны 1000 рублей, другими словами, разорятся. Здесь проявляется психологическая оценка ценности рубля, зависящая от общей имеющийся суммы – 1000 рублей для человека с обычным доходом значит гораздо больше, чем та же 1000 руб. для миллионера.
   Второй подход нацелен как раз на минимизацию больших потерь, на защиту от разорения. Другое его известное применение – исключение катастрофических аварий, например, типа Чернобыльской. При втором подходе средние потери могут увеличиться (по сравнению с первым), зато максимальные будут контролироваться. К сожалению, крайне трудно по статистическим данным делать обоснованные выводы о весьма больших значениях. На профессиональном языке: "трудно работать на хвостах". Например, иногда встречаются утверждения типа "надежность равна шести девяткам", т.е. 0,999999. Другими словами, вероятность нежелательного исхода равна 0,000001. Такую малую вероятность непосредственно по статистическим данным оценить невозможно (для этого объем выборки должен быть не менее 10 000 000). Значит, вывод получен с помощью модели, например, модели экспоненциального распределения. Хорошо известны, что выводы об обнаружении резко выделяющихся наблюдений (выбросов) крайне неустойчивы по отношению к малым отклонениям от предположений модели [29]. Поэтому и к словам типа "надежность равна шести девяткам" надо относиться осторожно.
   Во втором подходе заключены еще две идеи. Первая из них – использование медианы как более адекватной характеристики "центральной тенденции", чем математическое ожидание. Дело в том, что математическое ожидание может быть смещено в большую сторону из-за наличия редких, но чрезвычайно больших значений. (именно поэтому средняя (арифметическая) зарплата или средний (арифметический) доход весьма завышают доходы "среднего" работника). В математических терминах: медиана – робастная (устойчивая) характеристика распределения, а математическое ожидание – нет.
   Вторая из упомянутых идей – обеспечение защиты от разорения на "среднем" уровне достоверности – с вероятностью 0,95 или 0,99. Для этого достаточно, чтобы квантиль порядка 0,95 или 0,99 не превосходил собственных активов фирмы.
   Третий и эквивалентный ему четвертый подходы нацелены на минимизацию разброса окончательных результатов. Средние потери при этом могут быть выше, чем при первом или втором, но того, кто принимает решение, это не волнует – ему нужна максимальная определенность будущего, пусть даже ценой повышения потерь. В литературе его часто рекомендуют использовать при составлении портфеля ценных бумаг. Поскольку наиболее прибыльные акции (и вообще экономические решения) обычно являются и наиболее рискованными, то желание сократить риск за счет расширения ассортимента акций представляется рациональным. Это – один из частных случаев диверсификации, универсального способа понижения риска. К сожалению, при изложении третьего и четвертого подходов часто забывают про целесообразность повышения среднего дохода.
   Пятый подход дает один из способов избавиться от такой забывчивости – используется не абсолютное значение среднего квадратического отклонения, а относительное. Это – аналог в теории риска общеэкономической идеи рентабельности.
   Шестой подход сочетает в себе первый и третий, хотя и довольно примитивным образом. По существу проблема в том, что управление риском в рассматриваемом случае – это по крайней мере двукритериальная задача. Желательно средние потери снизить (другими словами, математическое ожидание доходов повысить), и одновременно уменьшить показатель неопределенности – дисперсию. Хорошо известны проблемы, возникающие при многокритериальной оптимизации, и практически все они могут быть применены в теории риска, развивая шестой подход.0,95 или 0,99.
   Наиболее продвинутый подход – седьмой. Но для его применения необходимо построить функцию потерь или ее антипод – функцию полезности. Это – большая самостоятельная задача. Обычно ее решают с помощью специально организованного эконометрического исследования. Опыт построения функций полезности по экспериментальным данным накоплен, например, в Центральном экономико-математическом институте РАН, в лаборатории проф. Ю.Н. Гаврильца. Есть и теоретические подходы. Например, в монографии [28] исходя из некоторого аксиоматического подхода было установлено, что полезность денежных средств измеряется логарифмом их количества. Другими словами, надо анализировать не абсолютные значения, а относительные отклонения: потеря 1 000 руб. для лица, имеющего в реальном распоряжении 10 000 руб., столь же чувствительна, как и потеря 1 000 000 руб. для лица, распоряжающегося 10 000 000 руб.- и в том, и в другом случае речь идет о потере 10% от имеющегося состояния.
   Кроме вероятностных методов моделирования риска, иногда рассматриваются методы описания рисков с помощью объектов нечисловой природы, в частности, качественных признаков, понятий теории нечетких множеств, интервальных математических и эконометрических моделей и других математических средств. Пока все эти подходы надо рассматривать как экзотические. Однако вместо статистических данных в них обычно используются оценки экспертов, так что в недалекой перспективе будем иметь два крыла теории риска – вероятностное и экспертное (в качестве аппарата использующее статистику нечисловых данных). Наше представление о современном состоянии теории и практики экспертных оценок дано в работах [26,30].
   Под использованием качественных признаков понимаем, в частности, использование терминов типа "высокий риск", "заметный риск", "малый риск" и аналогичных им. Такого рода оценки, конечно, более соответствуют обыденному сознанию, чем оценки в виде действительных чисел. Это хорошо известно в теории измерений – человеку гораздо легче сравнивать альтернативы по степени риска, чем пытаться говорить о том, что одна из них во столько-то раз лучше или на столько-то лучше. Другими словами, человеку гораздо легче работать в порядковой шкале, чем в шкалах количественных признаков – интервальной, отношений, разностей и др. [20]. Методы анализа статистических данных, измеренных в порядковой шкале, разработаны в статистике объектов нечисловой природы – сравнительно новой области прикладной математической статистики (выделена в 1970-х годах). Основные результаты статистики объектов нечисловой природы сведены вместе в серии статей [31-33].
   Нечеткость, размытость, расплывчатость понятий, используемых в человеческом мышлении, отражается в т.н. теории нечетких множеств. Это направление прикладной математики активно развивается с середины 60-х годов, хотя его истоки лежат еще в апориях философов Древней Греции. Первая книга российского автора о теории нечетких множеств – наша книга [21], выпущенная в 1980 г. Полученное нами в 1970-х годах сведение теории нечетких множеств к теории случайных множеств [20,21] носит пока лишь теоретический характер, а конкретные расчетные формулы различаются.
   Если неопределенность носит интервальный характер, т.е. оценки рисков описываются интервалами, то естественно применить методы статистики интервальных данных (как части интервальной математики), рассчитать минимальный и максимальный возможный доходы и потери, и т.д. Ограничимся здесь ссылками на уже достаточно обширную литературу по интервальным эконометрическим методам [34-52].
   Как известно, разработаны различные способы уменьшения экономических рисков, связанные с выбором стратегий поведения, в частности, диверсификацией. Здесь мы их не обсуждаем.

   Исходные данные – выборка X₁, X₂, … , X _n , где n – объем выборки. Выборочные значения X₁, X₂, … , X _n рассматриваются как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F(x) = P (X_i < x ), i = 1,2, …, n. В расчетах будут использоваться выборочное среднее арифметическое

M = (X₁ + X₂ +… + X _n ) / n,
   выборочная дисперсия

S² = { (X₁ – M)² + (X₂ – M)² +… + (X _n – M)² } / (n-1)
   и некоторые другие расчетные характеристики, которые мы введем позже.

   Точечной оценкой для математического ожидания (т.е. стандартного "среднего риска") в силу закона больших чисел является выборочное среднее арифметическое М.
   Нижняя доверительная граница для математического ожидания имеет вид

M – U(p) S / n^1/2,

   где
   M – выборочное среднее арифметическое,
   P – доверительная вероятность (истинное значение математического ожидания находится между нижней доверительной границей и верхней доверительной границей с вероятностью, равной доверительной);
   U(p) – число, заданное равенством Ф(U(p))=(1+p)/2, где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1; например, при p = 95 % (т.е. при р = 0,95) U(p) = 1,96; функции U(p) имеются в большинстве литературных источников по теории вероятностей и математической статистике (см., например, [53]);
   S – выборочное среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из введенной выше выборочной дисперсии.
   Верхняя доверительная граница для математического ожидания имеет вид

M + U(p) S / n^1/2.

   Выражения для верхней и нижней доверительных границ получены с помощью Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей. Они являются асимптотическими, т.е. становятся тем точнее, чем больше объем выборки. В частности, вероятность попадания истинного значения математического ожидания между нижней и верхней доверительными границами асимптотически приближается к доверительной вероятности, но, вообще говоря, может отличаться от нее. Это – недостатки непараметрического подхода. Достоинством же является то, что его можно применять всегда (когда случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию, что в силу финитности (ограниченности шкал) имеет быть практически всегда в реальных ситуациях.
   Интересно сопоставить с параметрическим подходом. Обычно в таких случаях предполагают нормальность результатов наблюдений (которой, как уже обосновывалось, практически никогда нет). Тогда формулы для нижней и верхней доверительных границ для математического ожидания имеют похожий вид, только вместо U(p) стоят квантили распределению Стьюдента (а не нормального распределения, как в приведенных выше формулах), соответствующие объему выборки. Как известно, при росте объема выборки квантили распределения Стьюдента сходятся к соответствующим квантилям стандартного нормального распределения, так что при больших объемах выборок оба подхода дают близкие результаты. Отметим, что классические доверительные интервалы несколько длиннее, поскольку квантили распределения Стьюдента больше квантилей.стандартного нормального распределения, хотя это различие и невелико.

   В случае медианы по доверительной вероятности р находят U(p), как разъяснено в п.3.1. Затем вычисляют натуральное число

С(р) = [n/2 – U(p)n^1/2 /2],

   где [.] – знак целой части числа. Нижняя доверительная граница для медианы имеет вид

Х (С(р)),

   где Х(i) – член вариационного ряда с номером i, построенного по исходной выборке (т.е. i-я порядковая статистика). Верхняя доверительная граница для медианы имеет вид

Х (n + 1 - С(р)).

   Теоретическое основание для приведенных доверительных границ содержится в литературе по порядковым статистикам (см., например, монографию [54,с.68]).

3.3. Точечное и интервальное оценивание дисперсии

   Точечной оценкой дисперсии величин ущерба является выборочная дисперсия S². Доверительные границы находятся с помощью величины

d² = (m ₄ - ((n – 1) /n ) ⁴ S ⁴ ) / n,

   где m ₄ - выборочный четвертый центральный момент, т.е.

m ₄ = { (X₁ – M) ⁴ + (X₂ – M) ⁴ +… + (X _n – M) ⁴ } / n.

   Нижняя доверительная граница для дисперсии случайной величины имеет вид

S² - U(p)d,

   где S² – выборочная дисперсия,
   U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и выше, в пп.3.1 и 3.2);
   d –положительный квадратный корень из величины d², введенной выше.
   Верхняя доверительная граница для дисперсии случайной величины имеет вид

S² + U(p)d,

   где все составляющие имеют тот же смысл, что и выше.
   При выводе приведенных соотношений используется асимптотическая нормальность выборочной дисперсии, установленная в [55, с.419]. Соответственно доверительный интервал является непараметрическим и асимптотическим.

3.4. Точечное и интервальное оценивание среднего квадратического отклонения

   Дисперсия случайной величины - выборочного среднего квадратического отклонения S – оценивается как дробь

d² / (4 S² ).

   Нижняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения случайной величины имеет вид

S - U(p)d / (2S),

   где S² – выборочная дисперсия,
   U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и выше, в пп.3.1 и 3.2);
   d –положительныйквадратный корень из величины d², введенной выше.
   Верхняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения случайной величины имеет вид

S + U(p)d / (2S),

   где все составляющие имеют тот же смысл, что и выше.
   Правила расчетов настоящего пункта получены из правил предыдущего пункта с помощью метода линеаризации (см. [20, п.2.4]). В рассматриваемом случае доверительный интервал также является непараметрическим и асимптотическим.

   Дисперсия выборочного коэффициента вариации

V_n = S / M

   оценивается с помощью вспомогательной величины

D² = (V_n⁴ - V_n ² / 4 + m ₄ / (4 S ² M ²) - m ₃ /M ³ ) / n ,

   где М – выборочное среднее арифметическое,
   S ² – выборочная дисперсия,
    m ₃ - выборочный третий центральный момент, т.е.

m ₃ = { (X₁ – M) ³ + (X₂ – M) ³ +… + (X _n – M) ³ } / n,

   m ₄ - выборочный четвертый центральный момент (см. выше),
   V_n – выборочный коэффициент вариации,
   n - объем выборки.
   Нижняя доверительная граница для (теоретического) коэффициента вариации случайной величины, описывающей риск, имеет вид

V_n - U(p) D,

   где V_n – выборочный коэффициент вариации,
   U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и выше, в пп.3.1, 3.2 и др.);
   D –положительныйквадратный корень из величины D², введенной выше.
   Верхняя доверительная граница для (теоретического) коэффициента вариации случайной величины имеет вид

V_n + U(p) D,

   где все составляющие имеют тот же смысл, что и выше.
   Как и в предыдущих случаях, доверительный интервал является непараметрическим и асимптотическим. Он получен в результате применения специальной технологии вывода асимптотических соотношений эконометрики. Эта разработанная нами технология в качестве первого шага использует многомерную центральную предельную теорему, примененную к сумме векторов, координаты которых – степени исходных случайных величин. Второй шаг – преобразование предельного многомерного нормального вектора с целью получения интересующего исследователя вектора. При этом используются сооброажения линеаризации и отбрасываются бесконечно малые величины. Третий шаг – строгое обоснование полученных результатов на стандартном для асимптотических математико-статистических рассуждений уровне. Полезными литературныыми источниками являются [20, 56-58].

   Аналогичные результаты могут быть получены и для многих иных популярных эконометрических методов анализа характеристик риска. В частности, оценку связи характеристик можно проводить на основе асимптотической нормальности выборочного коэффициента корреляции [56]. Применение метода наименьших квадратов для линейного прогнозирования не требует принятия гипотезы нормальности, все расчетные формулы сохраняются и при отсутствии такого предположения, за исключением правил доверительного оценивания остаточной дисперсии. Они должны быть построены не на основе хи-квадрат распределения, а в стиле п.3.2 выше.
   Сформулируем несколько принципов эконометрического анализа характеристик рисков. Во-первых, должны быть четко сформулированы исходные предпосылки, т.е. полностью описана используемая вероятностно-статистическая модель. Во-вторых, не следует принимать предпосылки, которые редко выполняются на практике. В-третьих, алгоритмы расчетов должны быть корректны с точки зрения эконометрики. В-четвертых, алгоритмы должны давать полезные для практики выводы. Более подробно требования к алгоритмам анализа данных сформулированы нами в брошюре [59].

   1. Орлов А.И. Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным? / Заводская лаборатория. 1991. Т.57. No 7. С.64-66.
   2. Орлов А.И. О перестройке статистической науки и ее применений / Вестник статистики, 1990, No 1, с.65-71.
   3. Лэйард Р. Макроэкономика. - М.: Джон Уайли энд Санз, 1994.
   4. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. - М.: Наука, 1984.
   5. Аркин В.И., Евстигнеев И.В. Вероятностные модели управления и экономической динамики.- М.: Наука, 1979.
   6. Вероятностные модели и управление экономическими процессами / Под ред. В.И.Аркина.- М.: Центральный экономико-математический институт АН СССР, 1978.
   7. Вероятностные проблемы в экономике. - М.: Наука, 1977.
   8. Вероятностные проблемы управления в экономике/ Под ред. В.И.Аркина. - М.: Наука, 1977.
   9. Вероятностные проблемы управления и математическая экономика/ Под ред. В.И.Аркина, А.Д.Сластникова. - М.: Центральный экономико-математический институт АН СССР, 1984.
   10. Избранные вопросы теории вероятностей и математической экономики / Под ред. С.А.Айвазяна. - М.: Центральный экономико-математический институт АН СССР, 1977.
   11. Исследования по стохастической теории управления и математической экономике/ Под ред. Н.Я.Петракова и др.- М.: Центральный экономико-математический институт АН СССР, 1981
   12. Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. - М.: Наука, 1973.
   13. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. - М.: Наука, 1972.
   14. Никайдо Г. Выпуклые структуры и математическая экономика. - М.: Мир, 1972.
   15. Полтерович В.М., Спивак В.А. Коалиционная устойчивость экономического равновесия.
    - М.: Центральный экономико-математический институт АН СССР, 1978.
   16. Экланд И. Элементы математической экономики. - М.: Мир, 1983.
   17. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. - М.: Наука, 1978.
   18. Ланкастер К. Математическая экономика. - М.: Советское радио, 1972.
   19. Математическая экономика. Сб.статей/ Пер. с англ. - М.: Мир, 1974.
   20. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях.- М.Наука,1979.
   21. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание, 1980.
   22. Орлов А.И., Миронова Н.Ю. Математические модели в экономике. Вероятностное моделирование неопределенностей в экономике. - М.: МГИЭМ(ту), 1994.
   23. Математические модели в экономике. Расчет индекса инфляции/ Орлов А.И., Балашов, В.В., Канакова Е.М., Куроптев О.В., Рафальская А.Э.- М.: МГИЭМ(ту), 1994.
   24. Конюхова Т.А., Орлов А.И. Математические модели в экономике. Модель Вильсона управления запасами. - М.: МГИЭМ(ту), 1994.
   25. Орлов А.И. и др. Математическое моделирование процессов налогообложения. Подходы к проблеме. – М.: ЦЭО Минобразования РФ, 1997.
   26. Орлов А.И. и др. Менеджмент. – М.: Знание, 2000.
   27. Гранатуров В.М. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения. – М.: Дело и Сервис, 1999. – 112 с.
   28. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. - М.: "Экономика"-"Дело", 1992.
   29. Орлов А.И. Неустойчивость параметрических методов отбраковки резко выделяющихся наблюдений. / Заводская лаборатория. 1992. Т.58. No 7. С.40-42.
   30. Орлов А.И. Экспертные оценки - Заводская лаборатория, 1996, т.62, No1, с.54-60.
   31. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы (Обзор) // Заводская лаборатория. 1990. Т.56. No 3. С.76-83.
   32. Орлов А.И. Объекты нечисловой природы // Заводская лаборатория, 1995, т.61, No 3, с.43-52.
   33. Орлов А.И. Вероятностные модели конкретных видов объектов нечисловой природы // Заводская лаборатория, 1995, т.61, No 5, с.43-51.
   34. Дискуссия по анализу интервальных данных / Заводская лаборатория. 1990. Т.56. No 7. С.75-95.
   35. Сборник трудов Международной конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике (ИНТЕРВАЛ-92). Тт. 1,2. - М.: МЭИ, 1992.
   36. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. - Новосибирск: Наука, 1981.
   37. Вощинин А.П. Метод оптимизации объектов по интервальным моделям целевой функции. - М.: МЭИ, 1987.
   38. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. - М.: МЭИ - София: Техника, 1989.
   39. Вощинин А.П., Акматбеков Р.А. Оптимизация по регрессионным моделям и планирование эксперимента. - Бишкек: Илим, 1991.
   40. Дывак Н.П. Разработка методов оптимального планирования эксперимента и анализа интервальных данных. Автореф. дисс. канд.. технич. наук. - М.: МЭИ, 1992.
   41. Симов С.Ж. Разработка и исследование интервальных моделей при анализе данных и проектировании экспертных систем. Автореф. дисс. канд.. технич. наук. - М.: МЭИ, 1992.
   42. ГОСТ 11.011-83. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения. М.: Изд-во стандартов, 1984, 53 с.
   43. Orlov A.I. Interval statistics. - Interval Computations, 1992, No.1(3), р.44-52.
   44. Орлов А.И. Основные идеи интервальной математической статистики. - Наука и технология в России. 1994. No.4(6). С.8-9.
   45. Орлов А.И. О развитии реалистической статистики. - В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1990, с..89-99.
   46. Орлов А.И. Некоторые алгоритмы реалистической статистики. - В сб.:Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1991, с.77-86.
   47. Орлов А.И. О влиянии погрешностей наблюдений на свойства статистических процедур (на примере гамма-распределения). - В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1988, с.45-55.
   48. Орлов А.И. Интервальная статистика: метод максимального правдоподобия и метод моментов. - В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. - Пермь: Изд-во Пермского государственного университета, 1995, с.114-124.
   49. Орлов А.И. Интервальный статистический анализ. - В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Пермский государственный университет, 1993, с.149-158.
   50. Пузикова Д.А. Об интервальных методах статистической классификации. - Наука и технология в России. 1995. No.2(8). С.12-13.
   51. Орлов А.И. Пути развития статистических методов: непараметрика, робастность, бутстреп и реалистическая статистика. - Надежность и контроль качества, 1991, No 8, с.3-8.
   52. Орлов А.И. Современная прикладная статистика. - Заводская лаборатория, 1998, т.64, No3, с.75-95.
   53. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983.
   54. Холлендер М., Вульф Д. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983.
   55. Боровков А.А. Математическая статистика. – М.: Наука, 1984.
   56. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975.
   57. Друянова Г.Б., Орлов А.И. Непараметрическое оценивание коэффициентов вариации технических характеристик и показателей качества. – Надежность и контроль качества. 1987. No 7, С.10-16.
   58. Орлов А.И. Об относительных ошибках двух или нескольких выборочных средних (комментарий). – Заводская лаборатория. 1989. Т.55. No 3. С. 101-102.
   59. Прикладная статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики./ Рекомендации. - М.: ВНИИСтандартизации, 1987.

А.И.Орлов,
д.т.н., профессор МГТУ им. Н.Э.Баумана,
академик Российской академии статистических методов

(Продолжение следует...)

*      *      *

   На сайте http://antorlov.chat.ru или его зеркале http://www.newtech.ru/~orlov Вы можете найти полезные макросы для Microsoft Word 97/2000 для создания книжек размером в половину листа, обьединения множества файлов в один, создания каталогов своих файлов, извлечения из недр Word'а красивых значков. Имеется конвертор "Число-текст" с возможностью автоматического обновления вставленных расшифровок. Также представлен учебник профессора А.И.Орлова по менеджменту, статьи А.И.Орлова по актуальным вопросам статистики и экономики. Имеется лекция об устройстве ядерных реакторов.
   Страница рассылки - http://antorlov.chat.ru/ivst.htm или http://www.newtech.ru/~orlov/ivst.htm.
   Если Вы живете в Москве, то для доступа к сайту www.newtech.ru/~orlov Вы можете воспользоваться бесплатным демо-доступом компании NewTech. Телефоны: (095)234-94-49, (095)956-37-46. Login: demo. Password: test. Вход под этим логином абсолютно бесплатный и открыт круглосуточно. Сеанс связи неограничен. Одновременно возможен вход не более 5 пользователей по демо-доступу. Если Вы видите сообщение об отказе в авторизации, значит, Вы - 6-й пользователь, входящий под этим логином, - повторите попытку позже. Доступ с использованием программы Netscape Navigator требует указания DNS: Primary DNS: 212.16.0.1, Secondary DNS: 193.232.112.1. В последнее время увеличилась загрузка бесплатных линий, так что для дозвона рекомендуется использовать какую-нибудь автоматическую программу вроде EDialer. Отказ сервера в принятии пароля не должен служить основанием для прекращения дозвона.
   На сайте http://karamurza.chat.ru представлена книга видного современного философа и политолога С.Г.Кара-Мурзы "Опять вопросы вождям", которая является глубоким научным исследованием проблем западного и российского общества. Данная книга может серьезно повысить образовательный уровень интересующихся политологическими и социологическими проблемами.

Удачи Вам и счастья!