Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Приглашение в мир математики

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 308 RSS
←   Декабрь 2010   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://www.intelmath.narod.ru
Открыта: 25-07-2008
Адрес автора: job.education.maths-owner@subscribe.ru

Автор
General

Статистика

308 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Четвёртая открытая интернет-олимпиада по математике: XIV тур Математического марафона


Четвёртая открытая интернет-олимпиада по математике: XIV тур Математического марафона

Мы рады объявить о старте новой Открытой математической интернет-олимпиады, которая проводится совместно с Математическим марафоном. Вас опять ждёт 10 интересных задач, так что будет чем заняться на каникулах :)

В рамках 14-го тура Математического марафона по традиции проводится тематический конкурс. Сейчас это - Математические игры и стратегии.

В истории Марафона этой теме была посвящена задача ММ66 (еще несколько задач были близки к этой тематике), во второй Интернет-олимпиаде участникам предлагалось проанализировать, как может повлиять на ход игры Баше случайная составляющая, а в Математический Маневрах под игровые задачи выделялась целая область.

Однако данная тематика далека от исчерпания, и мы предлагаем вам в решить пять новых задач, которые строятся вокруг игры двух человек.

Напомним, что в математических играх каждый игрок делает ходы наилучшим для себя образом. Так что описываемая вами выигрышная стратегия должна обеспечивать победу при любых ответах соперника.

====================

Решения можно присылать на val@dxdy.ru (в этом случае его сразу увидят оба ведущих), на val-etc@yandex.ru или в ЛС.

Не забывайте высылать вместе с решениями свои эстетические оценки задач.

Ведущие Марафона Владимир Лецко и Алексей Извалов

Итак, поехали!

====== 131 =========
Решения принимаются, по крайней мере, до 15.01.2011 .

ММ131 (3 балла) (Прощай 2010-й)

Граф G=\left<V,E\right> задан на множестве V = \{1, 2,\dots, 2010\} по правилу: \{x,y\} \in E \Leftrightarrow x+y = a \vee x+y = b , где a и b - фиксированные натуральные числа.
При каких a и b , граф G :
а) связен;
б) является деревом;
в) является цепью;
г) имеет циклы?

======= 132 ========
Решения принимаются, по крайней мере, до 19.01.2011 .

ММ132 (5 баллов) (Здравствуй 2011-й)

Граф G=\left<V,E\right> задан на множестве V = \{1, 2,\dots, 2011} по правилу: \{x,y\} \in E \Leftrightarrow |x-y| > a , где a - фиксированное натуральное число, меньшее 1006.
Сколько периферийных вершин может иметь граф G?

Примечание: Вершина графа называется периферийной, если ее эксцентриситет равен диаметру графа.

======= 133 ========
Оценка за решение задачи ММ133 будет учитываться дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.

Решения принимаются, по крайней мере, до 22.01.2011 .

ММ133 (МИ1) (3 балла)

На столе лежит N спичек. Петя и Вася поочерёдно берут оттуда от 1 до 5 спичек, однако нельзя повторять число, взятое соперником на предыдущем ходу. Выигрывает тот, кто забирает последнюю спичку. Начинает Петя, своим первым ходом может взять любое количество от 1 до 5. Найдите общий вид чисел N, при которых партию выиграет Вася.

======= 134 ========
Оценка за решение задачи ММ134 будет учитываться дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.

Решения принимаются, по крайней мере, до 26.01.2011 .

ММ134 (МИ2) (4 балла)

Позицией в игре является конечное множество чисел, записанных в двоичной системе счисления. Игроки по очереди разбивают одно из чисел этого множества на части так, чтобы выполнялись два правила:
1) оба полученных числа должны начинаться с единицы;
2) хотя бы одно из них должно заканчиваться нулём.
Например, 1101 можно разбить только на 110 и 1, а 11010 - на 1 и 1010 или на 110 и 10.

Проигрывает тот игрок, кто не сможет сделать ход согласно правилам.

Кто выиграет, если игра начнётся с числа (2011)_{10}=(11111011011)_2 ?

======= 135 ========
Решения принимаются, по крайней мере, до 3.02.2011 .

ММ135 (4 балла)

Конечно ли множество пар натуральных чисел (a,b) , таких что остатки от деления a^2 на b и b^2 на a равны по 2011?

======= 136 ========
Оценка за решение задачи ММ136 будет учитываться дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.

Решения принимаются, по крайней мере, до 8.02.2011 .

ММ136 (МИ3) (5 баллов)

На столе в открытую лежит 16 карт: 4 туза (считаются за 1 очко), 4 двойки, 4 тройки и 4 четвёрки. Петя и Вася по очереди берут оттуда по одной карте и складывают в отдельную стопку (общую). Выигрывает тот, после чьего хода сумма очков в этой стопке составит 21 очко (или заставивший соперника своим ходом превысить это значение). Петя начинает игру. Кто победит в игре и какой стратегии он должен придерживаться (как реагировать на ходы соперника)?

======= 137 ========
Оценка за решение задачи ММ137 будет учитываться дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.

Решения принимаются, по крайней мере, до 13.02.2011 .

ММ137 (МИ4) (6 баллов)

Шашки двух игроков стоят на противоположный полях прямоугольника 1x(N+2), между ними N клеток. Начальная скорость каждой шашки равна 1.
Каждый ходом игрок может или передвинуть свою шашку в сторону противника на величину, равную текущей скорости или увеличить скорость на 1 и передвинуть шашку в этом направлении уже на величину увеличенной скорости.
Выигрывает тот, кто поставит свою шашку на шашку противника или перепрыгнет через неё.
Для каких натуральных N, не превосходящих 100, выиграет второй игрок?

======= 138 ========
Решения принимаются, по крайней мере, до 17.02.2011 .

ММ138 (6 баллов)

Доказать, что для любого натурального k найдутся натуральные a, n и g, такие что для всех i из {0,1,... ,k-1}
в системе счисления с онованием g+i, число a является n-i-значным.

======= 139 ========
Задача ММ139 является развитием идеи задачи Кузнецова Сергея Тихоновича.
Оценка за решение этой задачи будет учитываться дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.

Решения принимаются, по крайней мере, до 21.02.2011 .

ММ139 (МИ5) (7 баллов)

Кнопки калькулятора расположены так, как на цифровой клавиатуре:
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline 7 & 8 & 9 \\ \hline 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 \\ \hline \multicolumn{2}{|c|}{0}\\ \cline{1-2} \end{tabular}
Назовём смежными те кнопки, которые имеют общую сторону или отрезок стороны (клавиша 0 смежна с клавишами 1 и 2).
Вначале на индикаторе число 0. Начинает игру Петя, прибавляя к нему любое (им выбранное) число от 0 до 9. Затем Вася прибавляет в полученному числу слагаемое, находящееся на смежной кнопке с той, которую нажимал Петя. Затем Петя делает свой ход, прибавляя число, смежное с нажатым Васей и т.д. Игра заканчивается, когда после очередного действия на индикатор появится некоторое наперёд заданное число N (N>10).
Для каких N наибольшее число вариантов первого хода Пети приведёт его в дальнейшем к победе?

======= 140 ========
Задача ММ140 навеяна вот этой.
Решения принимаются, по крайней мере, до 28.02.2011 .

ММ140 (10 баллов)

На квадратной площади, разлинованной на nxn клеток (полей) собрались n^2 человек, каждый из которых является либо рыцарем (всегда говорят правду), либо лжецом (всегда лгут). Каждый расположился на отдельном поле. После этого каждый произнес: "Среди моих соседей поровну рыцарей и лжецов". Какова наибольшая возможная доля рыцарей среди собравшихся?

Примечания:
Соседними считаются поля, имеющие общую сторону;
Каждый из собравшихся знает, кем являются его соседи.

===============

В избранное