Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 746 RSS
←   Февраль 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29


За последние 60 дней ни разу не выходила


Открыта: 09-06-2007

Автор
Салимжанов Рафик Михайлович

Статистика

746 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Новые приемы решения тестовых заданий и задач по тригонометрии.


МАТЕМАТИКА. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ И ЕНТ. ВЫПУСК 30
Рассылка сайта ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике. Полезные ссылки
ЗДРАВСТВУЙТЕ! СЕГОДНЯ В ВЫПУСКЕ:
  • Новости сайта
  • Тесты ЕГЭ и ЕНТ
  • Статья
  • Ссылка
  • Задача на смекалку
  • Анекдот
  • Дружественные рассылки

    • Новости сайта

    На сайте ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике. Полезные ссылки" изменился внешний дизайн. Но не только это. Для учащихся создана страница с on-line тестами. Здесь можно пройти соответствующий тест посмотреть правильные ответы, найти свои ошибки и т. п. Открою небольшой секрет. Если ссылку на нужный тест вызывать при нажатой клавише Shift, то тест откроется в новом окне и работать будет удобнее.

    Советую также обратить внимание на ссылки в правой колонке главной страницы сайта egeent.narod.ru. Можно скачать тесты с сайта БОТАНа (http://www.botan.ws/index.htm). Там их вагон и небольшая тележка. Вам хватит до пенсии.

    Заработал мой Форум "EGE and ENT in questions and answers" или "ЕГЭ и ЕНТ В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ" (http://egeent.my4room.ru/). Здесь Вы можете задать вопрос, касающийся тестов ЕГЭ и ЕНТ. Вам могут ответить или не ответить, но чаще всего отвечают.
    Тесты ЕГЭ и ЕНТ

    Тестовые задания по тригонометрии - самые трудные и нелюбимые школьниками. Почему? Причина проста. Школьники на хотят зубрить соответствующие формулы. А без формул в тригонометрии никуда. А можно ли решать тестовые (и не только) задания без формул. Вообще говоря нельзя. Но если очень хочется, то можно. А если серьезно, то можно, но с одной оговоркой - только иногда. При этом в редких случаях. В сегодняшнем выпуске разберем такие тестовые задания по тригонометрии.

    Пример 1. Доно: tgα = 3/4, 0 < α < π/2. Вычислить sinα + 2cosα.

    1) -10/5;      2) 10/5;      3) -11/5;      4) 11/5;      5) 7/5.     

    Расскажу о двух возможностях решения этого задания.

    Первый путь состоит в применении калькулятора (конечно, математического, а не базарного). Так как 0 < α < π/2, то возможен следующий подход. На калькуляторе разделим 3 на 4 (рассказываю для самых непродивинутых по уму). Получим 0,75. Затем ищем клавишу Shift (на калькуляторе) и нажимаем на нее (только один раз). Ничего не должно произойти. После этого найдем клавишу tan и нажинаем на нее. Результатом будет число 36.86989765 (у тех, у кого калькулятор настроен на работу с градусмым измерением углов) или 0.643501108 (значение α в радианах). Не трогайте далее калькулятор и выпишите это число на бумагу, оставив только 3-4 цифры после запятой (у Вас десятичной точки). Например, 36.8698о или 0.6435 радиан. Запоминать это число на советую, у некоторых может обостриться умственное истощение :).

    Затем надо нажать на клавишу sin и вы получите значение sinα. Это число советую тоже выписать на бумагу (должно быть 0.6). После этого вычислите на том же калькуляторе 2cosα (α = 36.8698 или α = 0.6435 у Вас записано на бумаге). Должно получится 0.800001022. Сложите числа 0.6 и 2 · 0.800001022 = 1.600002044. Получите 2.400002044.

    Такого ответа нет, скажут некоторые и будут тупо правы. Теперь не трогая ответы, в которых указаны отрицательные числа (догадайтесь с трех раз почему), мы будем делить 10 на 5 (ответ 2) и получим 2. Этот никак не совпадает с нашим ответом 2.200002044. Затем разделим 11 на 5 и получим 2.2. Вроде этот ответ похож на наш. Оставим его под подозрением. Осталось разделить 7 на 5 (ответ 5). Получаем 1.8 - резко отличается от нашего ответа - значит, ответ 5 неверный.

    Правильный ответ - 4.

    Остается ответить на простой вопрос: "Почему правильный ответ, хоть незначительно, но отличается от "калькуляторного" ответа"? Конечно, этот вопрос зададут (мягко говоря) недагадливые (умные не спросят, а сами догадаются). Все верно, так и должно быть. Это плата за наше отбрасывание у почти точного значения угла α = 36.86989765 или α = 0.643501108 некоторых цифр, округления до числа 36.8698о или до 0.6435 радиан.

    Наконец, отмечу, что современные математические калькуляторы позволяют работать значительно эффективнее. Но я рассказал алгоритм для самых и самых неопытных пользователей (а точнее, собственников и только собственников) математических калькуляторов. Те, кто считает себя более продвинутыми могут переделать мой алгоритм. А мне некогда топтаться на месте. Я расскажу о втором способе решения этого задания без калькуляторов.

    «Мы все учились понемногу, чему-нибудь и как-нибудь», сказал великий классик (А. С. Пушкин). Действительно, все мы учились и продолжаем учимся как-нибудь. И в этом наше горе (после дураков и дорог). А если перевести эти слова нашу тему, то это означает, что выучив один раз определение тринометрических функций мы навсегда их забываем или вспоминаем от случая к случаю. Действительно, в курсе алгебры мы находим значения тригонометрических функций по известному значению одной из них, упрощаем выражения, решаем уравнения. При этом опираемся не на определение тригонометрические функций, а на псалтырь (Ж. Дьедоне) формул.

    Вот как можно решить наше тестовое задание без всяких формул, используя только опреление тангенса, косинуса и котангенса одного и того же угла. Так как 0 < α < π/2 (угол α - острый), то используем определение тригонометрических функций для острого угла из курса геометрии восьмого класса (кто не помнит - почитайте учебник геометрии).

    Построим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 (стройте сами без меня). Понятно, что это так называемый египетский треугольник, у которого гипотенуза равна 5 (кто в этом не уверен - вычислите гипотенузу по теореме Пифагора). Тогда sinα по определению равен отношению противолежащего катета (3) к гипотенузе (5), cosα - отношению прилежащего катета (4) к гипотенузе (5).

    Поэтому sinα + 2cosα = 3/5 + 8/5 = 11/5. Значит, ответ 4 - правильный.

    Пример 2. Дано: sinα = -3/5, π < α < 3π/2. Вычислите 2tgα + ctgα.

    1) 25/12;      2) 17/6;      3) -25/12;      4) -17/6;      5) 25/6.     

    В координатной плоскости ХОУ построим окружность с радиусом 5 и на ней отметим точку с абсциссой -3. Советую выполнить чертеж самостоятельно или скачать его отсюда (http://egeent.narod.ru/ris.GIF).

    Очевидно, что треугольник МАО - египетский. Поэтому МА = 4. Значит точка М имеет координаты х = -4, у = -3.

    По определению tgα = у/MO = 3/4, а ctgα = х/MO = 4/3. Поэтому 2tgα + ctgα = 3/2 + 4/3 = 17/6. Значит, правильный ответ 2.

    А где же калькуляторное решение? Конечно, его можно реализовать. Однако не все так просто. В нашем случае угол α расположен в третьей четверти, а для этих случаев непосредственное применение калькулятора невозможно. Нужно помнить, что калькулятор удобно применять тогда, когда угол α расположен в первой четверти. Поэтому мы рассматривать калькуляторное решение не будем, так как оно потребует больше времени, чем то решение, которое приведено выше.



    Задания для самостоятельного решения


    Пример 1. Дано: sinα = 40/41, 0 < α < π/2. Вычислите tgα - ctgα.

    1) 1681/360;      2) -1519/360;      3) -1681/360;      4) 81/360;      5) 1519/360.     

    Пример 2. Дано: cosα = -3/5, π/2 < α < π. Вычислите tgα + sinα.

    1) -8/15;      2) 8/15;      3) 32/15;      4) -32/15;      5) 31/20.     

    Думайте, решайте. Получайте максимум пользы от моей рассылки - обсудите свои решения на     Форуме (http://egeent.my4room.ru/) в разделе "Для подписчиков рассылки "Математика. Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ" на SUBSCRIBE.RU". Вам всегда исправят ошибки в решениях и тем самым помогут поступить в вуз. Делать ошибки не стыдно (а даже полезно), а стыдно их скрывать и не исправлять.
    Статья

    ЗАДАЧА - ОБОРОТЕНЬ


    В зависимости от роли, которую играют математические задачи в обучении, их можно разделить на три вида: задачи с дидактическими функциями, задачи познавательного характера и развивающие задачи. При этом многие учителя математики днем с огнем ищут сборники задач развивающего характера, забывая, что они всегда у них под руками. Дело в том, что одна и та же задача в руках умелого мастера-педагога может выполнять все эти три функции одновременно.

    Очень трудно в обычной дидактической задаче увидеть глубоко заложенный познавательный и развивающий потенциал. Правило, алгоритм такого видения также невозможно формализовать и выразить в виде догмата. Оно, скорее всего, как и почти вся дидактика математики является искусством, чем наукой. Однако такому искусству тоже можно и даже нужно учиться, и не только в вузе в течение четырех-пяти лет, а на протяжении многих лет педагогической деятельности.

    В связи с этим проиллюстрируем, как можно обычную задачу, предназначенную для отработки дидактических навыков, превратить в задачу для развития теоретического мышления учащихся.
    Скачать статью "ЗАДАЧА - ОБОРОТЕНЬ" (http://egeent.narod.ru/matematika/algebra/metodika/maxmin.rar).
    Полезные ссылки

    Образовательные ресурсы Интернета школьникам и студентам. (http://www.alleng.ru/). Экзаменационные билеты, вопросы, варианты ответов по всем предметам школьной программы. Различные учебные пособия по многим предметам (каталог постоянно пополняется). Тематические ссылки на сайты и конкретные учебные материалы, размещенные на них.

    О проекте лучше почитать здесь (http://www.alleng.ru/texts/about.htm).
    Задача на смекалку

    Задача. Четыре плотника у некоего купца нанаялись двор строить. И говорит первый плотник так: если мне одному двор ставить я его поставлю за один год, А другой молвил: -я его поставил бы за два года. А третий молвил: - я его поставил бы в в три года, а четвёртый изрек: - я бы его поставил в четыре года. Все те четыре плотника решили ставить двор вместе. Сколько они его ставили сочти?

    Эта задача вместе с решениями была опубликована в рассылке "Скорая математическая помощь". Современное решение этой задачи, вероятнее всего будет сводиться к уравненияю или системе уравнений. Однако раньше в почете была не алгебра, а арифметика. Поэтому я предлагаю решить эту задачу как принято сейчас говорить, по действиям. Решение из древней рукописи, откуда была заимствованна эта задача опубликована на Форуме "ЕГЭ и ЕНТ в вопросах и ответах" (http://egeent.my4room.ru/) в разделе "Задачи на сообразительность, смекалку". Было бы интересно посмотреть там же и ваше решение (если на слабо!).
    Напоследок анекдот

    Студент спрашивает у преподавателя:
    - Скажите, а я получу за семестр автомат?
    - Да, и сапоги в придачу!
    Дружественные рассылки

    1. Скорая математическая помощь. В рассылке проводится рейтинг активных подписчиков. Вы зарабатываете баллы, присылая задачи и решения. Баллы начисляются за присланные задачи (2 - 4 балла), решения задач (1 - 7 баллов, в зависимости от сложности задачи и правильности решения). 2. ......
    Посетите сайт рассылки!

    Информация о сайте ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике. Полезные ссылки.

    Разделы сайта:

    1. "Тесты ЕГЭ и ЕНТ". Здесь можно прочитать (скачать) статьи, посвященные особым приемам решения тестовых заданий, рассмотрены методические аспекты составления тестовых заданий. Отсюда можно перейти на Форум сайта и попросить помочь решить то или иное тестовое задание (отказов пока не было).

    2. "Алгебра". Конспекты уроков для классов с углубленным изучением математики, критика методических и фактических ошибок в школьных учебниках. На Форуме можно попросить помочь решить задачу по математике.

    3. "Информатика". Статьи, посвященные работе с электронной почтой, о том как задавать вопросы на Форумах.

    4. "Логика". Начала формальной, Аристотелевой логики.

    5. "On-line тестирование". Адреса для тестирования по математике и информатике в режиме реального времени. Разделы сайта еженедельно пополняются. Адрес сайта: http://egeent.narod.ru/

    Владелец сайта: Рафик Михайлович Салимжанов - директор Республиканского журнала "Средняя школа", egeent"собачка" (замените "собачка" на @) bk.ru
    Если у вас есть интересные тестовые задания, трудные математические задачи или вы просто не можете решить тестовое задание или математическую задачу, присылайте ее в рассылку или на Форум, решим вместе!

    ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ:

    1. E-mail автора рассылки: щелкните здесь.
    2. Форум "ЕГЭ и ЕНТ в вопросах и ответах".


    До новых встреч!
    2007 При перепечатке, цитировании и другом использовании материалов ссылка на Математика. Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ обязательна.
    Наверх
    В избранное