- Дом и семья → Дети → Школа
| ← Июнь 2015 → | ||||||
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|---|---|---|---|---|---|---|
|
8
|
9
|
10
|
11
|
13
|
14
|
|
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
|
23
|
25
|
26
|
27
|
28
|
||
|
30
|
||||||
За последние 60 дней ни разу не выходила
Сайт рассылки:
http://www.intelmath.narod.ru
Открыта:
25-07-2008
Адрес
автора: job.education.maths-owner@subscribe.ru
Статистика
0 за неделю
Вычисление предела
|
Вычисление предела 2015-06-19 22:55 noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) Как-то резко я прекратил публиковать объяснение формул со своих математических часов. Продолжаем! Число 9 выражается как предел $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(3x+1)(3x+2)}{(x+3)(x-2)}$ Предел этот представляет собой неопределённость вида бесконечность на бесконечность. При этом в числителе и знаменателе предела - многочлены. $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9x^2+9x+2}{x^2+x-6}$ Так как эти многочлены одинаковых степеней, предел будет равен отношению их старших коэффициентов. Для доказательства этого факта разделим числитель и знаменатель на $x^2$: $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{9x^2+9x+2}{x^2}}{\frac{x^2+x-6}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{9x^2}{x^2}+\frac{9x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{6}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9+\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}}$ Поскольку х стремится к бесконечности, то все слагаемые числителя и знаменателя, кроме первых, стремятся к нулю и можно вычислить предел. $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{9+\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}} = \frac{9+0+0}{1+0+0}=9$ Вот, кстати, как выглядит график этой функции:  Прямая у=9 является егго горизонтальной асимптотой. XXI тур Математического Марафона 2015-06-20 12:26 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com> Владимир Лецко уже более восьми лет проводит интернет-конкурс "Математический марафон". В каждом туре даются 10 задач. Особенностью 21-го тура является ориентированность (не всех, но большинства задач) на использование компьютера. Разбор решений начнётся с осени, так что за лето их можно спокойно обдумать. Присылайте решения на почтуval-etc (at) yandex.ru или, зарегистрировавшись на форуме dxdy.ru, личным сообщением пользователю VAL. Задача ММ201(3 балла) Решения принимаются до 11.09.2015 Для каждого натурального $k$ найти все возможные $n$, при которых множество $\{1, 2, ..., n\}$ можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в $k$ раз больше количества элементов класса. Задача ММ202(5 баллов) Решения принимаются до 18.09.2015 При каких значениях параметра a разрешимо уравнение $x^2 - a = \lfloor x \rfloor \{x\}$? Задача ММ203 (5 баллов) Решения принимаются до 25.09.2015 Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков. Задача ММ204 (5 баллов) Решения принимаются до 2.10.2015 Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно. Продолжение » Вычисление количества сочетаний 2015-06-20 23:25 noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) Число 10 на математических часах прдеставляется как $10=C_5^2$ Эта запись означает количество сочетаний из 5 элементов по 2. Иными словами, сколькими способами можно выбрать из пяти различных предметов неупорядоченную пару Искомое число можно подсчитать непосредственно. Из (1,2,3,4,5) можно выбрать такие пары (не забываем, что порядок в них неважен): (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) Всего их 10. Как же вычислять $C_n^m$ не прибегая к непосредственному перечислению? Первый предмет можно выбрать n способами. Второй предмет можно выбрать (n-1) способами. Для третьего будет (n-2) способов, и т.д. до (n-m+1) способов выбрать m-й предмет. Значит, количество способов выбрать m предметов из n при условии, что порядок важен, равно произведению $n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot(n-m+1)$. Сами же эти m предметов можно переставить между собой m! способами. Значит, каждая непорядоченная группа из m предметов при нашем подсчёте оказалась подсчитанной m! раз. Поэтому $C_n^m$ оказывается равно дроби: $\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot(n-m+1)}{m!}$ Эту формулу можно упростить, заметив, что $n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$ Таким образом, $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ Скалярное произведение векторов 2015-06-21 23:50 noreply@blogger.com (Alexey Izvalov) Векторы можно складывать, вычитать, умножать на число. А перемножать векторы между собой можно даже двумя способами: скалярно и векторно. Результатом скалярного произведения является число, а порядок множителей неважен. Результатом же векторного произведения является вектор, напрваление которого зависит от того, в каком порядке перемножались сомножители. Скалярное произведение обозначается точкой, а векторное - крестиком. Скалярное произведение вычисляется просто: нужно попарно перемножить соответстсвующие координаты веткором, а результаты сложить. Таким образом, на математических часах запись $\overline{(2,5)}\cdot\overline{(3,1)}$ обозначает $2\cdot 3+5\cdot 1=11$  |
| В избранное | ||
