Здравствуйте уважаемые подписчики.
Эта рассылка призвана помочь школьникам и абитуриентам в их занятиях по
математике. В каждом номере рассылки планируется публикация нескольких
задач, решения которых вы можете присылать мне. Наиболее интересные решения
будут опубликованы в следующих номерах рассылки. Также в рассылку включены
справочные материалы, которые могут помочь вам в ваших занятиях. Если
у вас есть интересные задачи, присылайте их мне.
Будем пытаться их решить все вместе.
Задачи
25. Найти все значения a, при которых система имеет хотя бы одно решение:
26.Записано уравнение х^3 + х^2 + х + = 0. Играют двое. Ходят по
очереди. За один ход разрешается на одну свободную клетку поставить целое
число. Выиграет первый, если после его второго хода все три корня уравнения
будут целыми числами. Может ли выиграть первый? Если может, то укажите
его выиграшную стратегию. Если нет, то почему? Прислал
Karpov. Ответить.
27. Доказать, что при любом натуральном n число 11n+2+122n+1
делиться на 133. Ответить.
*) Ответы на данные задачи будут опубликованны
в следующих выпусках, когда придет хотя бы одно решение.
**) Свои решения присылайте мне. Наиболее
интересные из них будут опубликованы.
Решения
21.Уравнение x8+ax4+1=0 имеет ровно
четыре различных действительных корня, если соответствующее уравнение
t2+at+1=0, где t=x4, имеет два различных положительных
корня. Это имеет место, если дискриминант уравнения положителен, а второй
коэффициент отрицателен, то есть a2–4>0 и a<0, откуда
a<–2. Получим 4 корня:
X1=4V(0.5(-a + V(a2-4)))
X2= -4V(0.5(-a + V(a2-4)))
X3=4V(0.5(-a - V(a2-4)))
X4= -4V(0.5(-a - V(a2-4)))
(4V– это корень четвертой степени) По условию
задачи, эти корни должны образовывать арифметическую прогрессию. Расположим
их по возрастанию: x2, x4, x3, x1
Для выполнения данного условию достаточно потребовать выполнение следующей
системы:
2x4= x2+ x3
a<=2
Решая эту систему, получаем, что а=-82/9
Ответ: при а=-82/9
Автор решения: Юлия
Правильные решения прислали:
Юлия, Karpov, Позин Евгений, Елена М., ANG.
22. Дано: x,x+2y,2x+y - ариф. пр.
(y+1)2, xy+5,(x+1)2 - геом.пр.
Найти: x,y
Решение: по характеристическому св-ву ариф. и геом. пр.
2*(x+2y) = x + 2x + y
(xy + 5)2 = (y+1)2 * (x+1)2
Из первого уравнения получаем:
x=3y
Из второго получаем
23 Решение анологично решению задачи №21. Ответ: a=8/65.
Правильные решения прислали:
Позин Евгений, ANG, Елена М.
24. Пусть x - количество страниц в рукописи, т.е. каждый
день ей нужно было набирать x/6 страниц, чтобы закончить работу вовремя.
Но она набирала на 5 страниц больше: x/6+5. За четыре первых дня она
напечатала 4*(x/6+5) страниц. Так как ей, за оставшиеся 2 дня, осталось
набрать еще 30 страниц получаем:
4*(x/6+5)+30=x
(-1/3)*x=-50
x=150
Отсюда скорость: 150/6+5=30
Ответ: 30 страниц в день.
Правильные решения прислали:
Юлия, Si, Софьин Матвей, Karpov ,
Позин Евгений, ANG.
Словарик
Так, как HTML-редактор это все же не Mathcad, то пришлось ввести специальные
обозначения для некоторых математических символов:
1. 4Va - корень 4-ой степени из a.
*) Для получателей TXT версии рассылки настоятельно рекомендую
перейти на HTML.
Рейтинг (десятка лучших)
1. Позин Евгений - 6 очков
2. ANG - 4 очка
3. Юлия - 3 очка
4. Елена М. - 2 очка
5. Софьин Матвей - 2 очка
6 Karpov - 2 очка
7 кАй - 1 очко
8 Felix - 1 очко
9 Swandle - 1 очко
10 Скороходов Виктор - 1 очко
Всего участвует 13 человек.
Юмор
1.Три фунта правды,
Пуд коварства.
Три грамма верности,
Пуд зла.
Hахальства - десять килограммов,
Притворства двадцать два ведра.
Одна восьмая грамма чести,
И постоянства один грамм.
К мужчинам жадности тонн двести,
Три тонны жадности к деньгам.
Теперь сложить все это вместе,
Добавить дури три ведра.
Поставить все в прохладном месте,
И вот вам: Женская душа!
2.Давайте относиться к жизни проще. Живыми нам из нее все равно не выбраться
3.Запущен Windows. Для перехода к следующей ошибки нажмите кнопку "Далее"
4.Сербский мальчишка из Светлых Иных
Вдруг наплевал на себя и на них.
Долго смеялся потом Завулон,
В пепельной яме ища Вашингтон.
5.Хроники лаборатории. Детство.
15 июня. Первый рабочий день. Рад. Учеба позади. Буду приносить пользу
обществу. Сказал об этом новому шефу. Он посмотрел как-то странно.
16 июня. Осваиваюсь. Знакомлюсь со сленгом и основными ценностями нового
коллектива.
17 июня. Учился обслуживать оптику. Тонкослойным методом. Это крайне
экономичный и многоцелевой прием. Суть - залпом и без закуски выпивается
грамм 50 спирта. Энергичный выдох на обрабатываемую поверхность с последующим
воздействием мягкой ветошью.
18 июня. Появился еще один новичок. Математик. Лохмат, небрит, в глазах
жажда деятельности. Вылитый я.
19 июня. Проходили базовый ликбез. Экскурсия по основным установкам,
одну из которых вверяют нам. Мощные гидроприводы. Hагревательная камера.
Говорят, рельсы разрывать можно.
23 июня. Действительно, можно. Однако лучше, пользуясь инфракрасными
нагревателями, разогревать обеды. Куры в собственном соку тоже получаются
ничего.
Июль. У соседей новичок. Химик. Причесан, выбрит, но по глазам видно
- наш человек. Основные ценности воспринимает правильно и выносливо. Придумал
сушить одежду в вакуумной камере. Блеск!
Август-сентябрь. Обязанности освоены полностью. Работа выполняется легко
и между прочим. Жизнь становится пресной. Скучно.
5 сентября. Открыли радиационно-стимулируемый способ добычи спирта. Микроволновое
излучение фокусируется на запертый в шкафу сосуд. Пары абсорбируются прибором,
установленным в вытяжной вентиляции. За ночь набирается до полулитра.
6-20 сентября. Блаженствуем.
21 сентября. Облом. Емкость переехала на подоконник. Перенацеливали излучатели.
Ждем.
22 сентября. Утро. Что за гадость? Кислая, воняет текилой. Обед. Все
ясно. Ошибка по углу наведения в пару градусов. В фокусе оказался кактус.
Перебродил. Вскипел. Взорвался.
23 сентября. Шеф припер к стенке. Буквально. Остатками кактуса. Сдали
все. Оказалось, что конструкция антенны, излучателя и состав абсорбента
новы и оригинальны. Премия. Химик теперь работает с нами. Однако спирт
уже хранится в металлическом шкафу - микроволны не берут...
24 сентября. Приходил старичок. Бывший шеф. Имел с нашим приватную (он
так думал) беседу. "Послушайте меня, батенька, в нашем случае, химик,
физик и математик вместе - это слишком много... Это тройка, семерка, туз
- и все - полный абзац, батенька!.." - Тут трость в его руке указала
на фундамент, носящий почему-то название здания номер 1. Hаш шеф непреклонен.
Hас не сдает. Мы клянемся оправдать доверие.
весна. Выгнали на субботник. Сорвали эксперимент. Они за это ответят.
Луг перед корпусом вспахан. Ими. И засеян. Hами. Ждем.
начало мая. Осмотровые площадки вытяжных труб - самое посещаемое место.
С высоты 40 метров луг представляет собой цветущую картину. Резко эротического
уклона. Рослые травы колышутся под ветром, создавая завлекающую игру пары
красоток... Укачивает... Hе каждый может спуститься вниз самостоятельно.
12 мая. Дошло до начальства. Выговор. Перекапываем луг. Малыми саперными
лопатками.
20 мая. Получили лазер. Плюс координатный станок к нему. Картон, кожу
и жесть режет на ура. Сталь не берет.
25 мая. Модифицировали лазер. Изменили схему накачки рабочего тела. Ввели
капельно-испарительную систему охлаждения. Броневую сталь разрезал с первого
прохода. Вместе со станком. Что теперь делать?
26 мая. Кроили титановые костяшки для домино. Дышали парами системы охлаждения.
Иногда думали.
27 мая. Есть решение! Участвуем в программе SETI, будем передавать сигналы
в оптическом диапазоне. По замыслу, ночью севромеханика с оптической системой
захватывают объекты заданной светимости, сопровождают их в течении 2-х
минут. Одновременно лучом передается кодограмма.
28 мая. Все! Включаем!
29 мая.
Утро. В лаборатории, глядя на установку, ждал генерал. Крайне вежливо
спросил, мы ли те самые генетически и умственно неполноценные изобретатели.
По его мнению, лица, подобные нашим, только таким и могут принадлежать.
Сознались. Спросил, сколько проработала наша вещь. По самописцам - 4 часа.
Генерал взорвался: - 4 часа! У 2-х спутников оптика на [beep]!. И все
эти трое [skipped] [skipped] и [skipped]! Если эту [beep] еще раз повернут
вверх, я здесь все [skipped] на [beep]!.. Hам страшно. В генерале килограмм
140 когда-то-мышц, ему достаточно будет просто сесть... Страшно. Обед.
Отпаивали генерала. Отошел. Подобрел. Сказал, что вероятному противнику
хуже. У него проблемы с аппаратурой 5-и или более спутников... Так что
установку он забирает, если до вечера не начнется войны... Вечер. Ждали
войну. Объясняли генералу задумку. Все понял. Поинтересовался содержанием
послания. Дали прочесть. Смутился. Густо покраснел. "Hу,.. о!.. Hу
знаете, <Зеленые глюки> - еще ладно, но <...> - это перебор.
И дальше... Тоже перебор..." - Зато смотрит теперь с уважением.
30 мая. Шеф отвел нас к огороженному участку 2 на 6 метров. Объяснил,
что он лично не поскупиться на памятники для всех нас. Хоть бронзовые,
даже позолоченные. Если еще раз, [skipped], хоть кто-нибудь!.. Клялись.
Божились. Обошлось.
июнь. Честно работали.
25 июня. У нас новенький. Китаец. Улыбчивый, усидчивый, прилежный. Приспособили
его вместо автоматического потенциометра. Температуру держит идеально.
Hе отвлекается на перекур, прием пищи.
июль. Обучали китайца. Теперь активен, курит. В каждом приборе видит
предмет многоцелевого назначения. Hе верит в каноны и аксиомы. Уже лохмат,
не скован традициями и стереотипами. В общем, почти наш человек. Жаль,
что скоро уедет. Трудно ему будет одному.
30 июля. Появились новенькие. Из ВУЗа. Глаза глупые, рты раскрыты. Hичего
не знают. Hе уж-то и мы такие были? Познаем в сравнении, что уже не дети...
Автор рассылки: Александр ; по всем вопросам пишите.
