Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 746 RSS
←   Сентябрь 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Открыта: 09-06-2007

Автор
Салимжанов Рафик Михайлович

Статистика

746 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Решения тестов ЕГЭ (тип С). Статья о Форумах. Полезные ссылки.


МАТЕМАТИКА. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ И ЕНТ. ВЫПУСК 35
Рассылка сайта ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике. Полезные ссылки
ЗДРАВСТВУЙТЕ! СЕГОДНЯ В ВЫПУСКЕ:
  • Новости сайта
  • Тесты ЕГЭ и ЕНТ
  • Статья
  • Ссылка
  • Юмор

    • Новости сайта

    На сайте ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике. Полезные ссылки" появились новые страницы "Решения тестов ЕГЭ (тип В)" и "Решения тестов ЕГЭ (тип С)". Тепрь все ресурсы можно посмотреть на карте сайта.
    Тесты ЕГЭ и ЕНТ

    Пример 1. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение х3 + 8х2 + (а + 13)х + 2а + 2 = 0 имеет три различных действительных корня.

     Решение. При решении таких уравнений применяется прием основанный на уеденении параметра. Суть его состоит в том, что в левой части уравнение оставляют слагаемые, которые не содержат параметра, а в правую часть переносят все слагаемые зависящие от параметра. Я попытаюсь это сделать, а затем намереваюсь решить полученное уравнение графически.

    х3 + 8х2 + 13х + 2 = -ах - 2а, х3 + 8х2 + 13х + 2 = -а(х + 2).

    При решении сложных задач на каждом этапе приходится анализировать, выяснять что сделано и что делать далее. Вот и здесь. Я планировал далее решать уравнение графически. Но я воздержусь от реализации этой идеи. Причиной тому, то что в правой части уравнения есть множитель х + 2. Поэтому возникает желание разложить левую часть уравнения на множители. При этом я ожидаю, что один из множителей будет равен х + 2. Посмотрим!

    При разложении многочлена х3 + 8х2 + 13х + 2 на множители я хочу получить результат вида (х + 2)f(x), где f(x) некоторый квадратный трехчлен. Те, кто умеют делить многочлены друг на друга столбиком, могут это сделать самостоятельно. Я же применю другой прием. х3 + 8х2 + 13х + 2 = (х3 + 2х2) + (6х2 + 12х) + (х + 2) = х2(х + 2) + 12(х + 2) + (х + 2) = (х + 2)(х2 + 6х + 1).

    Теперь наше уравнение имеет следующий вид (х + 2)(х2 + 6х + 1) = -а(х + 2) или (х + 2)(х2 + 6х + 1 + а) = 0. Оно равносильно совокупности двух уравнений: х = -2 и х2 + 6х + 1 + а = 0. Чтобы исходное уравнение имело три корня необходимо и достаточно чтобы уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0 имело ровно два различных корня. Это возможно тогда и только тогда, когда его дискриминант строго больше нуля.

    D = 9 - 1 - а = 8 - а > 0, а < 8. Наименьшее целое число удовлетворяющее этому уравнению а = 7.

    Казалось бы все сделано, правильный ответ равен 7.

    Здесь я опять вернусь к мысли о том, что на каждом этапе решения задачи нужно смотреть, что мы сделали. Мы показали, что при а = 7 уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0 имеет два корня. Но означает ли это, что при а = 7 уравнение х3 + 8х2 + (а + 13)х + 2а + 2 = 0 имеет три различных действительных корня? Это возможно только тогла, когда ни один из корней квадратного уравнения х2 + 6х + 1 + а = 0 при а = 7 не равен -2. Так ли это? Проверим.

    При а = 7 уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0 принимает вид х2 + 6х + 8 = 0. Нетрудно решить последнее уравнение и получить его корни -2 и -4. Значит, число а = 7 не является ответом нашей задачи.

    Следующим целым числом, удовлетворяющим условию задачи является число а = 6. Теперь, наученные горьким опытом предыдущего этапа мы должны будем осуществить проверку. Действительно, при а = 6 из уравнения х2 + 6х + 1 + а = 0 получаем х2 + 6х + 7 = 0. Нетрудно убедиться в том, что корни этого уравнения отличны от -2. Вот и все.

    Ответ: 6.

    Пример 2. Найдите число решений систему уравнений {(xy)1,5 + 1 = xy0,5 + yx0,5 и y2 + 100 = 10y(2x + 2-x).

    Решение. Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую часть(xy)1,5 + 1 - xy0,5 - yx0,5 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители, группировав слагаемые следующим образом:
    ((xy)1,5 - xy0,5) - (yx0,5 - 1) = 0;
    xy0,5(yx0,5 - 1) - (yx0,5 - 1) = 0;
    (yx0,5 - 1)(xy0,5 - 1) = 0;
    yx0,5 - 1 = 0 или xy0,5 - 1 = 0;
    yx0,5 = 1 или xy0,5 = 1; xy2 = 1 или yx2 = 1, при условии, что х и у - неотрицательны.

    Теперь займемся вторым уравненим данной системы. Оно сводится к кватратному относительно переменной у. y2 - 10y(2x + 2-x) + 100 = 0. D = 25(2x + 2-x)2 - 100 = 25(22x + 2 + 2-2x - 4) = 25(22x - 2 + 2-2x) = (2x - 2-x)2.
    у = 5(2x + 2-x) ± 5((2x + 2-x);
    y = 10⋅2x или y = 10⋅2-x.

    Данная система уравнений свелась к решению четырех, более простых систем: {xy2 = 1 и y = 10⋅2x} или {xy2 = 1 и y = 10⋅2-x} или {yx2 = 1 и y = 10⋅2x} или {yx2 = 1 и y = 10⋅2-x}.
    Нам не нужны точные решения этих систем, а нужно только определить их общее количество. Такая задача называется качественной.

    Рассмотрим первую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10⋅2x}. Подставим значение у из второго уравнения в первое уравнение. 100х⋅х22x = 1 или 100х⋅22x - 1 = 0.

    Существует два метода определения количества решений уравнения: аналитический и графический. Мы будем использовать тот или иной способ в зависимости от конкретной ситуации. Левая часть уравнения 100х⋅22x - 1 = 0 является возрастающей функцией f(x) = 100х⋅22x - 1 при х > 0. Значит, это уравнение либо не имеет корней, либо имеет один единственный корень.

    Очевидно, что при х = 0,000001 f(x) < 0, а при х = 1 f(x) > 0. Значит, на промежутке (0,000001; 1) уравнение имеет корень, и, он единственный. Итак, мы установили, что первая система имеет единственное решение.

    Рассмотрим теперь вторую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10⋅2-x}. Точно также, подставив значение у из второго уравнения в первое уравнение получим 100х⋅2-2x = 1 или 100х⋅2-2x - 1 = 0. Здесь применение передыдущего способа проблематично.Попытаемся применить графический метод. Построить график функции f(х) = 100х⋅2-2x - 1, наверное можно, но трудно и долго. Поэтому постараемся преобразовать уравнение 100х⋅2-2x - 1 = 0 так, чтобы нужные графики можно было построить легко и быстро. 100х⋅2-2x = 1, 100х = 22x. Попытаемся построить графики функций у = 100х и у = 22x. Получим примерно такую картинку. Из полученной картинки трудно быстро установить одна или две общие точки у этих кривых. Нужны дополнительные исследования, а времени для этого на экзамене крайне мало. Окончание решения этого тестового задания можно прочитать здесь

    Задания для самостоятельного решения

    Пример 1. Найдите число целых значний параметра а, при которых множество решений неравенства (а - 1)х2 ≤ (3а + 2)х + 10а содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогресси с первым членом, равным -8, и разностью, меньшей или равной 6.

    Пример 2. Найдите число решений системы {π2y2 + 12x2 = 8πxy и y2 = y(cos2x - sinx) + sinxcos2x}.

    Примечание. Решения этих тестовых заданий будут опубликованы в следующем выпуске рассылки и на странице "Решения тестов ЕГЭ (тип С)" сайта ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике.

    Уважаемые подписчики!

    Даже после нескольких прочтений черновика номера рассылки остаются описки и другие недочеты. Рассылку, к сожалению, вернуть обратно для исправлений нельзя. Поэтому на форуме "ЕГЭ и ЕНТ В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ" (http://egeent.ucoz.ru/forum/) вы можете задать вопрос, указать на мои ошибки или прочитать об этих ошибках в сообщениях других пользователей.

    Кроме этого там же вы можете предложить и свои, отличные от моих, решения тестовых заданий рассмотреных в этом номере рассылки.

    Статья

    ФОРУМЫ - ЗАЧЕМ И КАК


    Сегодня на многих сайтах есть форумы. Форумы - один из важных атрибутов сайта. Прежде всего, хотелось бы рассказать нашим читателям какую пользу принести им форумы при их грамотном использовании.

    Представим себе, что вы учитель математики или информатики и у вас возник вопрос, например, по какому либо тестовому заданию. Такой же вопрос может возникнуть и у учащихся и, неверное, чаще, чем у учителя. Зайдем на ya.ru и зададим для поиска фразу «ЕГЭ и ЕНТ». Обязательно появятся ссылки на сайт «ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике».

    На этом сайте (egeent.narod.ru) есть форум и гостевая. Попытаемся на примере этого форума разобраться как и от кого можно получить ответ на Ваш вопрос. Скачать (прочитать) статью «ФОРУМЫ - ЗАЧЕМ И КАК».
    Полезные ссылки

    Математическая библиотека. (http://egeent.narod.ru/biblioteka/1.html). Перечислю все рубрики этого интернет-ресурса:

    1. Егэ-математика. Файлы для скачивания. Здесь предлагается девять ссылок для бесплатного скачивания пособий и сборников тестов ЕГЭ и ЕНТ. Думаю, что такое количество вполне приемлимо для качественной подготовки к экзамену.

    2. Пособия для классов с углубленным изучением математики. Предлагается 16 пособий для скачивания. При этом многие из этих пособий в бумажном варианте трудно купить и найти в библиотеках.

    3. Учебники и методические пособия для общеобразовательных школ. 14 пособий, учебников, методических разработок и сборников задач с решениями.

    4. Конспекты уроков. Ссылки на более 4000 (!!!) конспектов открытых уроков по математике. Если учесть, что учебный год содержит не более 250 дней, то этого вполне хватит на несколько лет.

    5. Учебники, статьи, журналы, справочники. Здесь ссылки на те книги по методике преподавания математики, журналы, которые вероятно в ближашие десятилетия переиздаваться уже не будут. Значит, они учителям молодго и среднего поколения уже не доступны.

    6. Внеклассная работа по математике: олимпиады, факультативы, кружки. 14 полезных источников для подготовки к олимпиадам различного уровня. Все пособия полезны для использования на кружковых и факультативных занятиях по математике.

    Файлы с этого ресурса надежнее скачивать так:
    а) щелкнуть ПРАВОЙ кнопкой мыши на ссылке;
    б) в появившемся контекстном меню выбрать команду "СОХРАНИТЬ ОБЪЕКТ КАК ...";
    в) далее как обычно указать папку на Вашем комрьютере для сохранения файла.

    Решения тестов ЕГЭ. Решения тестов ЕГЭ (тип В) (http://egeent.narod.ru/biblioteka/zadachiege.html) и Решения тестов ЕГЭ (тип С) (http://egeent.narod.ru/biblioteka/zadachc.html) - эти интернет-источники появились к началу очередного учебного года. Значит, их материалы можно без авральной спешки использовать на уроках математики и при индивидуальной подготовке к экзамену.

    Можно также задать вопрос ведущему сайт, на форуме, в группе Сдай ЕГЭ и ЕНТ на отдично!.
    Юмор

    Сидит отец в кресле, читает газету. Рубрика спорт. Нападающий российского футбольного клуба продан в "Милан" за рекордную сумму 100 млн. долларов, при этом, по контракту ежегодная зарплата составляет 50 млн. В сердцах скомкав газету отбрасывает, подходит к сыну, который сидит делает уроки и дает ему подзатыльник:

    - Сидишь тут, фигней страдаешь, пошел бы лучше во двор - мяч погонял!
    Дружественные рассылки

    1. Подготовка к тестированию за 2 года. Рассылка, которая поможет тем, у кого проблемы с грамматикой английского языка. Шаг за шагом, от простого к сложному.

    2. Учительница информатики - работаем с удовольствием. (http://subscribe.ru/catalog/job.education.uchinfo). Полезные статьи, проверенные опытом мультимедийные уроки по информатике с заданиями для практических и контрольных работ и поурочными планами к ним и др.
    Посетите сайт рассылки!

    Карта сайта "ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике" Разделы сайта еженедельно пополняются. Адрес сайта: http://egeent.narod.ru/

    Владелец сайта: Рафик Михайлович Салимжанов - директор Республиканского журнала "Средняя школа", egeent"собачка" (замените "собачка" на @) bk.ru
    Если у вас есть интересные тестовые задания, трудные математические задачи или вы просто не можете решить тестовое задание или математическую задачу, присылайте ее в рассылку или на Форум, решим вместе!

    ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ:

    1. E-mail автора рассылки: щелкните здесь.
    2. Форум "ЕГЭ и ЕНТ в вопросах и ответах".


    До новых встреч!
    2007 При перепечатке, цитировании и другом использовании материалов ссылка на рассылку Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично! обязательна.
    Наверх
    В избранное