Здравствуйте уважаемые
подписчики. Эта рассылка призванна помочь школьникам и абитуриентам в их занятиях
по математике. В каждом номере рассылки планируется публикация нескольких
задачь с ответами, решения которых вы можете присылать мне по адресу : rmbk@mail.ru.
Наиболее интересные решения будут опубликованы в следующих номерах рассылки.
Также планируется включить в рассылку некоторые справочные материалы котороые
могут помочь вам в ваших занятиях.
Задачи
1. Доказать, что ни одно натуральное число с суммой цифр, равной
15, не является квадратом целого цисла.
2. Доказать, что если натуральное число оканчивается цифрой
7, то оно не может быть квадратом целого числа.
3. Пусть p>=5 - простое число. Доказать, что число p2-1
делится на 24.
4. Выяснить, при каких натуральных n число n4+ 4
является составным.
5. При каких натуральных n дробь (3n+ 4)/5 является целым числом?
*) Ответы на данные задачи будут опубликованны
в следующих выпусках.
**) Свои решения присылайте мне. Наиболее
интересные из них будут опубликованы.
Справочный материал
1. Для тех, кто получает данную рассылку в текстовом формате:
n4 - n в четвертой степени. Настоятельно рекомендую подписаться
на HTML-версию рассылки.
2. Если у вас есть интересные задачи, или задачи которые вы
не смогли решить присылайте их мне.
Будем пытаться их решить все вместе.
3. Признаки делимости на 3 и на 9. На 3 делятся только
те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 - только те, у которых сумма
цифр делится на 9.
4. Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно
делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае - не делится.
5. Признак делимости на 5. На 5 делятся числа, последняя
цифра которых 0 или 5.
6. Признак делимости на 25. На 25 делятся числа две последние
цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т.е. числа, оканчивающиеся
на 00, 25, 50 или 75)
7. Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа,
у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих
четные места, либо разница от нее на число, делящееся на 11.
8. Простые и составные числа. Все целые числа, кроме
1, имеют по меньшей мере двух делителей: еденицу и самого себя. Те из них,
Которые не имеют никаких других делителей, называются простыми (или первоначальными).
Например, 7, 41, 53 - простые числа. Те числа, которые имеют еще и другие
делители, называются составными (или сложными). Число 1 можно было бы отнести
к простым числам; однако предподчтительно выделять его особо, не относя ни
к простым, ни к составным.
9. Метод математической индукции.
Суть этого метода состоит в следующем. Пусть доказываемое утверждение
проверено в одном частном случае, скажем, при n=1. Пусть доказано также, что
из справедливости этого утверждения при n=k всегда следует его справедливость
и для следующего значения n, при n=k+1. Тогда можно рассуждать так: наше утверждение
проверено при n=1, но, по доказанному, оно будет верно тогда и при n=1+1=2,
а будучи справедливым при n=2, оно выполняется и при n=2+1=3 и так далее, т.е.
справедливо при всех значениях n.
Таким образом, чтобы доказать справедливость некоторого утверждения
при любом натуральном n, надо доказать две вещи: во-первых, что оно справедливо
при n=1 и, во-вторых, что всякий раз из его справедливости при n=k следует
его справедливость при n=k+1. В этом и состоит метод математической индукции:
мы доказываем, что утверждение справедливо при n=1 (базис индукции), затем
предполагаем его справедливость для некоторого n=k (предположение индукции)
и доказываем его справедливость при n=k+1 (индукционный шаг).
Применим этот метод для доказательства формулы общего члена
геометрической прогрессии: an=a1qn-1. При
n=1 эта фотмула, очевидно, справедлива. Предположим, что она справедлива при
каком-либо произвольном значении n=k, т.е. предположим, что равенство an=a1qn-1
имеет место, и покажем, что тогда она верна и для n=k+1 , т.е. убедимся
в справедливость равенства ak+1=a1qk. Используя
определение геометрической прогрессии и предположение индукции, можем записать
ak+1=akq=a1qk-1q=a1qk,
что и требовалось доказать. Следовательно, формула общего члена
геометрической прогрессии верна для любого натурального n.
Автор рассылки: Александр ; по всем вопросам пишите: rmbk@mail.ru
