Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Август 2006   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Математика для экономистов Выпуск 26.


   
Решение задач по математике для экономистов
http://www.mathematics4you.narod.ru
Исследование операций

Симплексный метод. Отыскание максимума линейной функции

F = 2x1 + 3x2 --> max,
x1 + 3 x2 < 18,
2 x1 + x2 < 16,
x2 < 5,
3 x1 < 21,
x1>0, x2>0,

Р е ш е н и е. Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде уравнений. Для этого введем дополнительные неотрицательные переменные.

x1 + 3 x2 + x3 = 18,
2 x1 + x2 + x4 = 16,
x2 + x5 = 5,
3 x1 + x6 = 21.

Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные на две группы - основные и неосновные (свободные). Так как определитель, составленный из коэффициентов при дополнительных переменных x3, x4, x5, x6, отличен от нуля, то эти переменные можно взять в качестве основных на первом шаге решения задачи.

I шаг. Основные переменные: x3, x4, x5, x6.
Неосновные переменные: x1, x2.

Выразим основные переменные через неосновные:

x3 = 18 - x1 - 3 x2, (*)
x4 = 16 - 2 x1 - x2,
x5 = 5 - x2,
x6 = 21 - 3 x1 .

Положив неосновные переменные равными нулю, т.е. x1=0, x2=0, получим базисное решение Х1=(0;0;18;16;5;21), которое является допустимым.

Выразим линейную функцию через неосновные переменные: F = 2x1 + 3x2.

Функцию F можно увеличить за счет увеличения любой из неосновных переменных, входящих в выражение для F с положительным коэффициентом. Это можно осуществить, перейдя к такому новому допустимому базисному решению, в котором эта переменная будет основной, т.е. принимать не нулевое, а положительное значение. (Если новое решение будет вырождено, то функция цели сохранит свое значение.) При таком переходе одна из основных переменных перейдет в неосновные.

В данном примере для увеличения F можно переводить в основные либо x1, либо x2, так как обе эти переменные входят в выражение для F со знаком "плюс". Для определенности в такой ситуации будем выбирать переменную, имеющую больший коэффициент, т.е. в данном случае x2. (Такое правило выбора не всегда дает наименее трудоемкое решение, иногда имеет смысл провести предварительные специальные оценки.)

Система (*) накладывает ограничения на рост переменной x2. Поскольку необходимо сохранять допустимость решений, т.е. все переменные должны оставаться неотрицательными, то должны выполняться следующие неравенства (при этом x1=0 как неосновная переменная):

x3 = 18 - 3 x2 > 0,
x4 = 16 - x2 > 0,
x5 = 5 - x2 > 0,
x6 = 21 ,

откуда

x2 < 18/3,
x2 < 16/1,
x2 < 5/1.

Последнее уравнение системы не ограничивает рост переменной x2, так как данная переменная в него не входит (или формально входит с нулевым коэффициентом).

Очевидно. что сохранение неотрицательности всех переменных (допустимость решения) возможно, если не нарушается ни одна из полученных во всех уравнениях границ. В данном примере наибольшее возможное значение для переменной x2 определяется как x2=min{18/3;16/1;5/1;oo}=5. При x2=5 переменная x5 обращается в нуль и переходит в неосновные. Третье уравнение является разрешающим.

II шаг. Основные переменные: x2, x3, x4, x6.
Неосновные переменные: x1, x5.

Выразим новые основные переменные через новые неосновные, начиная с разрешающего уравнения:

x2 = 5 - x5,
x3 = 18 - x1 - 3 (5-x5),
x4 = 16 - 2 x1 - (5-x5),
x6 = 21 - 3 x1,

или

x2 = 5 - x5, (**)
x3 = 3 - x1 + 3 x5,
x4 = 11 - 2 x1 + x5,
x6 = 21 - 3 x1.

Второе базисное решение Х2=(0;5;3;11;0;21) является допустимым.

Выразив линейную функцию через неосновыне переменные на этом шаге, получаем:

F=2x1+3x2=2x1+3(5-x5)=15+2x1-3x5.

Значение линейной функции F2=F(Х2)=15. Изменение значения линейной функции легко определить заранее как произведение наибольшего возможного значения переменной, переводимой в основные, на ее коэффициент в выражении для линейной функции. В данном случае /\F1=5*3=15, F2=F1+/\F1=0+15=15.

Однако значение F2 не является максимальным, так как повторяя рассуждения I шага, обнаруживаем возможность дальнейшего увеличения линейной функции за счет переменной х1, входящей в выражение для F с положительным коэффициентом. Система уравнений (**) определяет наибольшее возможное значение для х1: х1=min{oo;3/1;11/2;21/3}=3. Второе уравнение является разрешающим, переменная х3 переходит в неосновные, при этом /\F2=3*2=6.

III шаг. Основные переменные: x1, x2, x4, x6.
Неосновные переменные: x3, x5.

Как и на II шаге, выражаем новые основные переменные через новые неосновные, начиная с разрешающего уравнения. После преобразований получаем:

x1 = 3 - x3 + 3 x5, (***)
x2 = 5 - x5,
x4 = 5 + 2 x3 - 5 x5,
x6 = 12 + 3 x3. - 9 x5.

Базисное решение Х3=(3;5;0;5;0;15) является допустимым. Выражаем линейную функцию через неосновыне переменные: F=15+2(3-x3+3x5)-3x5=21-2x3+3x5; F3=F(X3)=21. Проверяем: F3-F2=21-15=6=/\F2.

Третье допустимое базисное решение тоже не является оптимальным, поскольку при неосновной переменной x5 в выражении линейной функции через неосновные переменные содержится положительный коэффициент. Переводим x5 в основные переменные. При определении наибольшего возможного значения для x5 следует обратить внимание на первое уравнение в системе (***), которое не дает ограничений на рост x5, так как свободный член и коэффициент при x5 имеют одинаковые знаки. Поэтому x5=min{oo;5;1;12/9}=1. Третье уравнение является разрешающим, и переменная x4 переходит в неосновные; /\F3=1*3=3.

IV шаг. Основные переменные: x1, x2, x5, x6.
Неосновные переменные: x3, x4.

После преобразований получим:

x1 = 6 + (1/5) x3 - (3/5) x4,
x2 = 4 - (2/5) x3 + (1/5) x4,
x5 = 1 + (2/5) x3 - (1/5) x4,
x6 = 3 - (3/5) x3 + (9/5) x4.

Базисное решение Х4=(6;4;0;0;1;3) является допустимым.

Линейная функция, выраженная через неосновные переменные, имеет вид: F=24-(4/5)x3-(3/5)x4. Это выражение не содержит положительных коэффициентов при неосновных переменных, поэтому значение F4=F(X4)=24 максимальное. Функцию F невозможно еще увеличить, переходя к другому допустимому базисному решению, т.е. решение X4 оптимальное.


Эконометрика

Парный регрессионный анализ.

Линейная парная регрессия.

Часть I

Рассмотрим в качестве примера зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего Y(т) и мощностью пласта Х(м) по следующим (условным) данным, характеризующим процесс добычи угля в n=10 шахтах.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 8 11 12 9 8 8 9 9 8 12
yi 5 10 10 7 5 6 6 5 6 8


Задача 1. По данным таблицы найти уравнение регрессии Y по Х.

Р е ш е н и е. Вычислим все необходимые суммы:

Заказать бесплатное решение этой задачи!

Внимание! Решение задачи будет выслано по электронной почте вложением в формате .doc только участникам сообщества, заказавшим решение в течение недели со дня выхода этой рассылки.

В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Классическое и статистическое определения вероятности

17. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь m деталей из N деталей, т.е. равно числу сочетаний из N элементов по m - СmN.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди m деталей ровно k стандартных: k стандартных деталей можно взять из n стандартных деталей Сkn способами; при этом остальные m-k деталей должны быть нестандартными: взять же m-k нестандартных деталей из N-n нестандартных деталей можно Сm-kN-n способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно СknСm-kN-n.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к общему числу всех элементарных исходов:

P = СknСm-kN-n / СmN.

18. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

19. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых пыти кинескопов окажутся 3 кинескопа Львовского завода.

20. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 5 отличниокв.

21. В коробке имеется 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных двух изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие, б) два окрашенных изделия, в) хотя бы одно окрашенное изделие.

22. "Секретный" замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов с различными написанными на них цифрами. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры дисков образуют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.

23. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.

Решение. Относительная частота события А (появления бракованных книг) равна отношению числа испытаний, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных испытаний:

W(A) = 5 / 100 = 0,05.

24. По цели произвели 20 выстрелов, причем было зарегистрировано 18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.

25. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.



mathematics.economics@rambler.ru

Автор оставляет за собой право:

а) отвечать не на все полученные письма,
б) публиковать полностью или частично полученные письма в рассылке.
В избранное