Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Философия

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 69 RSS
←   Декабрь 2012   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://shtirov.narod.ru
Открыта: 08-09-2009

Автор
sh

Статистика

69 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Философия математики. статья 'Как разделить 7 хлебов на 8 человек'


Это статья, посвященная, в конечном счете, предпосылкам матанализа. посылаю начало статьи. без приложения рисунков. Полностью статья представлена на сайте автора. L58_8_copy Как разделить 7 хлебов на 8 человек Как разделить 7 хлебов на 8 человек. 7 хлебов нужно рассматривать как одну целую единицу. Любое математическое выражение, например, дробь, там, где речь идет о приложениях, это не только количество, но и качество. Поэтому 7/8 - это семь хлебов, которые разделены на 8 человек. Если непонятно, то попробуй найти что-то подобное. Например, 48 рублей разделить на 8 человек. Каждому достанется по 6 рублей. Что мы сделали: мы 48 рублей разделили на 8 человек, получили 6 рублей на одного человека, установив тем самым количественные соотношения между различными качествами.. То есть 48 руб/8 человек=6 руб/чел. 48/8 - это дробь, которая в результате сокращения на число 8 даёт число 6. Но это в то же самое время и деление, в котором множество каких-то объектов разделяется на множество частей. Итак, в числителе - некоторое множество - количество качественно определенных элементов, которые нужно разделить =(распределить) по контейнерам, или, что математически то же, по отношениям принадлежности элементов одного множества элементам другого множества. Иначе говоря, если мы имеем два множества А и В, то мы можем ввести отношение принадлежности каких-то количеств элементов одного множества каждому из элементов другого множества, и эта операция осуществляется т.о., что все элементы одного множества делятся на все элементы второго множества, и в результате мы получаем отношение принадлежности подмножества элементов первого множества каждому элементу второго. Подойдём к вопросу с точки зрения понятия функции. Так как нас интересует функциональное отношение вообще, то возьмём простейшую его форму - линейную функцию у=ах, откуда а=у/х. Коэффициент а представляет собой принадлежность каждого элемента множества у каждому элементу множества х. (А) Примечание 1. "Коэффициент а представляет собой принадлежность каждого элемента множества у каждому элементу множества х" (А). Но это - утверждение. И вопрос первый: что именно оно утверждает и вопрос 2, а как на самом дело обстоит в действительности, то есть как это можно показать на пальцах, на чувственном уровне. Во-первых, само по себе выражение "каждого-каждому" соответствует определению декартова произведения, но никак не определению понятия функции, согласно которому элементам некоторого множества А ставится в соответствие единственный элемент другого множества В. Тогда возникает вопрос: откуда же могло появиться высказывание А, какого рода цепочкой ассоциаций оно порождено. Исходная идея понятна: если мы имеем дело с какой-то дробью, то ею выражается отношение принадлежности элементу множества, представленного знаменателем, множества элементов, представленного числителем. И если поэтому мы имеем дело с коэффициентом а функции у=ах, который представляет это отношение, то мы и должны получить отношение принадлежности каждого из элементов одного множества каких-то равных количеств элементов другого множества. Но допустим, что есть множества и множества. Допустим, мы имеем дело с точечными множествами, Тогда выражение у=ах=2х будет означать, что каждому элементу х будут соответствовать ровно два элемента у, и именно эту вещь и представляет коэффициент а=2. Примечание 1/1 (Эта запись обозначает примечание 1 к примечанию 1. Вообще запись вида а/б обозначает примечание б к примечанию а, а в общем случае а/б/с/.../ф каждая выделенная пара обозначает последующее примечание к предыдущему.) И принцип этого рода заложен при образовании всякой функции. При этом, разумеется, функтор не обязательно является некоторой постоянной. Например, в выражении у=хn функтором степени определяется изменение отношения соответствия множества элементов у каждому из отдельно взятых значений х. Например, если функция у=х2, то её производная у`=2x показывает закон изменения значения функтора в зависимости от значений х. 1 Рассмотрим понятие дерева логических возможностей. Пусть мы делим множество объектов некоторого рода О по трем разным основаниям а, б, в. и пусть основание а порождает к видов, основание б - л видов, основание в -м видов. Например, к=2, л=4, м=3. В этом случае мы можем построить дерево логических возможностей. Пусть, О - человек, а-пол, б-цвет волос, в- рост, и, соответственно, к=муж., жен., л=блондин, шатен, брюнет, рыжий, м = высокий, низкий, средний. Если мы представим множество людей в виде шаров, помещенных в урну (более корректно - пусть мы примем шары в качестве представителей человека. Раскрасим шары так, как это представлено рис.1, и, классифицируя шары, мы можем говорить, что моделируем тем самым классификацию людей. Что это означает? - то, что мы осуществляем действия того же рода, как если бы осуществляли классификацию людей, то есть тем самым мы определяем программу наших действий. Классифицируя шары, распределяя их по урнам, мы должны будем осуществить последовательность действий. При этом, разумеется, в результате классификации мы осуществляем не только распределение по урнам качественно различные объекты, но также определяем и количества объектов соответствующих качеств. Если в урне №1 находятся все шары, и мы вытаскиваем их из неё, то представим себе, что мы делаем первый наш выбор. Мы должны из трех оснований выбрать одно и только одно, но при этом безразлично, какое основание мы возьмём в качестве первого, а также в какой последовательности будем выбирать основания.Сделав выбор основания, осуществляем классификацию объектов-шаров по этому основания. Пусть это будет основание а = полу человека. Тогда мы получим две урны №2, №3. Затем мы выбрали основание б - цвет волос Теперь из урны №2 мы классифицируем шары по урнам №№4,5,6, и затем из урны №3 классифицируем шары по урнам №№7,8,9. Наконец, переходим к основанию в, и относительно каждой из урн №№4-9 осуществляем классификации по урнам №№10-14, 15-18, 19-22 соответственно. Процесс классификации мы можем представить в форме дерева. Независимо от от того, в каком порядке мы будем выбирать основания, результаты классификации будут одинаковыми, то есть каждый путь от вершины дерева в конечной точке пути выделять объекты с наборами качеств, отличающимися от наборов таковых всех других объектов. Пусть теперь мы имеем дело с множеством действий, и нас интересует такой их порядок, который приводит к некоторому определенному результату. Если мы имеем n действий, то возможны n! порядков действий. При рассмотрении алгорифмов важны две вещи: первое: содержание действий, 2 = их порядок (последовательность). При анализе (разложении) алгорифмов важно выделение действий как самостоятельных единиц и затем уже возникает вопрос связи действий. Кажется понятным, что всякое последующее действие оперирует с результатами предыдущих. (Примечание 1/1.2 продолжение примечания 1/1 Последовательность частей примечания обозначается, как видим, точкой) Теперьобратим внимание на следующий момент. Если у=х2, то производная у`=2x. Как я рассуждаю: пусть формулой у` характеризуется скорость изменения расстояния, проходимого точкой. Примечание 1/1/2 Речь идёт о точке, которая проходит какое-то расстояние с какой-то скоростью, ускорением и т.д. Т.о., мы имеем дело с двойственностью: во-первых, с системой координат, представляющей множество мест, которые могут занимать точки в пространстве. В математике эти две стороны - точки пространства и места, которые занимают точки в пространстве, обычно не различаются и говорится о системе координат как поле, которое наложено на пространство неподвижных точек, занимающих своё место в пространстве. Точка пространства и место, которая она занимает в пространстве, эти две стороны не различаются и их противоположность не анализируется, что приводит к трудностям при анализе всевозможных движений, так как невозможно построить образ точки, движущейся в пространстве. Противопоставляя понятие пространства как множества мест и множества точек как объектов, которые существуют в пространстве, занимая в нём некоторое место и в процессе движения осуществляя последовательную смену мест, мы избегаем выражений в роде "точка находится в точке пространства". Понятие места в пространстве определяется задаваемой на нём системой координат, которой осуществляется оцифровка пространства и тем самым определяются количественные характеристики места как некоторой пространственной единицы. Употребление понятия точки как единственного элементарного объекта пространства является недифференцированным понятием противоположности объекта и его положения в пространстве путем выделения одной его, доминирующей в рассуждении, стороны, так как с точкой жестко связывается число, и такое положение вещей является общепринятым для любой системы координат как способа способа оцифровки пространства. Отождествление точки как места и объекта пространства имеет то значение, что в n-мерном пространстве точка как объект, занимая место в пространстве, начинает обладать свойствами, характерными для этого места. Т.о., отождествление точки как объекта и как места в пространстве ведет к тому, что тем самым задаётся множество объектов с различающимися свойствами, поскольку эти объекты принадлежат принадлежат различным точкам пространства. В этом случае с каждым из объектов связывается постоянный набор свойств, и множества объектов могут рассматриваться с точки зрения тождества и различия свойств, которыми они обладают. Например, если точка А обладает множеством свойств (1а, 2а, 3а) (А(1,2,3), а точка В обладает свойствами В(1,2,4), то объекты, представленные этими точками, тождественны относительно свойств 1,2 и различаются свойствами 3,4, и т.к. с множеством свойств связывается множество осей координат, то в n-мерном пространстве с каждым свойством связывается также и количественная его характеристика. Но качество и количество связаны друг с другом категорией меры, так что разные количественные характеристики одного качества вводят подкачество качества, каким бы малым и незаметным оно ни было, координатные подсистемы. Если система координат имеет вид К(а,б, ... н), то любая точка в этой системе характеризуется количественными значениями осей координат. Так, в нашем примере система координат К(а,б,в). Точка А(а=1, б=2, в=3), точка В(а=1, б=2, в=4) Следовательно, по осям а,б точки А, В обладают одинаковыми свойствами и в силу этого тождественны относительно этих свойств, и в то же самое время различаются относительно свойства в. И в этом смысле понятия качества и количества - относительные понятия, всё зависит от того, какие точки пространства нами берутся в качестве опорных, в качестве тех, со свойствами которых сравниваются другие точки системы координат. Если бы речь могла идти только о количествах самих по себе, то это не могло бы иметь особенного значения. но для нас важно влияние количества на качество, определение количеством качеств. (Характер человека, получающего 10 тыс. руб. в месяц, его взгляды и отношение к окружающему его миру существенно отличается от характера человека, получающего 150 тыс. руб. в месяц, так как этой разницей определяются разные материальные миры, в которых существуют эти люди.) Поэтому с каждым из количеств мы связываем качество, как и обратно, каждое качество "питается" соответствующим ему количеством. Как это выглядит на практике? На практике мы имеем дело с качествами объекта как целого, и в этом смысле точка в системе координат представляет объект, его поведение как целое, изменение свойств отражается на его поведении, то есть на движении точки в системе координат, которое и рассматривается с качественной стороны тогда, когда нам нужно дать характеристику объекта как точки в системе координат пространства. Но если точка и место не различаются, то мы получаем так называемый метафизический подход, рассматривающий объекты как постоянные, неизменные, качественно определенные. И в этом случае понятие системы координат позволяет сравнивать свойства множества постоянных, существующих или возможных точек (объектов) друг с другом, устанавливая отношения различия и тождества между ними. Однако, как только мы переходим к рассмотрению движения объектов, то тут точка зрения изменяется, поскольку требует противопоставления в понятии точки объекта и его места в пространстве. Примечание 1/1.3 Я говорю, что при значении аргумента х у` означает скорость, которой обладает точка в момент времени х, и эта скорость является переменной, зависящей от значения х. Тогда я получаю, что первообразной относительно производной будет функция у=2х*х=2х2 Примечание 1/1.3/1 Здесь вообще возникает большой философский вопрос относительно выражения пути, скорости, ускорения, ускорения ускорения и т.д., поскольку, с одной стороны, все эти процессы протекают во времени, и, с другой стороны, они протекают параллельно-непрерывно. И то, что всегда делали и что единственно и можно делать, это выражать непрерывность через дискретность. Такой подход позволяет получать удовлетворительные с точки зрения практики результаты, но они не позволяют дать ответ на принципиальный вопрос относительно приращений. Как мы поступаем? Мы говорим, что на данном отрезке точка двигалась с некоторой постоянной скоростью, на следующем отрезке точка двигалась уже с другой скоростью, на следующем с третьей. Все эти дискреты мы можем потенциально бесконечно уменьшать, что повышает, конечно, точность измерений, но ничего не меняет по сути. Затем мы определяем величину изменения скорости, определяя, на сколько или во сколько раз изменилась скорость. Это мы взяли две дискреты. Теперь возьмём три дискреты А, В, С и, определив меру изменения для А,В и затем для В,С, мы теперь сравниваем эти меры, и получаем ускорение скорости. Что представляет собой этот приём, какую логическую форму? - форму опосредованного умозаключения. Затем, взяв последующие дискреты D, E, F и проделав с ними те же операции, мы осуществляем сравнение полученных результатов с результатами для А,В,С и получаем ускорение ускорения и т.д. О чем нам говорит относительно этого процесса наша интуиция? Она говорит о том, что этот процесс мы можем продолжать бесконечно, и он никогда не окончится. А что мы имеем на практике? - Конечность. Возникает вопрос: чем обусловлена эта конечность - отражает она недостатки нашего подхода или же она даёт принципиальный, философский ответ на существо теории ускорения? Когда нами выделяется дискрета, относительно которой мы утверждаем постоянную скорость, то ведь это - средняя скорость, и мы можем иметь дело только со средней скорость, хотя величина дискреты при этом может быть сколь угодно малой. Сравнение скоростей двух соседних дискрет даёт нам точное либо потенциально бесконечно стремящееся к точности значение. Однако видимость точности результата больна усредненностью скоростей дискрет. Мы имели бы доказательство конечности мер ускорений, если бы цифры были точными. Однако степень точности наших измерений конечна, и мы не можем переносить полученные с изначально заложенным огрублением измерений результаты её на отрицание существующего в нашей интуиции бесконечного характера приращений. Примечание 1/1.4 Но мы исходили из функции у=х2 Вопрос: откуда двойка взялась? В линейной функции коэффициент а представляет постоянную скорость. Примечание 1/1.4/1. Сравним нахождение производных линейной и степенной функций. у=ax; y`=(a(x+∆x)-ax)/∆x=2∆x/∆x=2. Здесь нами погрешность, связанная с приращением, отсутствует. Почему? Потому что мы имеем дело с постоянной скоростью, а скорость во всяком случае является необходимым свойством движения. Нет скорости, значит, нет и движения. А что такое движение механическое? - это перемещение в пространстве. Чем оно представляется? Изменением положения точки в пространстве. Что это означает? Что точка, которая одно время находилась в какой -то точке пространства (вы видите этот привычный способ выражения, который подразумевает употребление термина "точка" в разных смыслах - как объекта и как места пространства)через некоторое время начнает занимать другое место в пространстве. Мы имеем триединство - три объекта мышления, которые необходимым образом связаны между собой: время, расстояние и скорость: v=s/t. Если же мы имеем неподвижную точку, то её скорость будет равна нолю, то есть какую бы длительность времени мы ни взяли, положение точки в системе координат не изменится. Геометрическое выражение этого обстоятельства представляет собой интерес в том отношении, что мы имеем систему координат, в которой связывается линейное пространство, представленное осью s, и время, представленное координатной осью t. Поэтому производная у`=(s - s)/∆t=0. Основной принцип математического подхода состоит в том, что движение им не выражается непосредственно, не полагается, а предполагается. К понятию движения приходят опосредованно, оно привносится воображением относительно положений неподвижных точек, относительно которых предполагается перемещение одной и той же точки в пространстве. Положение вещей изменяется, когда мы переходим к к степенной функции. Пусть у=х2. Тогда ∆y/∆x=((х+∆х)2-х2)/∆x=2x+∆x И далее для получения производной мы устремляем приращение ∆х к нолю и получаем значение функции в точке х. Но ведь любая величина есть вещь относительная, и то, что в одной системе представляется бесконечно малой, в другой системе координат она может выглядеть как бесконечно большая, всё зависит от масштаба рассмотрения объектов. И поэтому приравнивание нолю "бесконечно малой" справедливо лишь в принятом масштабе рассмотрения объектов и критерием этого является практика, которой не страшно приравнивание нолю некоторой величины. Однако интересным является ответ на вопрос, что мы получили в результате приравнивания приращения к нолю. Что значит: ∆х=0 ? Это значит - отрицание времени как величины необходимо изменяющейся, то есть отрицание времени. А так как противоположности сходятся, но через отрицание, то это равносильно тому, что рассматривается реальность, в которой отсутствует движение, какое бы там ни было изменение. Теперь мы можем предполагать существование времени, однако если это и бесконечная длительность, то это длительность неподвижного, "мертвого" пространства-объектов. И поэтому нами и получается значение функции в данной, "единственной", фиксированн ой точке.
В избранное