Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Август 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Временная ценность денег


Математика управления капиталом
Выпуск 46
http://community.livejournal.com/math_economics


Сообщество в ЖЖ

Занимательная экономика

Глобальный решебник

Временная ценность денег

Выплаты по ценным бумагам характеризуются размером, сроком их получения и степенью риска. Поэтому при оценке эффективности операции с той или иной ценной бумагой прежде всего следует учитывать время и условия генерируемых ею выплат. В процессе определения цены операции и ее доходности возникает необходимость перехода от оценок будущих поступлений к значениям их стоимости в настоящий момент.

В условиях рыночной экономики при проведении финансовых операций важнейшую роль играет фактор времени. "Золотое" правило бизнеса гласит:

Сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра.

Поясним "золотое" правило бизнеса на следующем условном примере.

Пример 1.1. Предположим, что некто X обладает суммой S0 = 10000, которую он может положить в банк на депозит под 10% годовых.

В идеальном случае (отсутствие инфляции, налогообложения, риска неплатежеспособности банка и т.д.) проведение этой операции обеспечит получение через год суммы, равной уже 11000:

(10000,00 + 10000 x 0,1) = 10000 (1 + 0,1 ) = 11000.

Если указанная сумма (10000) окажется в распоряжении Х только через год, он будет вынужден отложить или даже отменить осуществление этой операции, теряя тем самым возможность получить доход в 1000.

Очевидно, что с этой точки зрения сумма S1 = 10000, получение которой ожидается только через год, является в данной ситуации для Х менее ценной по сравнению с эквивалентной суммой S0, имеющейся к текущему моменту времени, поскольку обладание последней связано с возможностью заработать дополнительный доход (1000) и увеличить свои средства до 11000.

В этом же смысле текущая стоимость будущих 10000 для Х эквивалентна той сумме, которую необходимо поместить в банк под 10% чтобы получить их год спустя:

10000 / (1 + 0,1) = 9090,91.

Продемонстрированная неравноценность двух одинаковых по величине (S0 = S1 = 10000), но разных по времени получения денежных сумм - явление, широко известное и осознанное в финансовом мире. Его существование обусловлено целым рядом причин. Вот лишь некоторые из них:

- любая, имеющаяся в наличии денежная сумма, в условиях рынка может быть немедленно инвестирована и спустя некоторое время принести доход;

- даже при небольшой инфляции покупательная способность денег со временем снижается;

- предпочтением в общем случае индивидуумами текущего потребления будущему и др.

Исследования этого явления нашли свое воплощение в формулировке принципа временной ценности денег (time value of money), который является краеугольным камнем в современном финансовом менеджменте. Согласно этому принципу, сегодняшние поступления ценнее будущих. Соответственно будущие поступления обладают меньшей ценностью, по сравнению с современными.

Из принципа временной ценности денег вытекает, по крайней мере, два важных следствия:

- необходимость учета фактора времени при проведении финансовых операций;

- некорректность (с точки зрения анализа долгосрочных финансовых операций) суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

Таким образом, необходимость учета фактора времени при проведении финансовых операций требует применения специальных количественных методов его оценки.


Методы учета фактора времени в финансовых операциях

В финансовом менеджменте учет фактора времени осуществляется с помощью методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений.

С помощью этих методов осуществляется приведение денежных сумм, относящихся к различным временным периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем. При этом в качестве нормы приведения используется процентная ставка (interest rate - r).

В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако в финансовом менеджменте ее также часто используют в качестве измерителя уровня (нормы) доходности производимых операций, исчисляемого как отношение полученной прибыли к величине вложенных средств и выражаемого в долях единицы (десятичной дробью), либо в процентах.

Под наращением понимают процесс увеличения первоначальной суммы в результате начисления процентов.

Экономический смысл метода наращения состоит в определении величины, которая будет или может быть получена из некоторой первоначальной (текущей) суммы в результате проведения операции. Другими словами, метод наращения позволяет определить будущую величину (future value - FV) текущей суммы (present value - PV) через некоторый промежуток времени, исходя из заданной процентной ставки r.

Дисконтирование представляет собой процесс нахождения величины на заданный момент времени по ее известному или предполагаемому значению в будущем.

В экономическом смысле величина PV, найденная в процессе дисконтирования, показывает современное (с позиции текущего момента времени) значение будущей величины FV.

Нетрудно заметить, что дисконтирование, по сути, является зеркальным отражением наращения. Используемую при этом процентную ставку r называют нормой дисконта.

В зависимости от условий проведения финансовых операций, как наращение, так и дисконтирование, могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.

Как правило, простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года. Базой для исчисления процентов за каждый период в этом случае является первоначальная (исходная) сумма сделки.

В общем случае, наращение и дисконтирование по ставке простых процентов осуществляют по следующим формулам (наращение и дисконтирование может также осуществляться по учетной ставке d):

FV = PV(1 + r x n),
PV = FV/(1 + r x n),

где n - число периодов; r - ставка процентов.

Сложные проценты широко применяются в долгосрочных финансовых операциях, со сроком проведения более одного года. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки, либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т.д.). При этом база для исчисление процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов.

Непрерывные проценты представляют главным образом теоретический интерес и редко используются на практике. Они применяются в особых случаях, когда вычисления необходимо производить за бесконечно малые промежутки времени.

Методы наращения и дисконтирования играют важную роль в финансовом анализе, так как являются инструментарием для оценки потоков платежей (cash flows).


Оценка потоков платежей

Проведение практически любой финансовой операции порождает движение денежных средств. Такое движение может характеризоваться возникновением отдельных платежей, или множеством выплат и поступлений, распределенных во времени.

В процессе количественного анализа финансовых операций, удобно абстрагироваться от их конкретного экономического содержания и рассматривать порождаемые ими движения денежных средств как численный ряд, состоящий из последовательности распределенных во времени платежей CF0, CF1, ..., CFn. Для обозначения подобного ряда в мировой практике широко используется термин поток платежей или денежный поток (cash flow - CF).

Отдельный элемент такого численного ряда CFt представляет собой разность между всеми поступлениями (притоками) денежных средств и их расходованием (оттоками) на конкретном временном отрезке проведения финансовой операции. Таким образом, величина CFt может иметь как положительный, так и отрицательный знак.

Количественный анализ денежных потоков, генерируемых за определенный период времени в результате реализации финансовой операции, или функционирования каких-либо активов, в общем случае сводится к исчислению следующих характеристик:
FVn - будущей стоимости потока за n периодов;
PVn - современной стоимости потока за n периодов.

Часто возникает необходимость определения и ряда других параметров финансовых операций, важнейшими из которых являются:
CFt - величина потока платежей в периоде t;
r - процентная ставка;
n - срок (количество периодов) проведения операции.

Далее будут рассмотрены наиболее распространенные виды денежных потоков, их свойства.


Финансовые операции с элементарными потоками платежей

Простейший (элементарный) (в некоторых источниках для обозначения подобных потоков используется термин "разовый платеж") денежный поток состоит из одной выплаты и последующего поступления, либо разового поступления с последующей выплатой, разделенных n - периодами времени (например - лет).

Примерами финансовых операций с подобными потоками платежей являются срочные депозиты, единовременные ссуды, некоторые виды ценных бумаг и др. Нетрудно заметить, что численный ряд в этом случае состоит всего из двух элементов: {-PV; FV} или {PV; -FV}.

Операции с элементарными потоками платежей характеризуются четырьмя параметрами: FV, PV, r, n. При этом величина любого из них может быть определена по известным значениям трех остальных.


Будущая величина элементарного потока платежей

Рассмотрим технологию исчисления будущей величины элементарного потока платежей на следующем примере.

Пример 1.2. Сумма в 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту - 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?

По условиям данной операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV = 10000, процентная ставка r = 10% и срок n = 4 года.

Определим будущую величину вклада на конец первого периода:

FV1 = PV + PV x r = PV(1 + r) = 10000(1 + 0,1) = 11000.

Соответственно для второго периода величина FV будет равна:

FV2 = FV1 + FV1 x r = PV(1 + r) + PV(1 + r) x r = PV(1 + r)2 =
= 10000(1 + 0,1)2 = 12100.

Для последнего периода (n = 4):

FV4 = FV3 + FV3 x r = PV(1 + r)4 = 10000(1 + 0,1)4 = 14641.

Общее соотношение для определения будущей величины имеет следующий вид:

FVn = PV(1 + r)n.

Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,00 при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45!

На практике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например ежемесячно, ежеквартально и т.д. В этом случае соотношение для исчисления будущей стоимости будет иметь следующий вид:

FVn = PV(1 + r/m)mn,

где m - число периодов начисления в году.

Очевидно, что чем больше m, тем быстрее идет наращение суммы.

Допустим, что в примере 1.2 проценты выплачиваются ежеквартально (m = 4). Определим FV4,4:

FV4,4 = 10000,00 (1 + 0,10/4)16 = 14845,06,

т.е. на 204,06 больше, чем при начислении процентов раз в год.

Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту:

EPR = (1 + r/m)n - 1,

где r - номинальная ставка; m - число периодов начисления.

Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate - EPR) или ставкой сравнения.

Осуществим расчет эффективной процентной ставки и будущей величины вклада для примера 1.2:

ЕPR = (1 + 0,1/4)4 - 1 = 0,103813,

FV = 10000,00 (1 + 0,103813)4 = 14845,06.

Таким образом, условия помещения суммы в 10000,00 на депозит сроком на 4 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов и под 10,3813%, начисляемых раз в год, являются эквивалентными.


Современная величина элементарного потока платежей

Формулу для определения современной величины элементарного потока платежей можно легко вывести из соотношения для определения будущей величины элементарного потока платежей путем деления его обеих частей на величину (1 + r)n. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:

PVn = FVn / (1 + r)n.

Пример 1.3. Выплаченная по 4-х летнему депозиту сумма составила величину в 14641,00. Определить первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 10% годовых.

PV = 14641,00 / (1 + 0,1)4 = 10000,00.

Как и следовало ожидать, величина PV также зависит от продолжительности операции и процентной ставки, однако зависимость здесь обратная - чем больше r и n, тем меньше текущая (современная) величина.

В случае, если начисление процентов осуществляется m-раз в году, соотношение будет иметь следующий вид:

PVn,m = FVn / (1 + r/m)mn.


Исчисление процентной ставки и продолжительности операции

Формулы для определения величин r и n могут быть получены из соотношения для определения будущей величины элементарного потока платежей и приводятся ниже в готовом виде.

При известных величинах FV, PV и n, процентную ставку можно определить по формуле:

r = (FVn / PVn)1/n - 1.

Пример 1.4. Сумма в 10000,00 помещенная в банк на 4 года составила величину в 14641,00. Определить процентную ставку (доходность операции).

r = (14141,00 / 10000,00)1/4 - 1 = 0,10 (10%).

Длительность операции определяется путем логарифмирования:

n = log (FVn / PVn)/ log (1 + r).

Приведенные соотношения позволяют определить основные количественные характеристики финансовых операций, в результате проведения которых возникают элементарные потоки платежей.



Ценные бумаги: Инвестиционное качество привилегированных акций
Ценные бумаги: Привилегированные акции - 2
Ценные бумаги: Привилегированные акции - 1
Ценные бумаги: Номинал акции
Ценные бумаги: Виды акций
Ценные бумаги: Определение акции: не все так просто
Ценные бумаги: Технический анализ
Ценные бумаги: Фундаментальный анализ
Ценные бумаги: Диверсификация портфеля ценных бумаг
Ценные бумаги: Способы управления рисками
Ценные бумаги: Несистематический риск
Ценные бумаги: Систематический риск
Ценные бумаги: Классификация ценных бумаг - 5
Ценные бумаги: Классификация ценных бумаг - 4
Ценные бумаги: Классификация ценных бумаг - 3
Ценные бумаги: Классификация ценных бумаг - 2
Ценные бумаги: Классификация ценных бумаг - 1
Ценные бумаги: Концепция четырех рынков
Терминология: Хеджирование
Ценные бумаги: Время – деньги
Ценные бумаги: Каждый из нас является потенциальным инвестором
Терминология: Секьюритизация
Ценные бумаги: Рынок ценных бумаг vs Рынок ссудного капитала
Ценные бумаги: Что такое деривативы?
Ценные бумаги: Проверьте себя не трейдеризм
Ценные бумаги: Нормативные документы, регулирующие рынок ценных бумаг в РФ
Ценные бумаги: Начнем с определения

Занимательная экономика: Как стать хозяином Вселенной
Занимательная экономика: Спекуляция билетами: Cпрос удовлетворяет предложение на тротуаре
Занимательная экономика: Кто платит налог на предметы роскоши?
Занимательная экономика: К чему приводит контроль над уровнем ренты?
Занимательная экономика: Почему сельскохозяйственные программы, ориентированные на помощь фермерам, стимулируют сокращение используемых в производстве земель?
Занимательная экономика: Цена имеет значение, или Строительство платных автодорог
Занимательная экономика: Так ли вредно пассивное курение?
Занимательная экономика: О цене билета на самолет
Занимательная экономика: О ремнях безопасности
Занимательная экономика: Эффективность vs Справедливость

Содержание рассылки зависит и от Вас: чем активнее Вы проявляете свою заинтересованность в той или иной теме, задаете те или иные вопросы - тем полезнее рассылка будет для каждого из Вас! Пишите
В избранное