Фрактал
| Информационный Канал Subscribe.Ru |
 | Википедия - свободная многоязычная энциклопедия. К работе над Википедией приглашаются все желающие: вы можете прямо сейчас изменить или дополнить любую статью или создать новую. |
Фрактал (лат. fractus — «дроблёный») — термин, введённый Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных математических структур, т.е., состоящих из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
Фракталы дают возможность задать линии и поверхности очень сложной формы с помощью нескольких коэффициентов. В компьютерной графике это используется при генерации сложных, похожих на природные, объектов.
| Содержание
|
Классификации фракталов
В основном, фракталы делят на геометрические, алгебраические и стохастические. Однако, существуют и другие классификации, например:
- Рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — т. е. максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.
- Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).
Геометрические фракталы
История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в 19 веке. Фракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность.
В двухмерном случае такие фракталы можно получить задав некоторую ломаную, называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора.
Примерами таких кривых служат
К геометрическим фракталам также относят фракталы получаемые похожими процедурами, например
Алгебраические фракталы
Алгебраические фракталы получили свое название за то, что их строят, используя простые алгебраические формулы. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.
Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.
Алгоритм построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении.
,
где 
— какая-либо функция комплексной переменной.
Для всех точек прямоугольной или квадратной области на комплексной плоскости вычисляем достаточно большое количество раз , каждый раз находя абсолютное значение z. При этом
значения функции для разных точек комплексной плоскости могут иметь разное поведение:
- С течением времени |z| стремится к бесконечности;
- |z| стремится к 0;
- |z| принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;
- Поведение |z| хаотично, без каких-либо тенденций.
Одним из самых распространённых способов раскрашивания точек будет сравнение |z| с заранее выбранным числом, которое считается «бесконечным», т. е. цвет точки равен номеру итерации, на которой |z| достиг «бесконечности» или чёрному в противном случае.
Также можно изменить вид фрактала, если контроль значения z вести другим образом, например:
- Действительная часть z меньше определённого числа;
- Мнимая часть z меньше определённого числа;
- И мнимая и действительная части z меньше какого-либо числа;
- Другие способы.
И, наконец, ещё один интересный эффект — изменение палитры. После того как изображение построено, можно циклически изменять цвета закрашенных областей, и тогда и без того удивительное изображение «оживёт» на экране.
Примеры алгебраических фракталов:
Стохастические фракталы
Кривая Коха, как бы не была похожа на границу берега, не может выступать в качестве её модели из-за того, что она всюду одинакова, самоподобна, слишком «правильна». Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».
Плазма
| Для её построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим
центральные точки прямоугольника и его сторон, и раскрашиваем их в цвет, равный среднему арифметическому цветов по углам
прямоугольника плюс некоторое случайное число, пропорциональное размеру разбиваемого прямоугольника. Прямоугольник разбиваем на 4
равных, к каждому из которых применяется та же процедура. Далее процесс повторяется. Чем больше случайное число — тем более
«рваным» будет рисунок.
Если мы теперь скажем, что цвет точки — это высота над уровнем моря, то вместо плазмы получим горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму, строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура и т.д. |
Плазма
|
Рандомизированный фрактал
| Рандомизованный фрактал строится по обычному алгоритму, за исключением того, что при вычислении на каждой итерации добавляются случайные величины. |
Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа
|
Размерность фрактала
В евклидовой геометрии есть понятие размерности: линия имеет размерность единица, круг имеет размерность два, шар — три. Например, если мы будем измерять длину прямой, то, например, метровых отрезков в ней будет N, полуметровых 2N, дециметровых тАУ 10N и так далее. В данном случае наблюдается прямая пропорциональная зависимость. В случае измерения площади мы уже получим следующие значения: 4N, 100N, т.е. здесь зависимость уже квадратичная. Объём трёхмерных фигур пропорционален кубу их линейных размеров.
Если попытаться применить эти правила к фрактальным объектам, возникает парадоксальная ситуация тАУ их размерность окажется дробным числом. Так как фрактал состоит из бесконечного числа повторяющихся элементов, невозможно точно измерить его длину. Это означает, что чем более точным инструментом мы будем его измерять, тем большей окажется его длина. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное. Таким образом, фрактальная размерность кривой Коха или «колбасы» Минковского будет находиться между 1 и 2.
Самым удивительным оказывается то, что и многие природные объекты обладают дробной размерностью. Например, размерность побережья лежит между 1,01 и 1,6, а кровеносной системы человека тАУ между 2,4 и 2,6.
Чем больше размерность фрактала, тем больше вероятность, что заданная область пространства содержит фрагмент этого фрактала.
Применение фракталов
Генерация изображений природных объектов
Геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т. д. Алгебраические и стохастические — при построении ландшафтов, поверхности морей, карт раскраски моделей биологических объектов и др.
Механика жидкостей
Фракталами хорошо описываются следующие процессы, относящиеся к механике жидкостей и газов:
- Динамика и турбулентность сложных потоков;
- Моделирование пламени;
- Изучение пористых материалов, в том числе в нефтехимии.
Биология
- Моделирование популяций;
- Биосенсорные взаимодействия;
- Процессы внутри организма, например, биение сердца.
Фрактальные антенны
Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной антенны. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.
Сжатие изображений
С помощью фракталов можно сжимать большие растровые изображения до долей их нормальных размеров. Этот утверждение следует из теоремы Банаха о сжимающих преобразованиях (также известной как Collage Theorem) и является результатом работы исследователя Технологического института шт. Джорджия Майкла Барнсли.
Вкратце метод можно описать следующим образом. Изображение кодируется несколькими простыми преобразованиями (в нашем случае аффинными), т. е. коэффициентами этих преобразований (в нашем случае A,B,C,D,E,F).
Например, закодировав какое-то изображение двумя аффинными преобразованиями, мы однозначно определяем его с помощью 12-ти коэффициентов. Если теперь задаться какой-либо начальной точкой (например, X=0 Y=0) и запустить итерационный процесс, то мы после первой итерации получим две точки, после второй — четыре, после третьей — восемь и т. д. Через несколько десятков итераций совокупность полученных точек будет описывать закодированное изображение. Но проблема состоит в том, что очень трудно найти коэффициенты преобразований, которые кодировали бы произвольное изображение.
Несмотря на то, что было создано программное обеспечение, реализующее эти алгоритмы и использование библиотек фрактального сжатия в Microsoft Encarta, достаточное эффективное решение не найдено до сих пор, а сам Майкл Барнсли продолжает упорно работать в выбранном направлении.
Ссылки
Программы для генерации фрактальных изображений
- Fractal Explorer (http://www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/index.html) — лучшая на сегодняшний день программа для создания изображений фракталов;
- Fracint (http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html) — очень мощная программа, но, к сожалению, работающая под MS-DOS и развитие которой остановилось на версии 20;
- EyeFract (http://eye.jimbomania.com/eyefract.html)
- Mfract (http://www.rechka.ru/fract/)
Источники информации
При написании статьи и создании для нее изображений, использовалась информация со следующих страниц в Интернете (на русском языке):
- Fractal World (http://fractalworld.chaos.ru/) — сайт, на котором представлена широкая подборка видов фракталов с текстами программ для их построения;
- Фракталы и теория хаоса (http://www.ghcube.com/fractals/)
- Фрактальное сжатие графики (http://stanislaw.ru/rus/research/fractal.htm)
- Введение во фракталы (http://robots.ural.net/fractals/intro/fractals.htm)
- Доступно о фракталах (http://fract.narod.ru/index.htm)
- Фракталы от OCo (http://oco.newmail.ru/)
- Всё о фракталах (http://www.tmn.fio.ru/works/02x/306/fractals/Begin.html)
- Красивая жизнь комплексных чисел (http://www.arbuz.uz/x_complex.html)
- Фракталы вокруг нас (http://theory.dcn-asu.ru/~raikin/Students/Books/Fractals/1/fractals.html)
Фрактал (лат. fractus — «дроблёный») — термин, введённый Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных математических структур, т.е., состоящих из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
Фракталы дают возможность задать линии и поверхности очень сложной формы с помощью нескольких коэффициентов. В компьютерной графике это используется при генерации сложных, похожих на природные, объектов.
| Содержание
|
Классификации фракталов
В основном, фракталы делят на геометрические, алгебраические и стохастические. Однако, существуют и другие классификации, например:
- Рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — т. е. максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.
- Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).
Геометрические фракталы
История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в 19 веке. Фракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность.
В двухмерном случае такие фракталы можно получить задав некоторую ломаную, называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора.
Примерами таких кривых служат
К геометрическим фракталам также относят фракталы получаемые похожими процедурами, например
Алгебраические фракталы
Алгебраические фракталы получили свое название за то, что их строят, используя простые алгебраические формулы. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.
Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.
Алгоритм построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении.
- ,
где — какая-либо функция комплексной переменной.
Для всех точек прямоугольной или квадратной области на комплексной плоскости вычисляем достаточно большое количество раз , каждый раз находя абсолютное значение z. При этом
значения функции для разных точек комплексной плоскости могут иметь разное поведение:
- С течением времени |z| стремится к бесконечности;
- |z| стремится к 0;
- |z| принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;
- Поведение |z| хаотично, без каких-либо тенденций.
Одним из самых распространённых способов раскрашивания точек будет сравнение |z| с заранее выбранным числом, которое считается «бесконечным», т. е. цвет точки равен номеру итерации, на которой |z| достиг «бесконечности» или чёрному в противном случае.
Также можно изменить вид фрактала, если контроль значения z вести другим образом, например:
- Действительная часть z меньше определённого числа;
- Мнимая часть z меньше определённого числа;
- И мнимая и действительная части z меньше какого-либо числа;
- Другие способы.
И, наконец, ещё один интересный эффект — изменение палитры. После того как изображение построено, можно циклически изменять цвета закрашенных областей, и тогда и без того удивительное изображение «оживёт» на экране.
Примеры алгебраических фракталов:
Стохастические фракталы
Кривая Коха, как бы не была похожа на границу берега, не может выступать в качестве её модели из-за того, что она всюду одинакова, самоподобна, слишком «правильна». Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».
Плазма
| Для её построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим
центральные точки прямоугольника и его сторон, и раскрашиваем их в цвет, равный среднему арифметическому цветов по углам
прямоугольника плюс некоторое случайное число, пропорциональное размеру разбиваемого прямоугольника. Прямоугольник разбиваем на 4
равных, к каждому из которых применяется та же процедура. Далее процесс повторяется. Чем больше случайное число — тем более
«рваным» будет рисунок.
Если мы теперь скажем, что цвет точки — это высота над уровнем моря, то вместо плазмы получим горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму, строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура и т.д. |
Плазма
|
Рандомизированный фрактал
| Рандомизованный фрактал строится по обычному алгоритму, за исключением того, что при вычислении на каждой итерации добавляются случайные величины. |
Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа
|
Размерность фрактала
В евклидовой геометрии есть понятие размерности: линия имеет размерность единица, круг имеет размерность два, шар — три. Например, если мы будем измерять длину прямой, то, например, метровых отрезков в ней будет N, полуметровых 2N, дециметровых тАУ 10N и так далее. В данном случае наблюдается прямая пропорциональная зависимость. В случае измерения площади мы уже получим следующие значения: 4N, 100N, т.е. здесь зависимость уже квадратичная. Объём трёхмерных фигур пропорционален кубу их линейных размеров.
Если попытаться применить эти правила к фрактальным объектам, возникает парадоксальная ситуация тАУ их размерность окажется дробным числом. Так как фрактал состоит из бесконечного числа повторяющихся элементов, невозможно точно измерить его длину. Это означает, что чем более точным инструментом мы будем его измерять, тем большей окажется его длина. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное. Таким образом, фрактальная размерность кривой Коха или «колбасы» Минковского будет находиться между 1 и 2.
Самым удивительным оказывается то, что и многие природные объекты обладают дробной размерностью. Например, размерность побережья лежит между 1,01 и 1,6, а кровеносной системы человека тАУ между 2,4 и 2,6.
Чем больше размерность фрактала, тем больше вероятность, что заданная область пространства содержит фрагмент этого фрактала.
Применение фракталов
Генерация изображений природных объектов
Геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т. д. Алгебраические и стохастические — при построении ландшафтов, поверхности морей, карт раскраски моделей биологических объектов и др.
Механика жидкостей
Фракталами хорошо описываются следующие процессы, относящиеся к механике жидкостей и газов:
- Динамика и турбулентность сложных потоков;
- Моделирование пламени;
- Изучение пористых материалов, в том числе в нефтехимии.
Биология
- Моделирование популяций;
- Биосенсорные взаимодействия;
- Процессы внутри организма, например, биение сердца.
Фрактальные антенны
Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной антенны. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.
Сжатие изображений
С помощью фракталов можно сжимать большие растровые изображения до долей их нормальных размеров. Этот утверждение следует из теоремы Банаха о сжимающих преобразованиях (также известной как Collage Theorem) и является результатом работы исследователя Технологического института шт. Джорджия Майкла Барнсли.
Вкратце метод можно описать следующим образом. Изображение кодируется несколькими простыми преобразованиями (в нашем случае аффинными), т. е. коэффициентами этих преобразований (в нашем случае A,B,C,D,E,F).
Например, закодировав какое-то изображение двумя аффинными преобразованиями, мы однозначно определяем его с помощью 12-ти коэффициентов. Если теперь задаться какой-либо начальной точкой (например, X=0 Y=0) и запустить итерационный процесс, то мы после первой итерации получим две точки, после второй — четыре, после третьей — восемь и т. д. Через несколько десятков итераций совокупность полученных точек будет описывать закодированное изображение. Но проблема состоит в том, что очень трудно найти коэффициенты преобразований, которые кодировали бы произвольное изображение.
Несмотря на то, что было создано программное обеспечение, реализующее эти алгоритмы и использование библиотек фрактального сжатия в Microsoft Encarta, достаточное эффективное решение не найдено до сих пор, а сам Майкл Барнсли продолжает упорно работать в выбранном направлении.
Ссылки
Программы для генерации фрактальных изображений
- Fractal Explorer (http://www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/index.html) — лучшая на сегодняшний день программа для создания изображений фракталов;
- Fracint (http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html) — очень мощная программа, но, к сожалению, работающая под MS-DOS и развитие которой остановилось на версии 20;
- EyeFract (http://eye.jimbomania.com/eyefract.html)
- Mfract (http://www.rechka.ru/fract/)
Источники информации
При написании статьи и создании для нее изображений, использовалась информация со следующих страниц в Интернете (на русском языке):
- Fractal World (http://fractalworld.chaos.ru/) — сайт, на котором представлена широкая подборка видов фракталов с текстами программ для их построения;
- Фракталы и теория хаоса (http://www.ghcube.com/fractals/)
- Фрактальное сжатие графики (http://stanislaw.ru/rus/research/fractal.htm)
- Введение во фракталы (http://robots.ural.net/fractals/intro/fractals.htm)
- Доступно о фракталах (http://fract.narod.ru/index.htm)
- Фракталы от OCo (http://oco.newmail.ru/)
- Всё о фракталах (http://www.tmn.fio.ru/works/02x/306/fractals/Begin.html)
- Красивая жизнь комплексных чисел (http://www.arbuz.uz/x_complex.html)
- Фракталы вокруг нас (http://theory.dcn-asu.ru/~raikin/Students/Books/Fractals/1/fractals.html)
Описание Википедии | Описание рассылки | Отказ от ответственности
| Subscribe.Ru
Поддержка подписчиков Другие рассылки этой тематики Другие рассылки этого автора |
Подписан адрес:
Код этой рассылки: rest.interesting.wikipedia |
Отписаться
Вспомнить пароль |
| В избранное | ||
