Логика аксиом сочетания Гильберта

    Гильберт в качестве эпиграфа к своей книге "Основания геометрии" взял следующее высказывание Канта: "Так всякое человеческое познание начинается с представления, переходит к понятиям и кончается идеями" Кант, "Критика чистого разума", 2 часть, 2 отдел." Чрезвычайно симптоматичным является в этом высказывании то, что в качестве начала познания выступает представление.
    Возможно, читатель прочитал аксиомы Гильберта, возможно, у него по их поводу уже появились какие-то мысли. И так как автор - тот же читатель, то и у него возникли кое-какие реакции на них, и об этом мы с вами и поговорим.
    Что бы мы ни делали, мы от чего-то отталкиваемся как непосредственного источника движения. В качестве такого источника движения возьмём аксиому 1.1 "Две различные точки А и В всегда определяют прямую а".
   Посмотрим, как всё это выглядит в области представления, и посмотрим, как может быть построена эта аксиома, на основе какого рода рассуждения. Потому что здесь две вещи - представление и рассуждение. Представили пустое пространство и две любые произвольные точки в нём. Мысленно взяли линейку и провели через эти две точки прямую. Было два объекта, мы, посредством своих действий, получили третий. Можем ли мы провести через эти две точки какую-нибудь еще прямую? Нет, не можем, мы не можем получить такого представления. Отсюда следует, что через две произвольные точки мы можем провести единственную прямую. С другой стороны, проведя прямую, мы получили бесконечное множество точек. На этом основании мы переходим к обобщению: так как через две точки можно провести прямую, то эти две точки принадлежат прямой. Но прямой принадлежит бесконечное множество точек. Отсюда следует, что любые две точки, принадлежащие прямой, определяют её. Другими словами, достаточно для определения прямой взять две точки. Можно утверждать, что любые две точки пространства характеризуются тем свойством, что ими определяется некоторая прямая. Развивая далее это представление, мы можем сказать,  что когда мы говорим о прямой, мы имеем ввиду бесконечную в обе стороны прямую. Мы можем также условиться, что две произвольные точки можем соединить прямой, и назвать такую прямую отрезком прямой, мы можем также исключить точки из отрезка, и говорить об интервале прямой относительно двух точек. Об этих вещах приходится говорить потому, что Гильберт если и не небрежен в своих высказываниях, то, во всяком случае, он абстрагируется от конкретики построения объектов, на которой вполне могут споткнуться товарищи вроде автора настоящих заметок. Так. Гильберт  употребляет в качестве тождественных выражения: "

Вместо термина „определяют" мы будем употреблять и дру­гие, напр.—а „проходит через" А „и через" В, а „соеди­няет" А „и" В или а „соединяет" А „с" В. Если А есть точка, которая вместе с другою точкою, определяет прямую а, то мы упо­требляем также выражения: А „лежит на" а, А „есть точка" а, „на" а „существует точка" А и т. д. Если А лежит на пря­мой а и сверх того на другой прямой b, то мы говорим: „прямые" а „и" b „имеют общую точку А" и т. д.

    Для Гильберта его различные способы выражения позволяют, видимо, обеспечить некоторую свободу его инстинкту выражения. Но жуки навозные вроде автора подобного рода широты мысли не понимают в силу узости собственного горизонта и поэтому постоянно встают втупик: то "определяют", то "а проходит через А", то "А лежит на а", то "а соединяет А и В". За всем этим у Гильберта стоит некий общий образ, который допускает делать этого рода различные выражения, которые все представляются ему истинными. Впрочем, автор и сам любитель этого рода, поскольку изменение выражения позволяет взглянуть на ту же самую вещь несколько с другой стороны, чем, собственно, и обогащается взгляд на неё. Но когда перестаёшь быть автором и оказываешься в шкуре читателя, то возникает вопрос: а как это? как это - "определяет", как это - "проходит через" и т.д., что под этим понимать. Я, конечно, понимаю справедливость замечания Путина "чья бы корова мычала, а ваша бы молчала". Ну, прямо уж так и без всякого "му"? а почему, собственно, я в своем праве, поскольку я - читатель. "

    Какой аппарат мы здесь применяем? Аппарат представления: мы способны представить пространство, точки в нём и т.д. Мы можем, конечно, утверждать, что идея пространства, идея точки и т.п. - всё это абстракции, полученные нами в качестве отражения вне нас существующей физической реальности. Однако это обстоятельство ровным счетом ничего не меняет: для нас и пространство, и точки, и прямые - это объекты, которые мы сконструировали посредством механизма нашего представления. И то, что оно опирается, пожалуй, на какие-то чувственные данные, это ничего нам не добавляет, потому что то непосредственное, с чем мы имеем дело, это наша способность к представлениям абстрактных объектов. Например, что такое представление дома как не какая-то его внешняя форма, за которой теряются его чувственные особенности. Чувственный образ дома и  его представление - это, во всяком случае, качественно различные вещи. Представление так или иначе связано с формой, которая накладывается на соответствующее ей множество чувственных объектов. Так, например, если городской ребенок видел в своей жизни собак, но не видел свиней, то,  встретив свинью, он восклицает: "Ой, какая странная собачка" - то есть он перенес форму собаки на свинью, и при этом он чувствует, что между наблюдаемой им формой и той, которая есть у него в голове, при всём их общем характере присутствуют и различия. Особенность представления состоит в том, может быть, что оно превращает чувственные объекты в абстракции, содержанием же этих абстракций оказываются кинестетические данные, то есть такого рода мышечные движения, которые не выходят на эффекторику и не реализуются на объектах, но проекции этих движений сами превращаются в мысленные объекты. Имея дело с представлениями, мы имеем дело с представлениями, то есть мы находимся не в мире реальности, а в мире представлений. За возможностями наших представлений лежат наши кинестетические схемы, то есть наша способность к движениям, которая развивается и изощряется благодаря опыту деятельности в сфере представлений. Находясь в сфере представлений, мы что-то можем себе представить, и чего-то не можем, и от человека к человеку эти возможности и способности варьируют.

    Почему мы утверждаем, что две точки определяют (единственную) прямую? Потому что мы в нашем мыслимом опыте представления не в состоянии представить себе, то есть увидеть в представлении, как это можно сделать, через две точки провести две разные прямые. Тут же следует заметить, что, если это возможно, представление может быть перенесено в сферу чувственного опыта. Чтобы убедиться в том, что через две точки невозможно провести две различные прямые, мы можем проверить это при помощи действительных бумаги, карандаша и линейки.

   Возникает вопрос о том, идем ли мы от простых элементов к сложным или от сложных к простым или же мы не противопоставляем одни направления движения другим. То есть строим ли мы последовательно из простых элементов сложные или, напротив, разлагаем сложные на простые. Или, наконец, мы рядополагаем сложные и простые элементы, соотнося их друг с другом.

    Если иметь ввиду построение из одних объектов других. Например, построение линий из точек. Однако в чем особенность вообще всего этого движения - в том, что в действительности все понятия уже заданы, и что на самом деле нет первых понятий и нет производных из них . Это мы пытаемся их упорядочивать таким образом, чтобы создать из них какую-то систему. Все идеи рассматриваются в качестве данных. И когда есть множество идей, то возникает вопрос об отношении между разными идеями, о том, что есть между ними общего и что - различного. Но оказывается, что ни одна идея полностью не сводится к другой, всегда есть какой-то "иррациональный", то есть не осознаваемый остаток. И поэтому любая конструкция, в которую мы одеваем идеи, оказывается на деле вымученной и искусственной, представляет собой игру ума в строительство, которое отсекает тем самым от себя посредством своих категорий стоящую за строящейся умом системы бесконечную реальность.

    С другой стороны, идея - это античувственность, антивосприятие. Идея в качестве мысли есть некоторая эффекторика, некоторое действие. И то, что прямая состоит из точек - это идеализация. На деле берутся два объекта - точка и прямая, или линия, или еще что-то, и соотносятся друг с другом. Одно накладывается на другое, соотносится с той или иной его частью. Я ставлю на линии точку, и тем самым связываю точку с линией, и в этом смысле получаю уже новый объект. Я сам создаю математические объекты. Но я могу также и просто ограничиться тем, что стану просто соотносить друг с другом идею точки и идею прямой, не переходя при этом к попытке представления их чувственным образом как какой-то синтетической целостности.

    В чем вообще сложность, связанная с аксиомами - в том, что при выводах они оказываются вне сферы сознания, они оказываются вытесненными. Можно ли говорить о том, что они являются причинами следствий, которые мы делаем непроизвольным образом? Но тогда, далее, мы должны говорить о том, что непроизвольное поднимается в наше сознание. Сначала мы делаем выводы, а потом осознаём, на основе чего мы делаем выводы, что лежит в их основании.
    Гильберт понятия прямой, точки, плоскости и пространства вводит без определения. Но если мы вводим нечто без определения, то мы должны хотя бы показать, что это такое. В реальности не существует точек, линий, плоскостей, пространства.
    Говоря, что две различные точки А, В определяют прямую, мы можем утверждать это как истинное положение лишь при условии, что мы знаем, что такое прямая. Однако и понятие прямой, и понятие точки и т.д. - это инстинкты и, соответственно, инстинктивные представления, то есть представления, соответствующие инстинктам. А это значит, что инстинктам уже принадлежит всё содержание. Существуют инстинктивные представления точки, линии, прямой как формы линии. Это могут быть какие-то конструкты и т.д. Их генезис в данном случае неважен. Важно единственно то, что этого рода объекты есть в нашем инстинкте. Тогда мы должны либо показать их чувственные образы, либо как-то описать их при посредстве слов, обозначающих другие образы, если мы хотим передать наши представления другим людям.

    Соотношение точки и прямой. Если мы возьмём две произвольные точки и линейку, то можем провести через них единственную линию. Но в этом случае линейка уже содержит в себе понятие прямой. Прямая - это единственная линия, которая тождественна сама себе. Через две точки мы можем провести сколько угодно других линий. Их особенность будет состоять, однако, в том, что каждой из них будет соответствовать некоторая противоположная линия, если под последней понимать зеркальное её отражение. Взяв такую линию и проведя в ней некоторую ось, мы можем начать вращать её вокруг её оси. Ни одна из линий, кроме прямой, не может быть тождественна со своей осью. И вращение прямой вокруг её оси постоянно воспроизводит только эту прямую. Второй момент заключается в том, что только через прямую линию можно провести бесконечное множество плоскостей, таких, что все точки прямой линии будут лежать в каждой из плоскостей. Через все другие линии в лучшем случае можно провести лишь одну плоскость, такую, что в ней будут лежать все точки линии.

    То есть я могу утверждать, что через две точки может быть проведена только одна прямая, и это - опытный факт из созданных абстрактных объектов в том смысле, что наши представления мы можем объективировать в их чувственные образы. И из этого опыта уже следует его субстантивация, которая гласит: две точки определяют единственную прямую.

    Любопытно, что Гильберт при формулировки аксиом говорит о двух различных точках. Что следует из этого высказывания Гильберта? - то, что , оказывается, можно сказать: две одинаковые точки. Как это следует понимать? Может быть, так, что всякая точка занимает в пространстве некоторое определенное место? Но разве в этом случае точкой не определяется место в пространстве? Точка - это некоторый объект. И на одно место можно поставить сколько угодно подобного рода одинаковых объектов? Но все эти точки будут обладать одной общей им характеристикой - принадлежностью одному и тому же месту в пространстве. Но это невозможно, если исходить из неразрывного тождества точки и места, которое она занимает в пространстве.

    Точка - это объект, не занимающий места в пространстве, так как не обладает пространственными характеристиками, и это - так же, как линия не обладает шириной, а плоскость - толщиной, потому что в противном случае все эти объекты - точки, линии, плоскости теряются, так как все они превращаются в пространственные объекты.
    То, что мы наблюдаем в этом процессе, это как бы разложение параметров пространства на его составляющие. Мы уничтожаем пространство с тем, чтобы возродить его: относительно точки мы говорим, что она не обладает пространственными характеристиками, затем мы вводим понятие линии как вещи, которая, обладая длиной, не обладает ни шириной, ни толщиной, то есть вводим первую пространственную характеристику. Другими словами, "точку мы вытянули в длину". Мы получили понятие прямой тем, что, добавляем к тому, что точка не обладает пространственными характеристиками, бесконечное упорядоченное в одном направлении множество точек. А это уже означает обратный переход от точки как субстантивированного объекта к точке как объекту процесса, который заключается в том, что точка есть величина, меньшая любой наперед заданной величины. Субстантивация этого положения даёт точку без пространственных характеристик. Но на деле это, конечно, не так. И затем, вводя прямую в качестве бесконечного множества упорядоченных в одном направлении точек, мы получили линию. И с точки зрения чувственности это вполне справедливый подход, который опирается на свойства нашей психики, которая способна ко всё более тонкому и точному отражению её объектов. Другими словами, это положение позволяет соединить мысль и практику, позволяя перейти от мысли как вещи, которая оперирует субстантивациями, к чувственности, реальность которой отражается глаголами.

    Затем , вводя понятие плоскости, добавляем параметр ширины, то есть применяем ту же самую мысленную операцию, что и относительно образования из точек прямой, рассматривая плоскость как бесконечное множество линий, упорядоченных в одном направлении, то есть исходим из того, что бесконечное число бесконечно малых порождает чувственно данный (конечный) объект. И, наконец, вводим понятие пространства как вещи, , которая упорядочивает в одном направлении бесконечное число плоскостей, не обладающих толщиной, в одном направлении. Выражение: "не обладать величиной", "не обладать шириной", "не обладать толщиной" - это выражения, которые представляют собой предельный переход, представляющий собой необходимый момент мышления. Мы говорим: "у этого человека нет совести", и исходим из этого обстоятельства. Какого-то рода совесть есть у каждого человека, но мы игнорируем это обстоятельство, потому что оно на практическую ситуацию не оказывает влияния. Что такое бесконечно малая как не то, величину чего можно не учитывать?!

    Есть во всём этом и еще одна поляризация. Когда мы говорим, что точка не обладает величиной, то тем самым мы неявно утверждаем бесконечную ограниченность точки. От точки, которая не обладает размерами, остается только один признак - её ограниченность. Введя понятие линии, мы уничтожили ограниченность точки в одном направлении, превратив тем самым этот параметр точки из бесконечно ограниченного в бесконечно неограниченный. Вводя последующие параметры, мы превращали тем самым бесконечную ограниченность точки в отношении ширины, а затем и толщины (глубины) из бесконечно ограниченных в бесконечно неограниченные. Точка у нас расширилась до бесконечного во всех направлениях пространства. Т.о. получена полярность между бесконечно ограниченностью и бесконечной неограниченностью. Что такое снятие полярных представлений? - это снятие бесконечности. Единство ограниченности и неограниченности есть конечное пространство, есть объект.

    Во всяком случае, мы видим, что существует некоторое пространство как совокупность мест, которые могут занимать объекты геометрии - точки, прямые, плоскости. Значит, тем самым мы уже имеем удвоение на объекты и пространство, которое они занимают, мы уже имеем это противопоставление, это распадение и поляризацию "пространства и материи". С другой стороны, что такое пространство? Под пространством всегда понимается того или иного рода метрика. Пространство без характеризующей его метрики сжимается в бесконечно малую, другими словами, исчезает. Метрика пространства определяется объектами, которые его заполняют. Пространство - это то, что остается, если убрать из него объект, занимающий это пространство. Метрика пространства выражает собой отношение между объектами пространства, или, иначе, отношение между объектами пространства задает его метрику. Можно сказать так: отношение между объектами задает метрику пространства, которая выражает собой отношение между объектами пространства. Обычно подобного рода высказывания рассматриваются как недопустимый порочный круг, в котором одно понятие определяется через другое. Но само это правило о недопустимости того, что названо порочным кругом, есть не что иное, как разрыв целостности на противоположные, полярные относительно друг друга и отрицающие друг друга стороны. В действительности мы имеем дело с двумя фазами и формами отношения к реальности. Положение: "Отношение между объектами задает метрику пространства" есть выражение чувственного опыта, на основе которого формируется понятийное отношение к реальности, представляющее собой субстантивацию опыта: метрика пространства выражает отношение между объектами. Отношение между объектами - это то, что вне нас, метрика - это то, что в нас. Это - та сетка, которую мы накладываем на объекты для определения отношений между ними. Это - те самые схемы, которые Кант называет априорными и которые выступают в качестве таковых, если мы начинаем не с реальности, а с головы, и этим же обусловлено положение Канта о непознаваемости объектов самих по себе: ведь если мы употребляемые нами субстантивации рассматриваем в качестве первичных, то они превращаются в силу этого в средство упорядочивания чувственных данных, и не более того. Если чувственный опыт говорит нам, что А есть В, например, что Петров - скупердяй, то субстантивация этого выражения нам дает: скупердяйство определяет Петрова, или скупердяйство есть определение Петрова, или свойством, персонификацией скупердяйства является, например, Петров. Возникает обобщение, перенос этого свойства на другие объекты и проверка его присущности в той или иной мере другим объектам. В этом движении мы переходим от частного к общему с тем, чтобы затем от общего переходить к частному. Т.о., в результате перехода от чувственного отношения к реальности к понятийному мы получаем переворачивание отношения, из если А, то В, мы получаем обратное отношение: если В, то А. Если рефлекс формируется на основе отношения если А, то В, то в сформированном рефлексе отношения между причиной и следствием переворачиваются, благодаря чему формируется опережающее отражение действительности. Если на чувственном уровне отношение если А, то В, раздражение А влечет за собой раздражение В, то обратное отношение заключается в том, что идея В проецирует средство своей реализации, идею А, то есть идея В производит ассоциацию А.

    Пространство и объекты опосредуются метрикой, потому что именно метрика создает пространство в собственном смысле этого слова. Что такое пространство без метрики? Это ничто, это то, что не обладает пространственными характеристиками. Это - пространство без пространства. С другой стороны, чем обусловливается метрика пространства? - объектами, заполняющими его. И отсюда следует, что пространство тождественно со своими объектами, и поэтому то, что рассматривается в качестве пространства, на самом деле является объективным пространством, и отношение между пространством и объектами есть форма отношения между объектами, при которой одни объекты занимают некоторое место относительно других объектов. Понятно, что точка может занимать некоторое положение на прямой, или плоскости, или в пространстве, но во всех этих и подобных им случаях отношением точки и линии, вообще отношением геометрических объектов определяется метрика объекта, выполняющего пространственную роль, через посредство метрического образца - объекта, занимающего некоторое место в пространстве.

    "I.2. Любые две различные точки прямой определяют эту прямую."

    Снова возвращаемся к понятию различных точек. Представление, что в одном месте может быть сколько угодно точек, требует также и представления о том, что одно и то же место могут занимать сколько угодно прямых, и т.д. Наш инстинкт не может связать естественным образом с несколькими точками одно место и уж тем более это относится к нескольким прямым, плоскостям и т.д. Во всяком случае, возникает вопрос: а зачем? Если мы говорим о том, что пространство и геометрические объекты - это две стороны одной абстракции, то и следует исходить из того, что между точкой и местом существует одно-однозначное соответствие. Точка может занимать какое угодно, но одно место. Проще всего в связи с этим было бы ввести положение: множество точек, занимающих одно место, тождественно одной точке. Этому положению, однако, можно противопоставить следующий опыт. Если прямая есть бесконечная совокупность точек, и если мы на ней обозначили какую-то точку и представили себе, что по прямой движется другая точка, которая в какой-то момент совпадает с обозначенной, то она не превращается в обозначенную, и т.о. в какой-то момент времени мы получаем существование в одном месте  двух точек. Однако эти две точки рассматриваются относительно одного места, и так как между точкой и местом существует одно-однозначное соответствие, то мы имеем дело с двумя точками, обладающими в пространственном отношении общим свойством.
    Во всех этих рассуждениях мы имеем дело с путаницей между идеей и чувственными данными, связанной с попытками приведения в соответствие идеи и её чувственного представления. Так, мы считаем, что точка не имеет размера - и имеем дело с размерами. В математике это - обычный приём перехода от бесконечного к конечным вещам.

    Представим себе две прямые, на каждой из которых выбрана (то есть поименована) какая-то точка, и прямые в этих точках пересекаются. Как мы должны представлять себе это их пересечение? Мы можем, конечно, в этом случае сказать, что со стороны одной прямой мы имеем (видим) одну точку, а со стороны другой - другую, так что всё зависит от стороны рассмотрения. Но здесь есть и еще одно: мы, наверное, могли бы так сказать, если бы речь шла о простом наложении одной прямой на другую. Но если речь идет об их пересечении, то есть как бы о слиянии их в этой точке? - И в результате этого получилась одна общая для обеих прямых точка. Как должна называться эта точка? Разве не должна она представлять собой форму единства двух исходных точек? Другими словами, не должны ли мы из двух различных точек получить одну общую точку, два ей общее имя. Например, если точки имели имена А, В, то полученная точка могла бы быть названа АВ? Но здесь есть одна вещь: мы превратили отношения между линиями в чувственный факт, и пытаемся в них разобраться. И всё из-за того, что Гильберт употребил относительно точек термин "различные", а мы предположили, что этот термин имеет значение. Этот термин здесь явно лишний. Абстрагируйся мы от этого вопроса, и он означал бы "простое служебное уточнение" Другими словами, Гильберту следовало бы сказать, почему он употребил слово "различные". Понятно, что две совпадающие по месту точки не могут определять единственную прямую. Тогда можно было бы сказать, что отдельно взятая точка определяет бесконечное множество прямых. Или, на худой конец, одинаковые точки, то есть занимающие одно место, определяют бесконечное множество прямых. То есть либо под термином "точки" подразумеваются точки, занимающие различные места в пространстве, либо же следует употреблять термины "одинаковые" и" различные" точки.

    1. Различные – различающиеся. Не различные – не различающиеся, то есть совпадающие точки. То есть одинаковые. Однако, ставя (рисуя) точку, мы говорим, что это точка. То есть то, что обладает размерами. Говоря, что линия не имеет ширины, мы рисуем линию, обладающую шириной, и говорим, что это линия. Но мы при этом абстрагируемся от чувственных данных. Тем самым чувственные данные в этом случае представляют образ идеи, или образ мысли.
    2. Точки не различающиеся, то есть в нашем восприятии воспринимаемые как одна и та же точка. Но то, что мы воспринимаем, зависит от нашей остроты восприятия: то, что при меньшей степени остроты восприятия выступает как одна точка, при повышении остроты восприятия будет выступать как две точки. Мысль, рассматривающая точку как не обладающую размерами, имеет ввиду с противоположной стороны стороны идею бесконечной остроты восприятия
    А тогда можно сказать, что не различающиеся точки есть одна точка. Различающиеся точки есть две разные точки. Тогда одинаковые точки не будут различаться между собой. Но мы на основе сопутствующих обстоятельств можем знать, что на самом деле в этом месте находятся две или сколько-то точек.

   

-2-

   I.I. Две различные точки А и В всегда определяют прямую а.

   От точек - к прямой. Здесь исходят из точек, и относительно любых двух данных точек утверждается, что ими определяется -следовало сказать - единственная - линия, которая называется прямой. Если же этого не говорится, то тогда нужно доказательство того, что она является единственной, в виде теоремы.

    I.2. Любые две различные точки прямой определяют эту прямую.

   
    От прямой - к точкам. Исходят из прямой. Кажется, что высказывание предполагает, что прямая состоит из точек. Однако если исходить из поляризации прямой и точек, то прямая есть пространство точек, то есть множество мест или адресов точек. Единый объект представляет собой отношение между точкой и прямой как отношение между пространством и его объектами.
    В качестве предпосылки здесь выступает идея прямой, и утверждается, что любые две точки, принадлежащие этой прямой, определяют эту прямую

    I.3  На прямой всегда существуют по меньшей мере две точки; в каждой плоскости существуют всегда по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой .

    Положение "На прямой существуют по меньшей мере две точки" (1) представляется странным, если исходить из того, что точка не имеет размеров и, следовательно, какой бы малой ни была величина точки (слышите переход от принципа бесконечности к принципу конечности?!), мы можем утверждать, что эта точка, в свою очередь, разбивается на бесконечное множество точек постольку, поскольку точка рассматривается не сама по себе, а как точка прямой ( как точка, образующая прямую или принадлежащая прямой). Вообще принцип отношения бесконечного и конечного представляет собой отношение между возможными конечными чувственными образованиями и образованиями мысли. Это отношение позволяет переходить от одних чувственных данных к другим, объединяя их в соответствии с некоторой связывающей их мыслью. В этом смысле, любая прямая содержит бесконечное множество точек. Но, с другой стороны, если от предельного перехода перейти к конечному, если остановить  это нескончаемое движение  по уменьшению точек, то почему бы из таких двух мыслимых бесконечно малых не образовать прямую. Но на деле мы в этом случае в нашей мысли просто повторяем то, что делаем на чувственном уровне.
   Вообще весь этот способ мышления заключается в том, что постоянно в некоторой целостности выделяется какая-то сторона и абстрагируются от всех других сторон, и в то же самое время исходят из предпосылок, о которых явно не говорят. Если прямая может состоять по крайней мере из двух точек, то можем построить такой образ: пусть есть две точки диаметром в десять единиц, образующих прямую. Это - не мыслимый, а чувственный образ. Перейдем от этих точек к единичным точкам. Получим прямую, состоящую теперь уже из двадцати точек. Бесконечно применяя этот принцип деления точек на всё более мелкие части единицы, придем к бесконечно малой. Субстантивируя полученную бесконечно малую, получаем безразмерную точку.
    Конечно, положение (1) не противоречит положению, согласно которому прямая состоит из бесконечного множества точек. Но оно представляет собой искусственный образ, который, когда его пытаешься понять с точки зрения теории пределов, говорит о том, что какие бы две точки прямой мы ни взяли, как бы близко друг к другу они ни оказались, между ними всегда будет существовать бесконечное множество точек, и поэтому эти две точки будут определять некоторую прямую. С точки зрения теории пределов это положение следовало бы сформулировать иначе: на любой прямой любые две принадлежащие ей точки её определяют. Но как можно представить себе прямую, соответствующую двум точкам?

Возможна и еще одна идея, которая заключается в том, что точка может входить в точку, прямая может входить в прямую, плоскость может входить в плоскость и т.д. Подобного рода инстинкт в нас существует. Если точка может входить в точку, то и все её следствия также будут входить в точку, то есть точка внутри точки будет разворачиваться в пространство, которое заполняет точку, в которую она входит, и которое оказывается тождественно этой последней. И тогда мы получаем тождество точки, рассматриваемой извне, и точки, которая рассматривается изнутри. И если мы теперь примем принцип вхождения точек в точки в качестве бесконечного, то мы и получаем одну и ту же цикличность и одну и ту же форму мысли, которая на разных уровнях имеет дело с различными объектами и, соответственно, с различными мирами.
   
    Подобного же рода вывод следует из поляризации точки как бесконечно малой и пространства как бесконечно большой величины. Выше речь шла о том, что эта поляризаций двух противоположных относительно друг друга бесконечных на мысленном уровне разрешается в конечные объекты на уровне чувственном.
   
    Однако, если мы примем идею, что любая прямая может состоять из двух точек, то в качестве следствия из этого положения мы можем ввести понятие вектора, именно, что двумя точками прямой определяется двунаправленный вектор, то есть вектор, который имеет некоторое одно направление и противоположное. Тогда, на основании исходной аксиомы, согласно которой существует некоторая прямая, состоящая из двух точек и которую поэтому можно назвать элементарной, и понятия вектора как следствия из этой аксиомы ( По поводу выражения "следствие". Здесь мы имеем дело с важным рефлекторным фактом: как следствие мы на деле получаем предпосылку, которая позволяет строить прямую. Это - важнейшая особенность целесообразной деятельности рассудка: то, что является на чувственном уровне причиной или орудием чего-то, на духовном уровне оказывается следствием из следствия, но это следствие из следствия является  не последствием следствия, а его причиной, то есть тем, из чего вытекает это следствие) мы получаем возможность последовательно строить прямую по крайней мере в одном из двух направлений, последовательно добавляя к прямой очередную точку. Применяя эту операцию бесконечное число раз, мы получаем бесконечную прямую, устремляющуюся в определенном направлении. А этим приёмом определяется одновременно метрика прямой, её дискрета (единица), и тем самым адрес каждой из точек. Так как этот процесс может осуществляться в обоих направлениях, то мы получаем некоторую нулевую точку, которая, однако, представляет собой некоторый отрезок прямой, относительно которой получаются положительное и отрицательное направления и положительное и отрицательное числа, причем, начальная, нулевая точка отсчета для противоположных направлений принадлежит противоположным точкам  начальной элементарной прямой..
   
    Но если мы исходим из этой точки зрения, то, хотим мы этого или не хотим, мы, говоря, что прямая состоит из двух точек, то, абстрагируясь от точек, получаем понятие собственно прямой как некоторое расстояние. Прямая - это элементарная форма расстояния в том смысле, что она характеризуется постоянным вектором. В этом случае линия может рассматриваться как упорядоченное множество элементарных прямых с изменяющимся вектором.
    Тогда, если мы говорим, что две точки образуют прямую, мы должны будем определить расстояние, которым эта линия характеризуется. Но в этом случае точка должна рассматриваться как чувственно данная, то есть измеримая точка, и тогда понятие прямой возникает за счет абстракции от точек самих по себе и представляет собой рассмотрение того, что за их вычитанием остается. А за их вычитанием остается образуемое ими пространство, в котором снова вычитаются два его параметра и остаётся один - расстояние, представляющее собой единицу длины.

    "В каждой плоскости существуют всегда по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой."

    Другими словами, три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. А отсюда следует и определение пространства как четырех точек, не лежащих в одной плоскости. И отсюда, по аналогии, четыре точки, не лежащие в одной плоскости, определяют единственное пространство.
    Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость. Через эти три точки мы можем построить единственную плоскость. Относительно некоторой прямой, однако, и точки, не лежащей на одной прямой, мы строим плоскость, такую, что если дана прямая, то существует бесконечное множество точек, которые точно также порождают эту плоскость, и в этом отношении, то есть в отношении порождаемой единственной плоскости, всё это множество точек тождественно: безразлично, какую из этих точек относительно заданной прямой мы возьмём.
    Если мы теперь возьмём эту плоскость и начнём её вращать вокруг прямой, то мы относительно этой прямой станем получать бесконечное множество различных плоскостей, то есть принятая нами плоскость будет непрерывно превращаться в другие плоскости. И т.о. мы, во всяком случае, получаем бесконечное множество плоскостей относительно заданной прямой, общим свойством которых является то, что точки прямой одинаково принадлежат им всем.
    А как всё это выглядит относительно пространства для случая, если оно определяется плоскостью и точкой, лежащей вне её? Если следовать логике свойств точек, связанных с плоскостями, то также и относительно пространства должно существовать нечто подобное, то есть должны существовать точки, которые принадлежат данному пространству, и должны существовать точки, которые ему не принадлежат.

    Если следовать по этому пути, добавление к пространству точки вне пространства должно формировать следующий, более сложный объект. Но что это может быть за объект?
   
    Если мы введём понятие множества пространств (миров), то наряду с данным пространством должны существовать другие пространства. Мы существуем, скажем, в этом пространстве. Но параллельно с ним существует множество других пространств подобно тому, как существует множество параллельных плоскостей, между которыми нет никакой связи. Но параллельные плоскости - это всего лишь частный случай отношения между плоскостями вообще. А это означает, что также и не пересекающиеся пространства должны представлять собой лишь небольшой частный случай, тогда как в основном все они так или иначе пересекаются друг с другом.
    Прямые пересекаются в одной точке. Две плоскости пересекаются по прямой. Тогда пересечение пространств должно заключаться в наличии для них общей плоскости.
   
    Но здесь есть еще и следующий момент. Пусть мы есть точка. Тогда мы можем взять какую-то другую точку. Между двумя точками мы можем провести прямую, а можем и не провести. Если мы провели прямую и взяли точку вне её, мы можем образовать плоскость. Если мы образовали плоскость, то, взяв точку вне её, мы можем образовать пространство. Мы тем самым создали одно пространство, одну реальность, в которой мы существуем..
    Мы можем взять теперь какую-то другую точку и повторить все операции. В результате этого мы должны будем получить второе пространство. Поскольку мы провели две прямые, имеющие общую точку, то эти прямые пересекаются в этой точке. Например, если даны точки А, В, С, и прямая а проходит через точки А и В, и прямая б проходит через точки А и С, точки С и В опосредуются точкой А. Благодаря существованию общей точки А мы получаем, что если мы возьмём прямую б, и точку В, то получим одну плоскость. Если мы возьмём прямую а и точку С, получим вторую плоскость, при этом окажется, что плоскость будет проходить через все три точки. Но плоскость определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. Так как точки А, В, С принадлежать обеим плоскостям, то мы имеем одну и ту же плоскость. А, имея одну плоскость, мы получили также и единственное пространство.

    Если следовать по этому пути, добавление к пространству точки вне пространства должно формировать следующий, более сложный объект, и т.д. Это - с точки зрения логики мысли. Но не с точки зрения чувственности, для которой пространственный объект, по видимому, представляет собой последний на этом пути, так что мы должны сказать, что любая точка вне данной плоскости даёт общее пространство независимо от того, что это за точка.

    Мы говорили о формировании множества возможных плоскостей, характеризующихся общими точками , принадлежащими одной плоскости, в то время, как все остальные точки разных пространств должны быть различны.

   Мы определяли плоскость посредством прямой и точки вне её. Тогда пространство мы должны определять посредством плоскости и прямой, не лежащей в ней. В результате определения плоскости через прямую и точку эти  прямая и точка входят в эту плоскость. Тогда определение пространства через плоскость и прямую должно вести к тому, что плоскость и прямая должны лежать в этом пространстве.  Но прямая может не лежать в плоскости, но при этом пересекать или не пересекать её в какой-то её точке. Тогда в точке пересечения пространство должно суживаться до плоскости. А тогда с ближайшими  к плоскости точками прямой должно быть связано расширяющееся относительно плоскости пространство. Тогда возникает вопрос, каким образом выбор различных прямых, пересекающих плоскость, должен оказывать влияние на форму пространства. Пусть есть прямая, лежащая в плоскости. Тогда, условно говоря, мы имеем дело с пространством, вырожденным в плоскость. Пусть теперь прямая начинает образовывать какой то минимальный, но постепенно увеличивающийся угол с плоскостью. Тогда, в зависимости от расстояния точек прямой от точки пересечения её с плоскостью мы должны будем получать расширяющееся относительно плоскости пространство. Но если мы берем прямую и точку, и проводим через них плоскость, то любая из точек плоскости, не лежащая на прямой, определяет ту же самую плоскость. Если же мы берем прямую относительно плоскости, то мы и должны брать прямую, а не её точки. Если прямая не лежит в плоскости и не пересекается с ней, то какого рода пространство они должны образовывать, или, другими словами, что то же, каким образом эти два объекта могут образовать пространство, и чем такое пространство будет отличаться от других пространств, образованных относительно других прямых? Если мы возьмём три точки на одной прямой, то прямую можно рассматривать как вырожденную плоскость. Но,  как только одна из точек прямой будет выведена за её пределы, происходит качественный скачок, возникает соответствующая плоскость. Если мы выведем точку из прямой и начнём вращать её вокруг прямой, то мы получим пространство, характеризующееся определенными свойствами: мы получим пространство, образованное бесконечным множеством плоскостей с общей для них всех прямой. Но всё это будут разные плоскости. Во всяком случае, из этого опыта мы можем сделать вывод о том, что свойства пространства зависят от способов его образования, и именно в этом отношении пространства должны качественно отличаться друг от друга. Но в данном случае мы брали бесконечное множество плоскостей относительно общей им всем прямой. А как обстоят дела с обратным отношением? Как могут  быть образованы пространства для общей плоскости относительно множества прямых? Когда мы образовывали прямую, мы делали это посредством одной операции. Когда мы формировали плоскость, мы также делали это посредством одной операции. Т.о., всё это выглядит как статическая вещь. Но опыт образования пространства заставил нас ввести повторяющееся движение. Но, с другой стороны, выше мы говорили об образовании прямой из элементарной прямой, а это был бесконечный дискретный процесс. Точно таким же образом можно было бы сказать, что плоскость может быть образована по крайней мере двумя параллельными прямыми. И тогда пространство может быть образовано по крайней мере двумя плоскостями. И тогда все эти прямые, плоскости, пространства могут различаться друг от друга в количественном отношении. Но это уже слишком тривиальные вещи, хотя все они и находятся в пределах логики аксиом Гильберта. И в пределах же логики аксиом Гильберта лежит симметрия вводимых им аксиом: Любые две разные точки пространства определяют прямую. Но также и обратно: любые две точки, принадлежащие прямой, определяют её. Тогда, если  вращение плоскости вокруг прямой, лежащей в ней, образует пространство, то если дана плоскость, то множество прямых должно, в свою очередь, образовывать с ней разные пространства.  

    Во всем этом присутствует и еще одна мысль. Сама по себе точка не характеризуется никаким вектором, поскольку она может представлять собой любой вектор. В то же самое время, точка, рассматриваемая в чувственном отношении, ограничивает собой некоторую часть пространства, и, значит, переход от чувственного момента точки к её идеальному моменту есть точка, у которой отнято её тело. Отсюда и получаем мыслимую вещь, не обладающую пространственными характеристиками. Это - начало пути. В конце пути мы получаем понятие пространства. Тогда, если исходить из диалектической спирали, то мы за счет осуществленного движения снова получили точку со всей её историей. Мы получили некоторое бесконечно большое пространственное идеальное тело, которое может быть превращено только в бесконечно малую - в точку. И тогда мы получаем бесконечный круг повторений одной и той же последовательности процессов, и это будет иметь место всегда до тех пор, пока используем логику, которая опирается на чувственные объекты одного и того же рода.

    Мы определяли прямую посредством двух точек. Две точки - это объекты одного и того же рода. Затем мы определяли плоскость через три точки и пространство - через четыре точки. Во всех случаях в качестве первоначального базового объекта выступают точки, на основании которых строются производные объекты. Если применяется одна и то же логика, то пространство должно определяться плоскостью и точкой вне её.

    Логика, которая применяется в том или ином случае, на соответствующей чувственной реальности работает или не работает. Логика должна соответствовать чувственной реальности, к которой она применяется. И в этом смысле не логика определяет чувственную реальность, а чувственная реальность определяет логику. Иначе можно сказать, что не логика содержит в себе чувственную реальность, а чувственная реальность содержит в себе логику, и именно её и нужно отразить

    И, далее, при этом должно существовать множество точек, соответствующих тому же самому пространству, и множество точек, ему не соответствующих. В чем заключается особенность перехода от определения плоскости к определению пространства? В том, что мы можем мысленно увидеть прямую, определенную двумя точками. Мы можем мысленно увидеть плоскость, определенную прямой и точкой, и мы можем мысленно увидеть множество различных прямых и плоскостей во всевозможных их отношениях друг к другу. Но мы не можем увидеть никакого пространства как некоторой абстракции. Для нас пространство - это тот универсальный класс, в котором размещаются такие объекты, как точки, прямые и плоскости. Точка есть изначальный объект. Линия и плоскость могут выступать как в качестве объектов, так и в качестве формы пространства. Пространство же не есть объект. Пространство всегда есть пространство, то есть некоторая метрика, то есть отражение объектов.

    Противоположностью пространства, однако, является  объект. Но в качестве собственно объекта выступает точка. Точка и пространство - это две полярные абстракции от материального объекта. И тогда объект - это, с одной стороны, точка, с другой стороны - пространство. И тогда объект, в зависимости от способа его рассмотрения, превращается то в точку, то в пространство, то есть он может быть описан как некоторая точка, с одной стороны, и как некоторая система координат, как метрика, с другой. И тогда с какого бы рода пространством мы не имели дело, мы будем иметь дело с описанием пространственных свойств объекта или с описанием пространства множества объектов. Но если так, то тогда становится понятен и способ образования пространства из плоскости и прямой или из плоскости и точки вне её. Если дана такая точка, то мы можем опустить из точки на плоскость перпендикуляр, и получим трёхмерную прямоугольную систему координат. Но никто нас не обязывает опускать на плоскость именно перпендикуляр. Достаточно иметь прямую, пересекающую плоскость для того, чтобы была получена некоторая система координат, то есть некоторое определенное пространство. При этом частным является случай параллельности прямой и плоскости, который оказывается тождественнен случаю, когда прямая лежит на плоскости. Параллельное перемещение прямой ничего не изменяет в сути дела: пространство суживается до плоскости. И это точно также, как смещение точки, лежащей вне прямой,  на прямую, уничтожает соответствующую ей плоскость, которая вырождается при этом в прямую, а превращение различных точек, определяющих прямую, в одну точку, дает вырождение прямой в точку.

   21.01.11 г.