Другое Измерение   10 февраля        

В статье приводятся различные сведения о торе и его обобщениях. Рисунки автора.

Обозначения.

   

Логические функции и кванторы: ∧ (И),∨(ИЛИ), ⇒, ⇐ (следует), ⇔ (эквивалентно), ∀ (для всех), ∃ (существует). ≝ - равно по определению: символьная конструкция (символьное выражение), стоящая слева от знака «равенства по определению» подменяет (может заменять в тексте на равносильную) символьную конструкцию, стоящую справа. ∪– объединение множеств. ∩ – пресечение множеств. {a | P} – множество всех a, обладающих свойством (свойствами) P.

   

За главные значения арксинуса и арктангенса приняты диапазоны – π/2 ⩽ arcsin x ⩽ π/2 и – π/2 ⩽ arctg x ⩽ π/2 при изменении аргумента в диапазоне –1 ⩽ x ⩽ 1. За главное значение арккосинуса в этом диапазоне принимается диапазон 0 ⩽ arccos x ⩽ π.

Некоторые системы координат.

Простейшей системой координат является декартова прямоугольная система координат Oxyz, состоящая в случае трёхмерного пространства из трёх взаимно перпендикулярных осей координат Ox, Oy и Oz (направленных прямых), пересекающихся в точке O – начале координат. Координаты точки в этой системе – абсцисса x, ордината y и аппликата z – отсчитываются от начала координат O, со знаками, соответствующими направлениям осей. Существуют две декартовы системы – левая и правая – зеркально симметричные и несовместимые никакими движениями (в пространстве того же измерения). Кроме декартовых координат также используются другие системы, в частности, криволинейные координаты. Рассмотрим цилиндрическую и сферическую системы координат в трёхмерном пространстве.

   

В плоскости одной из криволинейных координат является полярная система координат Opφ, в которой положение точки определяется расстоянием от начала координат O (величиной радиуса-вектора p, расположенного на прямой – полярной оси) и полярным углом φ, который изменяется в пределах

   

В обобщённой полярной системе он может принимать произвольные значения в пределах

   

Цилиндрическая система Opzφ координат представляет собой (плоскую) полярную систему координат Opφ, дополненную в третьем измерении перпендикулярной к ней осью Oz декартовых координат. В этой системе положение точки P задаётся полярными координатами p и φ, и аппликатой z декартовой системы Oxyz. Полярный угол φ не определён при p = 0. Из рисунка следует, что переход от декартовой системы координат к цилиндрической задаётся системой равенств

   

Обратный переход от цилиндрической системы координат к декартовой задаётся системой равенств

   

Сферическая система координат (обычная, если расстояние от начала координат предполагается неотрицательным) Oρθφ определяется, исходя из декартовой системы координат, следующими образом: точка P в ней задаётся величиной ρ радиуса-вектора ρ, выходящего из начала O (радиальное расстояние) и двумя углами: азимутальным углом φ проекции радиуса-вектора ρ на плоскость Oxy и зенитным углом θ его поворота к оси Oz, изменяющимся в пределах 0 ⩽ θ ⩽ π. Углы θ и φ не определены при ρ = 0, также не определён угол φ при sin θ = 0 (то есть при θ = 0 или θ = π). Вместо зенитного угла θ, используется угол между радиусвектором точки P и плоскостью Oxy, равный π /2 − θ. Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой θ (Мы будем обозначать его буквой ψ = π /2 − θ). Широта может изменяться в пределах − π /2 ψ π /2. ⩽ ⩽ При этом соглашении углы ψ и φ не имеют значения при ρ = 0, так же как и в первом случае, а φ не имеет значения при cos ψ = 0 (то есть при ψ = − π /2 или ψ = π /2. Переход от декартовой системы к сферической задаётся системой

   

Обратный переход от сферической системы координат к декартовой задаётся системой равенств

   

Переход от сферических координат к цилиндрическим осуществляется по формулам

   

Обратный переход от цилиндрических координат к сферическим

   

Тор.

В трёхмерном евклидовом пространстве тор – тело вращения, получаемое вращением по направляющей окружности радиуса R образующего круга радиуса r (с центром на направляющей окружности) вокруг оси, лежащей в плоскости этого круга и не пересекающей её (R > r – обычный тор). Соответственно поверхность тора (тороид) – поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её. Трёхмерная фигура, ограниченная тороидом также называется полното́рием (полното́рие, полното́рий).

Первая теорема Паппа–Гульдина (о площади поверхности вращения): площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линии (его координаты являются средними арифметическими координат всех точек фигуры). Откуда следует, что площадь поверхности тора равна

   

Вторая теорема Паппа — Гульдина (об объёме тела вращения): объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигуры. Откуда следует, что объём тора равен

   

При R > r получается открытый тор, похожий на бублик (с дыркой).

   

Если R = r, то получится тело, тоже похожее на бублик, но без дырки – закрытый тор.

   

При R = 0 тор вырождается в шар с радиусом r, который в сферической системе координат задаётся неравенством ρ ⩽ r.

   

Если R < r, то получится тело с самопересечением – закрытый кольцевой тор, состоящий из двух пересекающихся частей: части тора, полученной вращением сегмента круга, ограниченного большой дугой и её хордой

   

и из его части, полученной вращением сегмента круга, ограниченного малой дугой и её хордой (выпуклый тор, напоминающий веретено, возможно, – раздувшееся).

   

При вращении дуги окружности радиуса r вокруг оси, лежащей в плоскости этой дуги и не пересекающей ось получается часть поверхности тора, называемая глобоидом.

   

Параметрические уравнения тороида.

   

Если в качестве параметров взять полярный угол φ в плоскости xOy и угол α поворота радиуса r образующей окружности, отсчитываемый от направления радиуса-вектора цилиндрической системы координат, то параметрические уравнения тороида будут иметь вид (см. рисунок)

   

Уравнения тороида в цилиндрических координатах.

Из рисунка следуют два варианта смешанных систем, задающих тороид в цилиндрических координатах

   

Уравнения тороида в сферических координатах.

В сферических координатах тороид при R ⩾ r задаётся смешанной системой

   

При R ⩾ r полноторий с краем (2) задаётся системой

   

При R < r внешняя часть тороида без самопересечения (закрытый кольцевой тор) задаётся системой.

   

а внутренняя его часть (выпуклый тор) – системой

   

Уравнения тороида в декартовых координатах.

Уравнение тороида в декартовых координатах

   

выводится из уравнения в сферических координатах.

   

Откуда следует, что алгебраическое уравнение тороида имеет четвёртую степень и оно определяет поведение тора также и в комплексном трёхмерном пространстве С³.

Винтовые линии на торе.

Параметрические уравнения тороида (1) зависят от двух параметров φ и α. Если между этими параметрами установить функциональную зависимость F(φ, α) = 0, то уравнения (1) превратятся в параметрические уравнения кривой на поверхности тора. Если при R > r задать соотношение α = 4·φ, то получится замкнутая винтовая линия, по которой конец радиуса r образующей окружности делает 4 полных оборота за один оборот радиуса R направляющей окружности,

   

а если задать соотношение α = 7·φ/3, то получится замкнутая винтовая линия, по которой конец радиуса r образующей окружности делает 7 полных оборотов за 3 оборота радиуса R направляющей окружности. Эта кривая задаётся параметрической системой

       

Если α = γ·φ, где γ – иррациональное число, то получится незамкнутый фрактал – кривая, бесконечно навивающаяся на тор при бесконечном вращении радиуса образующей окружности.

Тор переменного сечения.

Если радиус r поперечного сечения тора будет переменным, то при его вращении в плоскости этого сечения, вообще говоря, получатся многообразные фигуры, которые могут вовсе не напоминать тор. Но если радиус r будет меняться, плавно уменьшаясь от некоторого максимального значения в каком-то месте поворота до некоторого минимального значения по ходу, и, возвращаться в исходный размер при повороте на 360°, то получится поверхность, похожая на торическую.

   

Если, например, к значению вращающегося радиуса r прибавить переменную величину l sin φ, меняющееся по закону синуса от полярного угла φ, где l < r, то получится поверхность с параметрическими уравнениями

   

имеющая при φ = π/2 максимальное значение образующего радиуса r + l и сужающаяся при φ = 3π/2 до его значения r – l. Если же допустить значение l ⩾ r и ограничить изменение полярного угла пределами

   

при которых r + l·sin φ ⩾ 0, то получится фигура, напоминающая рога индийского буйвола и имеющая параметрические уравнения

   

Топологический тор.

В топологии фигуры часто исследуют, представляя их как совокупности слоёв меньшей размерности. Так каждое положение определяющего круга (определяющей окружности) является слоем тора (тороида). Каждый слой тора при каждом значении азимутального угла задаётся смешанной системой (3). Так что тор (тороид) можно считать геометрическим местом (множеством) его двухмерных слоёв (окружностей, дисков), расположенных в пространстве в соответствии с указанным выше определением. В топологи двухмерный тор также определятся как прямоугольник, противоположные рёбра которого отождествляются (склеиваются).

   

Топология имеет дело с многообразиями, не имеющими определённой формы и рассматриваемыми с точностью до гомеоморфизма – взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения топологических пространств. Так одномерная топологическая окружность S¹ представляет собой класс всех простых замкнутых кривых, гомеоморфных обычной окружности. В этом классе существуют такие причудливые формы, которые не может представить самое изощрённое воображение.

Двумерный топологический диск D² это класс всех простых замкнутых областей, гомеоморфных обычному кругу. В теории множеств и топологии важную роль играет такое действию над множествами как прямое произведение. Прямым произведением P × Q двух множеств P и Q называется множество всех упорядоченных пар <p, q>, где p является (любым) элементом множества P, а q – (любым) элементом множества Q

Двухмерный топологический тороид это топологическое пространство, являющееся прямым произведением T² = S¹ × S¹ двух топологических окружностей S¹, а трёхмерный топологический полноторий это топологическое пространство, являющееся прямым произведением T³ = D² × S¹ двумерного диска D² и топологической окружности S¹. Двухмерный топологический тороид является связным и ориентируемым, двухмерным компактным многообразием без края (не имеет границы). Полноторие является связным и ориентируемым, трёхмерным компактным многообразием с краем (имеет границу в виде тороида). Обобщением 2-мерного топологического тора является многомерный тор (n-тор или гипертор), являющийся n-ой прямой степенью топологической окружности

   

Список литературы.

1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач,снабженных решениями, составленного А.С. Пархоменко. –М.: Наука, 1968. –911 с.

2. Кривошапко, С.Н. Аналитические поверхности: материалы по геометрии. 500 поверхностей и информация к расчету на прочность тонких оболочек /С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, С.М. Халаби. – М.: Наука, 2006. – 544 с.

3. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире. Изд. 2-е. –М.: МГУ, ЧеРо, 1998. –211 с., илл. -библ. 92.

Виктор Сухов.

Всего Вам доброго.