- Дом и семья → Дети → Школа
| ← Март 2014 → | ||||||
|
1
|
2
|
|||||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
17
|
18
|
20
|
21
|
22
|
23
|
|
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
За последние 60 дней ни разу не выходила
Сайт рассылки:
http://www.intelmath.narod.ru
Открыта:
25-07-2008
Адрес
автора: job.education.maths-owner@subscribe.ru
Автор
Статистика
308 подписчиков
0 за неделю
0 за неделю
Олимпиада Кенгуру 2014: предстартовая готовность
|
Олимпиада Кенгуру 2014: предстартовая готовность 2014-03-19 20:15 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com>  Четыре раза в год мы считаем кенгуру. И это не потому, что мы австралийские фермеры, нет – мы координаторы Международной математической олимпиады. В марте, где-то за 10 дней до конкурса Кенгуру-2014, центральный оргкомитет рассылает по областям задания, бланки ответов, бланки для заполнения списка учеников и учителей, правила проведения, а также сувениры участникам (это могут быть наклейки, линейки, календарики, блокноты). Все эти материалы нужно быстро пересчитать, распределить согласно заявкам, которые присылали школы области, и разослать им. В нашей области около 12 000 учеников из примерно 300 школ участвуют в «Кенгуру», так что это огромная работа. Часто помогают школьные координаторы города, а также ученики, не участвующие в конкурсе.  Со временем мы выбрали наиболее удобный способ сортировки. Сначала все бумаги раскладываем на стопки по 10 штук, а затем проходим этаким «конвейером» мимо столов с бланками и набираем точное количество заданий каждого уровня и других бланков. На всеукраинском семинаре в Яремче все спрашивали у координатора конкурса в стране, Андрея Добосевича, как центральный оргкомитет отсчитывает нужно количество заданий и бланков ответов для отправки в регионы. Оказывается, очень просто – большое количество бумаг удобно отсчитывать взвешиванием! Следующая, самая большая партия счётного материала приходит в мае. Каждый участник конкурса должен получить на последнем звонке диплом и сборник задач всех уровней с решениями и ответами. Иногда приходит также партия книг по олимпиадной или занимательной математике для отправки в библиотеки школ. Чтобы разослать ящики с книгами по районам, приходится воспользоваться службами доставки, например, «Новой почтой».  Летом наступает краткая передышка. Областные координаторы собираются в городе Яремче Ивано-Франковской области, отчитываются о работе и формируют предложения по пакету задач на будущий год. А в октябре-ноябре начинается подготовка в «зимнему» конкурсу, Всеукраинскому. Всеукраинский этап математической олимпиады введён для того, чтобы развить интерес к занимательным задачам среди учеников 2-6 классов. В заданиях этого этапа делается упор на логическое мышление, не на знание формул. В 2012 году Всеукраинский и Международный этапы центральным оргкомитетом опрометчиво назывались «первым» и «вторым» этапами конкурса, однако это не так. Всеукраинский этап не является пропуском на Международный, это просто ещё одна возможность попробовать себя и развить свои умственные способности. Ученики могут участвовать в обоих этапах (или не участвовать ни в каком и играть вместо этого в какую-нибудь «стрелялку»). Задания Всеукраинского этапа, бланки ответов и прочие материалы рассылаются в конце ноября. С 2012 года они своей красочной печатью выгодно выделялись на фоне чёрно-белых бланков международного этапа, однако с 2014 года задания обоих уровней выполнены цветными. И, примерно в феврале, после подведения итогов, приходится считать дипломы участникам Всеукраинского этапа и сувениры им. В этом году каждый участник зимнего конкурса получил кубик-головоломку, который нужно собрать из картонной развёртки. Задание с сайта пробного ЗНО 2014-03-21 16:25 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com> По просьбе читательницы блога, провожу разбор задачи с сайта пробного ЗНО. Условие Найти сумму всех целых корней неравенства $\frac{3}{х-2}+ \frac{4}{х}\geq 1$ Решение Начинаем решение с ОДЗ - области допустимых значений. При каких значениях х выражение не будет иметь смысла? Так как в выражении есть дроби, то знаменатели не должны быть нулями. Поэтому: $x\neq 2$ $x\neq 0$ ОДЗ: $x\in (-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;\infty)$ Теперь переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю: $\frac{3}{х-2}+ \frac{4}{х}- 1 \geq 0$ $\frac{3x+4(x-2)-x(x-2)}{x(х-2)}\geq 0$ $\frac{3x+4x-8-x^2+2x}{x(х-2)}\geq 0$ $\frac{-x^2+9x-8}{x(х-2)}\geq 0$ Можно обе части неравенства умножить на -1 и поменять знак неравенства на противоположный. $\frac{x^2-9x+8}{x(х-2)}\leq 0$ Теперь нужно числитель разложить на множители. По теореме Виета, т.к. произведение корней равно 8, а сумма равна 9, то корни квадратного трёхчлена в числителе равны 1 и 8. Значит, дробь будет выглядеть так: $\frac{x-1)(x-8)}{x(х-2)}\leq 0$ Отмечаем все корни (и числителя, и знаменателя) на числовой оси. Т.к. неравенство нестрогое, то корни числителя закрашиваем (а корни знаменателя выкалываются всегда).  Теперь берём какую-нибудь точку не из отмеченных, например, х = 9. Если х=9 подставить в неравенство, получим знак + у левой части. Т.к. все корни числителя и знаменателя - первой кратности, то можно автоматически строить "змейку":  Получается: $x\in(0;1]\cup(2;8]$ Сумма целых решений составит: 1+3+4+5+6+7+8 = 34 Ответ: 34 Решения задач пробного ЗНО 2014 по математике 2014-03-30 13:29 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com> Вчера прошло пробное ЗНО по математике. Как правило, задачи пробного ЗНО позволяют хорошо спрогнозировать, что ждёт выпускников на "настоящем" ЗНО, которое состоится 12 июня 2014 года. У вас есть ещё 2,5 месяца на подготовку, и чтобы провести их с пользой, разберите решения и ответы вчерашнего ЗНО. Давайте начнём с конца, с самых сложных и интересных задач. Задача 34. Тригонометрия, функции, задачи с параметром Найдите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение $2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}=\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}$ имеет положительный корень. Решение На первый взгляд кажется непонятным, как и подступиться к этой задаче. Здесь и показатель степени, и тригонометрия, и дробь, и квадратный трёхчлен. В школе методы решения этого винегрета вряд ли проходили. Однако, если присмотреться, оказывается, что здесь можно применить метод решения, использующий оценку величины левой и правой части. Этот метод применялся и в задачах прошлых лет, например, в ЗНО 2010 или в ЗНО 2013. Рассмотрим левую часть. $2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}$ Т.к. синус может принимать значения только в промежутке от -1 до 1, то квадрат синуса может быть только в промежутке от 0 до 1. $\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)\in [0;1]$ А двойка, возведённая в какую-либо степень от нуля до единицы примет значения от $2^0=1$ до $2^1=2$ $2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}\in [1;2]$ Теперь рассмотрим правую часть. $\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}$ Знаменатель правой части -квадратный трёхчлен относительно x-a. Дискриминант его отрицателен: D = 36 - 4 x 13 = -16 Т.к. коэффициент при $(x-a)^2$ равен единице, то этот трёхчлен принимает только положительные значения. Минимума трёхчлен достигает, когда (x-a) окажется равным $\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$ Само минимальное значение равно: $3^2-6\cdot 3+13=9-18+13=4$ Итак, мы установили, что $(x-a)^2-6(x-a)+13\in [4;\infty)$ Поскольку этот трёхчлен в знаменателе, то наименьшая величина трёхчлена будет соответствовать наибольшей величине дроби. $\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}\in(0;\frac{4}{4}]$ $\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}\in(0;1]$ Итак, вот, что получается. Левая часть может принимать значения от 1 до 2, а правая - от 0 до 1. Равенство может быть только тогда, когда и левая, и правая части равны единице. В итоге одно уравнение у нас разбивается на два: $2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}=1$ $\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}=1$ Из первого: $2^{\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}=2^0$ $\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)=0$ $\sin\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)=0$ $2\pi x+\frac{5\pi}{4}=\pi n, n\in Z$ $2x+\frac{5}{4}=n, n\in Z$ $x = \frac{n}{2}-\frac{5}{8}, n\in Z$ Из второго: $\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}=\\frac{4}{4}$ $(x-a)^2-6(x-a)+13=4$ А мы уже установили, что значение 4 достигается квадратным трёхчленом при x - a = 3 x = a + 3 Итак, получаем, что с одной стороны, $x = \frac{n}{2}-\frac{5}{8}, n\in Z$, а с другой х = а + 3 Вспомним вопрос задачи: Найдите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение имеет положительный корень Поскольку х = а + 3, то наименьшее значение а будет соответствовать наименьшему положительному корню х. А собственно положительный корень х найдём из $x = \frac{n}{2}-\frac{5}{8}, n\in Z$ Чтобы х было положительным, n должно быть больше или равным 2. Таким образом, $x = \frac{2}{2}-\frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ $a = x-3 = \frac{3}{8}-3 = -2\frac{5}{8}=-2,625$ Ответ: -2,625 Завтра разберём решения других задач. Стереометрия в пробном ЗНО 2014 по математике 2014-03-30 19:52 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com> Продолжаем разбор задач пробной сессии ЗНО 2014. До настоящего ЗНО остаётся совсем немного времени, поэтому не мешает освежить приёмы решения сложных стереометрических задач. Задача 33. Стереометрия, пирамида, объём Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD (BC || AD). Боковая грань SBC, площадь которой составляет 24,4 см$^2$, перпендикулярна плоскости основания. Точка М - середина ребра SB. Плоскость (MAD) пересекает ребро SC в точке N. Найдите длину отрезка MN (в см), если объём пирамиды равен 152 см$^3$, а площадь её основания - 57 см$^2$. Решение Изобразим эту пирамиду.  Т.к. в основании трапеция, то и изображается она трапецией (при параллельном проектировании параллельность сторон сохранятся). SH - высота пирамиды, она совпадает с высотой боковой грани SBC. Почему сечение пирамиды плоскостью (MAD) будет выглядеть именно так? Дело в том, что т.к. BC || AD и BC принадлежит плоскости (SBC), то прямая AD параллельна плоскости (SBC). Раз плоскость (MAD) содержит в себе прямую (AD) и имеет с плоскостью (SBC) общую точку М, то линия пересечения плоскостей (MAD) и (SBC) будет параллельна AD и проходить через точку M. Получаем три параллельные прямые: AD || MN || BC. Раз MN || BC и М - середина SB, то MN - средняя линия треугольника SBC. $MN=\frac{BC}{2}$. Для удобства дальнейших вычислений обозначим высоту пирамиды SH = H, высоту основания HK = h, основания трапеции: BC = a, AD = b. Тогда: Площадь боковой грани $S_{SBC}=\frac{1}{2}aH=24,4$ Площадь основания: $S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}h=57$ Объём пирамиды: $V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot H=152$ Из второго и третьего уравнений найдём высоту пирамиды: $\frac{1}{3}\cdot57\cdot H=152$ 19H = 152 H = 8 Подставим теперь это в первое уравнение: $\frac{1}{2}a\cdot 8=24,4$ 4a = 24,4 a = 6,1 Получается, MN, как средняя линия треугольника SBC, равна 3,05 см Ответ: 3,05 Решение задач про мост и про периодическую функцию в ЗНО по математике 2014-03-30 20:24 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com> Разберём ещё две задачи:  Задача 31. Геометрия, окружность.На рисунке изображён выпуклый мост, имеющий форму дуги AMB с центром в точке О. MN - срединный перпендикуляр к АВ, MN = 3 м. Найдите длину радиуса ОВ (в метрах), если АВ = 12 м. Решение ОВ = ОА = ОМ - радиус окружности. Обозначим его R. Достроим к рисунку прямоугольный треугольник ONB.  $R^2=6^2+(R-3)^2$ $R^2=36+R^2-6R+9$ 6R = 45 R = 7,5 Ответ: 7,5 Задача 32. Функции, периодичность Дана периодическая функция y=f(x) с периодом Т=9 и областью определения - всеми действительным числами. На промежутке (-5;4] эта функция задаётся формулой $f(x)=19-x^3$. Вычислите f(5). Решение Поскольку период функции равен 9, то f(5) = f(5-9)=f(-4). Раз число -4 попадает на промежуток (-5;4], то, по условию, $f(-4)=19-(-4)^3=19+64=83$. Этому числу будет равняться и f(5) Ответ: 83 Как решать задачи с корнями на ЗНО 2014-03-30 20:48 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com> В третьей части ЗНО по математике было 2 задачи с корнями: упрощение выражения и система уравнений. Задача 29. Упрощение выражения Вычислите значение выражения $\left(\sqrt[6]{27}-\sqrt[4]{100}\right)\cdot\left(\sqrt[6]{27}+\sqrt[4]{100}\right)$ Решение Здесь произведение суммы и разности одних и тех же чисел. Значит, можно применить формулу сокращённого умножения: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ $\left(\sqrt[6]{27}-\sqrt[4]{100}\right)\cdot\left(\sqrt[6]{27}+\sqrt[4]{100}\right)=\left(\sqrt[6]{27}\right)^2-\left(\sqrt[4]{100}\right)^2=\sqrt[3]{27}-\sqrt{100}=3-10=-7$ Здесь мы также использовали свойство возведения корня в степень: $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[\frac{n}{m}]{a}=a^{\frac{m}{n}}$ Ответ: -7 Задача 30. Система уравнений Решите систему уравнений: $\begin{cases} \sqrt{y-7x+33}=x \\ 4x-y=5 \end{cases} $ Если у системы одно решение $(x_0;y_0)$ , то в ответ запишите произведение $x_0 y_0$, если решений два $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$, то в ответ запишите наибольшее из произведений: $x_1 y_1$ или $x_2 y_2$ Решение Используем метод подстановки. Из второго уравнения выражаем у: у = 4х - 5 Подставляем его в первое: $\sqrt{4x-5-7x+33}=x$ $\sqrt{28-3x}=x$ ОДЗ: $x \geq 0$ и $28-3x \geq 0$ $\begin{cases}x \geq 0 \\ x\leq\frac{28}{3}\end{cases} $ $x\in[0;\frac{28}{3}]$ Теперь можно решать уравнение, возведя обе части в квадрат: $28-3x=x^2$ $x^2+3x-28=0$ По теореме Виета, $x_1 = -7, x_2 = 3$ В ОДЗ входит только второй корень. Находим у. у = 4 * 3 - 5 = 7 В ответ нухно записать произведение х у = 3 * 7 = 21 Ответ: 21 ЗНО по математике: интеграл и метод интервалов 2014-03-30 22:55 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com> Задача 27. Интеграл Вычислите $\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{5 ctg x \sin x dx}$ Решение Преобразуем подынтегральное выражение $ctg x \sin x = \frac{\cos x}{\sin x}\sin x=\cos x$ Таким образом, интеграл примет вид: $\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{5 \cos x dx}=5\sin x | _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}=5\left(\sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{6}\right)=5\left(1-\frac{1}{2}\right) = 2,5$ Ответ: 2,5 Чтобы решить эту задачу, нужно знать:
Задача 28. Решение неравенства Решите неравенство $(18+2x)^2(x^2+8x+15)\leq 0$. В ответ запишите сумму всех целых решений. Решение Рассмотрим множители по отдельности. $(18+2x)^2\geq 0$ всегда. Равенство достигается при x=-9 Квадратный трёхчлен $x^2+8x+15$ раскладывается на множители как (x+3)(x+5). Нулю он равняется при х = -3 или х = -5. Итак, имеем 3 корня, два - первой кратности и один - второй. Отобразим все корни на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, ксе точки закрашиваются.  Вот, что должно получиться:  Целые значения, удовлетворяющие условию, это: -9, -5, -4, -3. Их сумма составит -21. Именно это число и нужно записать в ответ. Ответ: -21 Все ответы и решения третьей части ЗНО 2014-03-30 23:21 Alexey Izvalov <noreply@blogger.com> Готово! У нас на сайте разобраны все задачи из третьей части тетради ЗНО по математике! Всё, что касается этой темы, доступно по метке ЗНО Вот ещё две задачи из третьей части тетради: Задача 25. Задача на движение Длина маршрута велосипедиста равна 81 км. Первую часть этого маршрута велосипедист проехал с постоянной скоростью за 3 часа. Вторую часть, длиной 36 км, велосипедист проехал с постоянной скоростью 18 км/ч. Вопрос 1. Сколько часов потратил велосипедист на вторую часть пути? Вопрос 2. Какой была средняя скорость велосипедиста на протяжение всего пути? Решение. Первый вопрос - пример на деление для второго класса. Расстояние 36 км, скорость 18 к/ч, значит, затратил он на вторую часть пути 36 : 18 = 2 часа. Для ответа на второй вопрос достаточно знать, что средняя скорость вычисляется как общее расстояние, делённое на общее время. Расстояние в 81 км велосипедист проехал за 3+2=5 часов. Значит, его средняя скорость 81 : 5 = 16,2 км/ч Ответы: 2 16,2 Задача 26. Геометрия. Площадь ромба равна 10,8 см$^2$, а площадь вписанного в него круга составляет $2,25\pi$ см$^2$. Вопрос 1. Найдите радиус круга Вопрос 2. Найдите сторону ромба Решение. Изобразим круг и ромб.  Зная это, можно вычислить, во-первых, радиус круга: $\pi R^2=2,25\pi$ $R^2=2,25$ R=1,5 (см) Значит, высота ромба равна 3 см. А сторону ромба можно вычислить так: $a=\frac{S}{h}=\frac{10,8}{3}=3,6$ (см) Ответы: 1,5 см 3,6 см |
| В избранное | ||
