01.04.11. Выпуск 295 

Цитирую концовку предыдущего выпуска. 

«Мне посчастливилось, многие годы общаться с одним из самых гениальных ученых нашего  времени. Он практически неизвестен именно потому, что математикам его технические приложения малопонятны, потому как там надо разбираться в технике, а техники его не понимают, так как не разбираются в большой математике.

В двух словах: это единственный в мире специалист связывающий энергию и информацию. Так вот, именно он  мне рассказал о голосовых феноменах описанных в книге А.Богданова. В частности о передвижении огромных многотонных каменных масс по воздуху при строительстве египетских пирамид. Понятно,  что я эту книгу на следующий день достал и прочитал.

Суть явления моим близким знакомым объясняется так: наше тело состоит из многих сотен миллионов элементов, которые если  привести в резонанс, то эффект будет совершенно фантастический.

Никакие современные артиллерийские орудия не смогут сравняться  с этой силой.

Когда он мне сказал об этом, я сразу вспомнил голос новорожденного достигающего силы звучания симфонического оркестра и крик человека, находящегося в смертельной опасности.

Поскольку науки о голосе не было и нет (общество еще не доросло для использования голоса в  практических целях), то обратиться нам не к кому. Для успокоения совести  делаю это сообщение для моих подписчиков.

Ниже следующий текст размещен в интернете пару дней назад в теме поставленной Русланом Хасбулатовым в ГАЙД-ПАРКЕ

Потребительская идеология уничтожает человечество

Итак, мой комментарий.

«Пока наука в нашей стране будет на задворках, ничего хорошего ждать не приходится. Есть немало ученых, воплощение идей которых могло бы кардинально поменять нашу жизнь. Приведу конкретный пример. В Петербурге живет недооцененный выдающийся ученый Пушкин С.В. Он к.т.н. с.н.с. работает на стыке математики и техники. Суть его новаций в том, что с помощью своих методов он выделяет сигнал из шума. Если бы его идеи, которые он выдвинул более 20 лет назад были приняты практикой, то не было бы аварии на Саяно-Шушенской ГЭС, самолеты не падали бы, диагностика заболеваний была бы в 100 раз эффективней. Докторскую ему не дали защитить, так как слишком опередил время. Зарплата в концерне "Морское подводное оружие", где он работает 10 тыс. руб. А идеи, которые он развивает касаются фундаментальных проблем естествознания, начиная от раскрытия генетического кода, структуры периодической системы Менделеева ,элементарных частиц, объяснение акупунктурной системы китайской медицины, для лечения всех болезней и единой теории поля для объяснения происхождения вселенной. Математический аппарат в статье «Логико-вероятностный метод разрешения неопределённости при передаче информации».

Хоть это и не совсем по теме, но этот текст не должен пропасть. Здесь будущее человечества.

ЛОГИКО-ВЕРОЯТНРОСТНЫЙ МЕТОД РАЗРЕШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ИНФОРМАЦИИ.

LOGIC-PROBABILITY METHOD OF THE AMBIGUITY SOLUTION FOR DATAT TRANSMISSION.

В статье излагается математический аппарат принципа неопределенности в гидроакустике на основе логико-вероятностного представления и логических преобразований над конечным полем Галуа. Приведён численный пример разрешения функции неопределённости.
Ключевые слова: дизъюнкция, конъюнкция, алгебра Жегалкина, булева алгебра на полем GF(2n), функция неопределённости.

The paper describes mathematical methods for hydroacoustic principle of ambiguity on the base of logic-probability presentation and logic transformations above Galois’ finite field GF(2n). The numerical method of ambiguity function solution is given.
Key words: disjunction, conjunction, Ghegalkin's algebra, Bool's algebra above Galois’ finite field GF(2n), ambiguity function.

Введение
На первой международной конференции по гидроакустике был представлен доклад о шумоподобных сигналах с идеальной функцией неопределенности с зондирующей посылкой в форме дискретной суммы гармонических излучателей, получаемые методом модуляции двоичными или четвертичными последовательностями Велти-Голея [1]. Декодирование их осуществлялось на основе преобразования Адамара и логических функций на нейронной сети из мажоритарных трехвходовых логических элементах, по аналогии с передачей  генетического четверичного кода в молекуле ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота) со считыванием оснований аминокислот триплетами в клетках, например, китообразных животных.
Использование таких кодов имеет ряд преимуществ, в частности для борьбы с многолучевостью. Недостатками этих  кодов является с одной стороны необходимость излучать одновременно как синусоидальный, так и косинусоидальный волновой пакет, либо излучать два периода с анализом или декодированием на одном периоде, что снижает скорость передачи информации.

1. Основные уравнения
Волновое уравнение, описывающее процесс распространения гидроакустической информации для акустического рассеивателя с постоянной энергией E и потенциальной энергией R, зависящей от координат r, используя гамильтонову форму можно представить в виде дифференциального уравнения
 ,
где   – сжатие и плотность среды.
Оптимальный вид зондирующей посылки при этом определяется решением этого волнового уравнения, которое представляет собой волновой пакет в виде дискретной суммы гармонических излучателей.
Представление решения волнового уравнения в виде эрмитовой формы для кода Велти-Голея позволяет осуществить алгоритм быстрого преобразования с помощью малозаполненных матриц Гуда, последняя ступень которой содержит на каждой строке и столбце 1 и –1, свернутые в двойную спираль [1].
Нулевой боковой лепесток функции неопределенности при этом получается с помощью сложения синусоидального и косинусоидального откликов второй симметричной функции от переменных функций Уолша.
Для повышения скорости передачи информации и обработки ее на одном периоде используются фазоманипулированные коды Рида–Соломона с дискретно-логическим декодированием над полем Галуа  [2,3]. Сущность дискретного логического декодирования кодов Рида–Соломона заключается в получении с помощью булевого преобразования ганкелевой формы
 ,
где   и   прямое и обратное булево преобразование над полем Галуа  .   – принимаемый вектор-сигнал, в виде диагональной матрицы над  .
Вектор ошибок находится обращением миноров  -порядка,   в виде синдрома ошибок. По полученному синдрому определяется локатор ошибок, исправляются ошибки и полученный вектор с помощью преобразования Лапласа декодируется в виде соответствующего кода Рида–Соломона r-порядка в алгебре Жегалкина.

2. Функция неопределенности
В основе волновой механики лежит гипотеза де Бройля [4] о волновых свойствах частиц вещества, и если поступить аналогично этой гипотезе, то для элементарного акустического рассеивателя длина волны   связанная с ее распространением может быть представлена в виде:
 ,
где   – импульс,   – коэффициент сжатия.
Согласно статистической интерпретации, волны де Бройля имеют особый физический смысл «волн вероятности». Интенсивность волн вероятности служит мерой вероятности обнаружить акустический рассеиватель в данном месте пространства. Распределение вероятности нахождения акустического рассеивателя в данном месте пространства в данный момент времени характеризуется функцией  , называемой волновой функцией. Эта функция может быть как действительной, так и комплексной. Физический смысл имеет лишь квадрат ее модуля:
 ,
где   – функция, комплексно-сопряженная  . Эта величина имеет смысл плотности вероятности пребывания акустического рассеивателя в данной области пространства и называется функцией неопределенности.
Для наглядного изображения изменения состояния системы вводится многомерное пространство для обобщенных координат   и обобщенных импульсов   рассматриваемой системы ( ). Такое  -мерное пространство называется фазовым. Состояние любой классической системы изображается точкой в соответствующей этой системе фазовом пространстве. Изменение состояния системы отображается траекторией фазовой точки в фазовом пространстве. Фазовая траектория не может пересекаться сама с собой, ибо это означало бы неоднозначность решения уравнения Гамильтона. Фазовое пространство не имеет ничего общего с реальным пространством и является геометрической схемой, с помощью которой законы изменения состояния системы могут быть сформулированы на геометрическом языке.
 В гамильтониановой форме волновая функция для акустического рассеивателя записывается также в виде:
 .

3. Логико-вероятностное представление решения волнового уравнения
Если принять энергию акустических рассеивателей за 1, соответствующей безотказному функционированию любой сложной системы, состояние которой можно представить в условных вероятностях в дизъюнктивно-конъюнктивной форме булевой функции с ее топологией, то волновая функция   примет вид:
 ,
где   – диагональная матрица переменных  ,   и их произведений;   – оператор Лапласа в базисе условных вероятностей.
В простейшем случае волновую функцию   от n-переменных в булевом пространстве размерности   можно представить в виде дизъюнкции состояний, определяемых конъюнкциями и принимающими значение 1 или 0, т.е. булевой функции в дизъюнктивно-конъюнктивном базисе, которая в алгебре полиномов Жегалкина станет:
 ,
где   – обратный оператор Лапласа в базисе полиномов Жегалкина  .
С другой стороны, принимая   за вероятность функционирования независимой переменной системы, а   за отказ функционирования от этой переменной, то всякое состояние волновой функции  , выражается полиномом, соответствующей конъюнкции этого состояния.
Тогда решение волнового уравнения представится в виде билинейной алгебраической формы:
 .
В частности, при равномерном распределении переменных   с вероятностью   получаем в качестве волновой функции хорошо известное преобразование Уолша. Волновая функция Уолша представляет собой набор синусоидальных и косинусоидальных функций  . Гамильтониан сложной механической системы тогда представляется в виде:
 ,
т.е. в базисе ортогональных функций Лапласа как билинейная форма в виде скалярного произведения
 ,
где   – булева функция в алгебре Жегалкина,   – вектор вероятностей в базисе  .
Обратное преобразование над полем вещественных чисел совпадает с дискретным преобразованием решетчатой функции [5], т.е. функцией, значения которой определяются только при дискретных равноотстоящих друг от друга значениях независимой переменной. Между этими значениями независимой переменной решетчатая функция не существует. В системах функций алгебры логики (ФАЛ) будем называть решетчатой функцией вектор Х, элементы которого принадлежат конечному полю Галуа   - 0 или 1, размерности  , где n – число независимых переменных в базисе конъюнкций. В этом случае решение волнового уравнения в булевом пространстве представится в виде  , а гамильтониан сложной механической системы в виде графа состояний:
 ,
вследствие того, что  , где все операции выполняются над конечным полем Галуа  .
Моделирование инвариантности гамильтониановой формы для синусоидальных сигналов проводилось с помощью дискретного преобразования над полем Галуа  , расширением   неприводимым примитивным полиномом  , размерности  . В качестве главных векторов пучка положительно определенной формы потенциальной энергии над   выбраны векторы в виде столбцов, состоящих из двух единиц размерности  .
После перемножения сопряженных коэффициентов булевого преобразования над   всех этих 15 векторов получается унитарная матрица потенциальной энергии F
 .
Сопряженная над   матрица которой станет  . Булево преобразование над   от которой дает 15 синусоидальных сигналов размерности 15 при нулевой фазе. Матрица   получается после перемножения коэффициентов булевого преобразования над   всех синусоидальных сигналов при различных сдвигах по фазе при квантовании  . В метрике потенциальной энергии   станет вещественной, т.е. над
 .
Откуда следует, что гамильтониан 15 синусоидальных сигналов отквантованных по переходам через нуль с дискретизацией   не зависит от фазы, т.е. инвариантен по времени, который позволяет с помощью булевого преобразования квадратичной формы, описывающей кинетическую энергию перемножением сопряженных ее членов, различать их независимо от фазы.
В заключение необходимо отметить, что все эти замечательные свойства принципа неопределенности являются следствием математического аппарата принципа максимума Понтрягина [6] и его принципа двойственности для локально-компактных топологических групп построенных по топологии булевых функций [7].

4. Алгоритм дискретно-логического декодирования кодов Рида-Соломона.
Тождественные соотношения для декодирования кодов Рида-Соломона представляют собой ганкелеву форму вида:
которая получается с помощью булевого преобразования вида:
Г=BXB-1
где X – диагональная матрица решётчатой функции принимаемого сигнала.
Задача нахождения вектора ошибок для кодов Рида-Соломона 1 порядка сводится к обратному преобразованию минора r1-го порядка, где r1=2n-1-1 и т.д. По полученному локатору ошибок производится исправление ошибок, заменяется 1 на нуль, а нуль на единицу, и декодируется полученный вектор с помощью преобразования Лапласа в виде кода Рида-Соломона r-го порядка в алгебре Жегалкина.
Чтобы при вычислениях синдромов ошибок не оперировать с матрицами больших размеров, можно воспользоваться теоремой Гохберга [9] при вычислении обратной теплицевой матрицы, который состоит в определении двух векторов X и Y для матрицы T с элементами над полем Галуа GF(2n) вида
в виде следующего алгоритма [10]:

5. Решение булевых уравнений на базе теории кодов, исправляющих ошибки.
Будем искать решение булевых уравнений по решётчатому вектору X=ФАЛ в алгебре Жегалкина, ограничиваясь полиномами первого порядка, затем второго порядка и т.д. в зависимости от требуемой точности решения. Тогда с помощью подстановки Галуа над расширением поля Галуа GF(2n) задачу булевых уравнений можно свести к задаче декодирования кода Рида-Соломона 1 порядка, 2 порядка и т.д. в зависимости от его исправляющей способности.
Согласно алгоритма, изложенного в предыдущем разделе, синдром ошибок может быть получен из анализа теплицевых или ганкелевых форм [8], которые легко получаются с помощью дискретного булевого произведения.

T=BZB-1 H=BZB
где
T – теплицева матрица
H – ганкелева матрица
B – дискретное булево преобразование над GF(2n)
Z – диагональная матрица ФАЛ
Продемонстрируем это на простейшем примере
Пусть требуется декодировать код Рида-Соломона 1 порядка, порождённый неприводимым примитивным полиномом   над GF(2) с одной ошибкой на 3 месте.


       Код Рида-Соломона 1 порядка
       Ошибка
       Z

По полученной ганкелевой форме H находим уравнение синдрома, содержащее ошибку

 над GF(23)

Откуда x=2, т.е. локатор ошибка находится на 3 месте по упорядочении ошибки по классу вычетов.

       Локатор ошибки
       Класс вычетов

Для нахождения более одной ошибки необходимо составить минор ганкелевой формы размерности количества исправляемых ошибок i=Hi, и с помощью нахождения обратного минора   найти уравнения синдрома, содержащего в качестве его корней локатор ошибок.
Продемонстрируем это на примере кода Рида-Соломона 1 порядка, порождённом неприводимым примитивным полиномом   над GF(2) с тремя ошибками на 2, 5 и 11 местах.

       Код Рида-Соломона 1 порядка
       Ошибка
       Номера ошибок

После умножения на булеву матрицу получаем ганкелеву форму размерностью 24-1=15;
Из которой видно, что минор третьего порядка имеет следующий вид:

А на продолжении этой ганкелевой формы – вектор-столбец, на который необходимо умножить обратную матрицу минора   чтобы получить уравнение синдрома ошибок, содержащего номера локатора ошибок.
Методом Гаусса находим H-1 и, решая уравнение, получаем:

Уравнение синдрома ошибок:

Решением которого является локатор ошибок с номерами, определяемыми из дискретного булевого преобразования:

т.е. точки, стоящие на 2, 5 и 11 местах, указывают в полученном решении локатора номера ошибок.

6. Обращение матриц алгоритмом Гохберга.
Вычисление обратной матрицы в данном примере осуществлялось методом Гаусса, что в практических случаях для больших размерностей становится довольно  громоздким и длительным по времени. Для этой цели логично воспользоваться алгоритмом согласно теореме Гохберга, изложенной в предыдущем разделе. Продемонстрируем это на простейшей теплицевой форме размерности 4:     ;;;  

Хотя для простейшего примера это довольно громоздкая процедура, чем метод Гаусса, она имеет ряд преимуществ при больших размерностях, что будет видно из описания следующего раздела.

7. Вероятностные соотношения по помехоустойчивости.
В соответствии с квантованием принимаемого сигнала по переходам через нуль для двоичной информации без избыточности вероятность ошибки на двоичную единицу равна полной вероятности неправильной оценки помехоустойчивости.
где   и   - априорные вероятности оценки сигналов,   - вероятность выбора сигнала  , если истинный сигнал  ,  . при одинаковых априорных вероятностях  ,   и равных средних мощностях сигналов
 при
где S – мощность сигнала длительности T
 – спектральная плотность белого Гауссовского шума
При декодировании кодов Рида-Соломона благодаря корректирующим свойствам кода часть ошибок, кратность которых не превосходит t, может быть исправлена, вероятность правильного приёма станет
Вследствие того, что это выражение является одновременно оценкой для вероятности правильного обнаружения блока k – информационных символов, то эквивалентную вероятность ошибки на двоичный символ можно выписать по приближённой формуле [11]:

Задаваясь вероятностью ошибки 10-2 при нормальном распределении ошибок в заданной частотной области W на интервале длительности исследуемого  процесса T при количестве дискрет 2WT получим приближённое соотношение сигнал/шум широкополосной подводной связи в зависимости от количества исправляемых ошибок. Так для количества дискрет 1024 количество исправляемых ошибок для кода Рида-Соломона первого порядка составляет 255, что соответствует при этом функционированию предложенного алгоритма при соотношении сигнал/шум, равному 1/30 соответственно декодированию кода Рида-Соломона второго порядка будет осуществляться при соотношении сигнал/шум равном 1/15, что соответствует исправлению 127 ошибок, третьего порядка при соотношении сигнал/шум 1/7, что соответствует исправлению 31 ошибки, и пятого порядка при соотношении сигнал/шум 1/1, что соответствует исправлению 15 ошибок.
Дальнейшее повышение помехоустойчивости предложенного алгоритма будет обеспечиваться высокопроизводительным процессором, оснащённым современной технологией элементной базой, что позволит осуществлять функционирование предложенного алгоритма для подводной широкополосной связи при 200000 дискрет. Декодирование Рида-Соломона 1 порядка в этом случае будет функционировать при соотношении сигнал/шум – 55 дБ, декодирование кода Рида-Соломона 2 порядка при соотношении сигнал/шум – 45 дБ, декодирование кода Рида-Соломона 3 порядка при соотношении сигнал/шум – 40 дБ, декодирование кода Рида-Соломона 4 порядка при соотношении сигнал/шум – 1/50 и декодирование кода Рида-Соломона 9 порядка при соотношении сигнал/шум – 1/2. При этом скорость передачи информации с увеличением порядка кода Рида-Соломона увеличивается в два раза.
Литература
Пушкин С.В. 1 С-Петербургская международная конференция «Конверсионные технологии гидроакустики ГА-94». Тезисы докладов. СПб, 1994.
Пушкин С.В., Тварадзе С.В. Дискретно-логическое декодирование фазоманипулированных сигналов Рида-Соломона в подводных широкополосных системах передачи информации. Международная конференция по подводным технологиям. SubSea TECH. СПб, 2007.
Пушкин С.В. Телеметрия подводного объекта на основе дискретно-логического декодирования кодов Рида-Соломона. Труды IX Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». СПб, 2008.
Левин В.Г., Вдовин Ю.А., Мямлин В.А. Курс теоретической физики. Т.2. М., 1974.
Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М., 1963.
Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М., 1973.
Владимиров Д.А. Булевы алгебры. М., 1969.
В. М. Муттер. "Основы помехоустойчивости телепередачи информации" энергоатомиздат, Ленинград 1990
Гохберг Н. Ц. и Семенцул А. А. "Об обращении конечных теплицевых матриц и их континуальных аналогов. Математические исследования", Кишинёв VII, вып. 2 (24), 1972, стр. 201-223
В. В. Воеводин, Е. Е. Тыртышников. "Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами", Москва, Наука, 1987, стр. 151.
В. Д. Колесник, Мирончиков. "Мажоритарное декодирование". Сов. Радио, М. 1965 г.

На статью к.т.н. Пушкина С.В. "Логико-вероятностный метод разрешения неопределённости при передаче информации".
В статье представлен новый взгляд на измерение энтропии  при передаче информации при гидроакустическом исследовании, реализуемый на основе дискретно-логических преобразований над конечным полем Галуа GF(2n). Показано, что функция неопределённости, характеризующая энтропию сообщения, может быть вычислена с помощью логико-вероятностного метода. Приведён численный пример, связывающий логическую функцию сигнала с вероятностью его декодирования с исправлением ошибок в приёмо-передающем канале. Оценена помехоустойчивость распознавания при различных скоростях передачи информации. Предложенный математический аппарат поможет простыми средствами решать инженерные проблемы,  возникающие при проектировании систем передачи информации с использованием современной нанотехнологии.

Д-р физ-мат. наук, Б.Г. Вагер.

28 октября 2010 года.

 Все мои мероприятия на моем сайте www.bagrunov.ru  

Будьте в Голосе! Владимир Багрунов.