Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика в экономике

Подписаться Бесплатная новостная рассылка Подписчиков 23 RSS
  Февраль 2005   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28


За последние 60 дней ни разу не выходила


Открыта: 26-01-2005

Автор
Sinoptick

Статистика

23 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ


Информационный Канал Subscribe.Ru

МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ
Выпуск #1. E-mail: sinoptick@home.tula .net

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ


На практике часто встречаются такие ситуации, когда достичь какого-то результата можно не одним, а многими различными способами. Естественно, что в этом случае выбирается в каком-то смысле наилучший способ. Математически последнее обычно сводится к нахождению наименьшего или наибольшего значения некоторой функции, т.е. к следующей задаче: найти min(max)f(x) при условии, что точка x пробегает заданное множество X. Используют запись:

f(x) -> min(max), x принадлежит X.

Определенную таким образом задачу называют задачей оптимизации, при этом X называют допустимым множеством (множеством планов) задачи, а функцию f(x) - целевой функцией.

Если x задано набором нескольких чисел, т.е. x = col(x1; ...; xn), то множество X принадлежит Rn.

Часто множество X задается с помощью системы нестрогих неравенств:

g1(x1; ...; xn) >= 0,
g2(x1; ...; xn) >= 0,
...,
gm(x1; ...; xn) >= 0,

где g1, g2, ..., gm заданные функции в Rn.

Другими словами, X - множество точек col(x1; ...; xn), принадлежащих Rn и удовлетворяющих системе неравенств.

В данном случае задача оптимизации принимает следующий вид: даны функция n переменных f(x1; ...; xn) и система неравенств; требуется найти f(x1; ...; xn) -> min(max) при условиях, заданных системой неравенств.

Как правило, нужно найти не только значение min(max)f, но и точку или точки, если она не одна, в которых это значение достигается. Множество всех таких оптимальных решений обозначим X* (или Argmin(max)f(x)).

Задачи подобного рода называются задачами математического программирования. При этом функцию f называют целевой функцией, а неравенства gj > 0, j=1,...,m - ограничениями. Часто в число ограничений входят условия неотрицательности части или всех переменных.

В зависимости от характера функций говорят о различных видах задач математического программирования. Наиболее простой случай, когда функции являются линейными. В этом случае будем говорить о задаче линейного программирования (ЛП). Множество задач из сферы планирования и управления можно сформулировать в виде задач ЛП. В настоящее время примерно 80-85% всех решаемых на практике задач оптимизации относится к задачам ЛП.

Для решения таких задач разработаны различные методы, в частности так называемый симплекс-метод.

Отметим, что задача на максимум сводится к задаче на минимум (и наоборот) путем умножения целевой функции на (-1).

Классические примеры задач линейного программирования: задача планирования производства, задача о рационе, транспортная задача, задача о банке.

Задача о банке.

Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами составляют 100 млн долларов. Часть этих средств, но не менее 35 млн долларов должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно. Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль или, как правило, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы - ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. Считаем, что ликвидное ограничение следующее: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.

Пусть x1 - средства (млн долл.), размещенные в кредитах, x2 - средства, вложенные в ценные бумаги.

Тогда должны выполняться следующие линейные ограничния:

балансовое ограничение

x1 + x2 < 100;

кредитное ограничение

x1 > 35;

ликвидное ограничение

x2 > 0,3(x1 + x2);

условие неотрицательности

x1 > 0, x2 > 0.

Если с1 - доходность кредитов, а с2 - доходность ценных бумаг, то цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от кредитов и ценных бумаг:

f = с1x1 + с2x2 -> max при условиях (1)-(4).

Так как кредиты менее ликвидны, чем ценные бумаги, то обычно с1 > с2. Получаем задачу ЛП с ограничениями (1)-(4) и целевой функцией f, которую можно максимизировать.

Продолжение следует...

Содержание рассылки зависит и от Вас: чем активнее Вы проявляете свою заинтересованность в той или иной теме, задаете те или иные вопросы - тем полезнее рассылка будет для каждого из Вас! Пишите: sinoptick@home.tula .net.

http://subscribe.ru/
http://subscribe.ru/feedback/		 Подписан адрес:
Код этой рассылки: job.student.financier		 Отписаться
В избранное